-
Найбільше і найменше значення функції
Найбільше
(найменше значення) неперервної функції
на заданому відрізку
досягається або в критичних точках, або
на кінцях цього відрізку.
АР-1.17
1. Знайти найбільші і найменші значення даних функцій на вказаних відрізках і у вказаних інтервалах:
а)
(Відповідь:
і
).
б)
(Відповідь:
і
).
в)
(Відповідь:
і
).
2. Розв’язати задачі на відшукання найбільших і найменших значень функцій:
а)
Знайти два взаємно обернених додатних
числа, які при додаванні дають найменшу
суму. (Відповідь:
і
).
б)
Відкритий бак має форму циліндра. При
даному об’ємі
якими
повинні бути радіус основи і висота
циліндра, щоб його поверхня була
найменшою? (Відповідь:
).
в) Із
круга вирізано сектор з центральним
кутом
. Із сектора згорнуто конічну поверхню.
При якому значенні кута
об’єм
одержаного конуса буде найбільшим?
(Відповідь:
).
г) Через
дану точку
провести
пряму так, щоб сума довжин додатних
відрізків, що відтинаються нею на
координатних осях, була найменшою.
Написати рівняння цієї прямої.
(Відповідь:
).
СР-1.17
1. А) Знайти найменше і найбільше значення функції на відрізку .
(Відповідь:
).
б)
Знайти висоту конуса найбільшого об’єму,
який можна вписати в кулю радіусом
.
(Відповідь:
).
2. а)
Знайти найменше і найбільше значення
функції
на відрізку
.
(Відповідь:
).
б) Знайти
сторони прямокутника з найбільшою
площею, вписаного в еліпс
.
(Відповідь:
).
3. а)
Знайти найменше і найбільше значення
функції
на
відрізку
.
(Відповідь:
).
б)
Потрібно виготовити конічну воронку з
твірною, що дорівнює
см.
Якою повинна бути висота воронки, щоб
її об’єм
був найбільшим? (Відовідь:
см).
ІДЗ-1.17
1. Знайти
найменше і найбільше значення функції
на відрізку
:
2. Розв’язати задачі:
2.1. Вікно має форму прямокутника, який завершується півкругом. Периметр вікна дорівнює 15 м. При якому радіусі півкруга вікно буде пропускати найбільшу кількість світла? (Відповідь: 2,1 м).
-
На сторінці книги друкований текст займає площу
;
ширина верхнього і нижнього полів
дорівнює
,
а правого і лівого -
.
При якому відношенні ширини до висоти
тексту площа всієї сторінки буде
найменшою? (Відповідь:
). -
Із круглої колоди, діаметр якої
,
потрібно вирізати балку з прямокутним
поперечним перерізом. Якими повинні
бути ширина і висота цього перерізу,
щоб балка виявила найбільший опір на
згин? Опір
балки на згин
пропорційний добутку ширини
його
поперечного перерізу і квадрату
його висоти
,
тобто
.
(Відповідь:
). -
Посудина з вертикальними стінками висотою
,
наповнена нев’язкою
рідиною, стоїть на горизонтальній
площині. Визначити місце
знаходження
отвору, при якому далекість струменя
буде найбільшою, якщо швидкість рідини,
яка витікає за законом Торічеллі,
дорівнює
де
-
відстань від отвору до поверхні рідини;
-
прискорення вільного падіння. (Відповідь:
на середині висоти
). -
Потрібно виготовити відкритий циліндричний бак місткістю
.
Вартість
матеріалу,
з якого виготовляється дно бака,
становить
грн., а вартість
матеріалу,
який іде на стінки бака, -
грн.
При якому відношенні радіуса дна до
висоти бака витрати на матеріал будуть
мінімальними? (Відповідь:
). -
Рівнобедрений трикутник, вписаний в коло радіусом
,
обертається навколо прямої, яка
проходить через його вершину паралельно
основі. Якою повинна бути висота цього
трикутника, щоб тіло, яке утворюється
в результаті його обертання, мало
найбільший об’єм?
(Відповідь:
). -
Із фігури, обмеженої кривою
і
прямими
,
вирізати прямокутник з найбільшою
площею . (Відповідь:
). -
При якому куті нахилу бічних сторін рівнобедреної трапеції площа її буде найбільшою, якщо бічні сторони дорівнюють
,
а менша основа
?
(Відповідь:
). -
Знайти висоту прямого кругового конуса з найменшим об’ємом, описаного навколо кулі радіусом
.
(Відповідь:
). -
Канал, ширина якого
м, під прямим кутом впадає в інший канал
шириною
м.
Визначити найбільшу довжину балок,
які можна сплавляти по цій системі
каналів. (Відповідь:
м.
). -
Пункт
розташований на відстані 60 км від
залізниці. Відстань по залізниці від
пункта
до
найближчої до пункта
точки
становить
285 км. На якій відстані від точки
треба побудувати станцію, від якої
прокладуть шосе до пункта
,
щоб витрачати найменший час на поїздки
між пунктами
і
,
якщо швидкість руху по залізниці
дорівнює 52 км/год, а швидкість руху по
шосе - 20 км/год?
