Зададим начальные (нулевые) приближения для неизвестных:
x10 , x20 , x30
И подставим их в эти соотношения, в результате последовательно получим первые приближения:
|
(1) |
|
|
|
(0) |
|
(0) |
x1 |
1 a11 (b1 a12 x2 |
a13 x3 ) |
|||||
x2(1) |
1/ a22 |
(b2 |
a21x1(1) |
a23 x3(0) ) |
|||
x(1) |
1/ a |
(b |
a |
x(1) |
a |
x(1) ) |
|
|
3 |
33 |
3 |
31 |
1 |
32 |
2 |
Используя их, также найдем вторые приближения и так далее.
|
(k ) |
|
|
|
(k 1) |
|
(k 1) |
|
x1 |
1 a11 (b1 a12 x2 |
a13 x3 |
) |
|||||
x2(k ) |
1/ a22 (b2 a21x1(k ) a23 x3(k 1) ) |
|||||||
x(k ) |
1/ a (b a x(k ) a x(k ) ) |
|
||||||
|
3 |
33 |
3 |
31 |
1 |
32 |
2 |
|
Итерационный процесс продолжаем,
пока xi( k )не станут близки с заданной погрешностью к xi(k 1) .
Достаточным (но не необходимым!) условием сходимости итерационного процесса в этом методе является:
aii |
|
|