(Відповідь: 25 км). -
Із всіх конусів з даною бічною поверхнею
знайти
той, у якого об’єм
найбільший. (Відповідь: радіус основи
конуса
,
висота
). -
Із паперового круга вирізано сектор, а з тієї частини, що залишилася, склеєно конічну воронку. Який кут повинен мати вирізаний сектор, щоб об’єм воронки був найбільшим?
(Відповідь:
).
2.14.Із
всіх циліндрів, вписаних в даний конус,
знайти той, у якого бічна поверхня
найбільша. Висота конуса
,
радіус основи
.
(Відповідь:
радіус основи циліндра
,
висота
).
2.15.Лампа
висить над центром круглого стола
радіусом
.
При якій висоті лампи над столом
освітленість предмета, що лежить на
краю стола, буде найкращою? (Освітленість
прямо пропорційна косинусу кута падіння
променів світла і обернено пропорційна
квадрату відстані від джерела світла).
(Відповідь:
).
2.16.На
прямолінійному відрізку
,
що сполучає два джерела світла
(силою
)
і
(силою
),
знайти точку
,
яка освітлюється найслабше, якщо
.
(Освітленість обернено пропорційна
квадрату відстані від джерела світла).
(Відповіль:
на відстані
від точки
).
2.17.Людині
потрібно добратись з пункта
,
який розташований на одному березі
річки, в пункт
на другому її березі . Знаючи , що швидкість
руху по березі в
разів
більша швидкості руху по воді визначити,
під яким кутом людина повинна перетнути
річку, щоб досягти пункта
за найкоротший час. Ширина річки
,
відстань між пунктами
і
(вздовж берега) дорівнює
.
(Відповідь:
).
2.18.Із
круглої колоди діаметром
треба
вирізати балку з прямокутним перерізом.
Якими повинні бути ширина
і
висота
цього
перерізу, щоб балка, перебуваючи
горизонтально розташованою і рівномірно
навантаженою, мала найменший прогин?
(Величина прогина обернено пропорційна
добутку ширини
поперечного перерізу і кубу висоти
).
(Відповідь:
).
2.19.Смуга жерсті
шириною
,
яка має прямокутну форму, повинна бути
зігнута у вигляді відкритого кругового
циліндричного жолоба так, щоб його
переріз мав форму сегмента. Яким повинен
бути центральний кут
,
який спирається на дугу цього сегмента,
щоб місткість жолоба була найбільшою?
(Відповідь:
).
2.20.З корабля, який стоїть на якорі за 9 км від берега, потрібно послати гінця в табір, розташований на відстані 15 км від найближчої до карабля точки берега. Швидкість посильного при рухові пішки – 5 км/год, а на човні - 4 км/год. В якому місці він повинен пристати до берега, щоб попасти в табір за найкоротший час? (Відповідь: за 3 км від берега).
2.21.Колода довжиною
20 м має форму зрізаного конуса, діаметри
основ якого дорівнюють 2м і 1 м. Потрібно
вирубати із колоди балку з квадратним
поперечним перерізом, вісь якої співпадала
б з віссю колоди, а об’єм
був би найбільшим. Якими повинні бути
розміри балки? (Відповідь: довжина балки
м,
сторона поперечного перерізу
м).
2.22.Визначити
найбільшу площу прямокутника, вписаного
в півкруг радіусом
.
(Відповідь:
)
2.23.Дротом,
довжина якого
м,
необхідно обгородити клумбу, яка має
форму кругового сектора. Яким повинен
бути радіус круга, щоб площа клумби була
найбільшою? (Відповідь:
м).
2.24.Знайти висоту
конуса з найбільшим об’ємом,
який можна вписати в кулю радіусом
.
(Відповідь:
).
2.25.Периметр
рівнобедреного трикутника дорівнює
.
Якою повина бути його основа, щоб об’єм
утвореного обертанням цього трикутника
навколо його основи, був найбільшим?
(Відповідь:
).
2.26.Потрібно виготовити конічну воронку з твірною, що дорівнює
20 см. Якою
повинна бути висота воронки, щоб її
об’єм
був найменшим? (Відповідь:
см).
2.27.Знайти
співвідношення між радіусом
і висотою
циліндра, який при даному об’ємі
має найменшу повну поверхню. (Відповідь:
).
2.28.В
рівнобедрений трикутник з основою
і
кутом при основі
вписати паралелограм з найбільшою
площею так, щоб одна із його сторін
лежала на основі, а друга на бічній
стороні трикутника. Знайти довжини
сторін паралелограма. (Відповідь:
і
).
2.29.Полотняний
намет об’ємом
має форму прямого конуса. Яким повинно
бути відношення висоти конуса до радіуса
його основи, щоб на намет пішла найменша
кількість полотна? (Відповідь:
).
3.30.На
кривій
знайти
точку, в якій дотична утворює з віссю
найбільший
за абсолютною величиною кут.
(Відповідь:
).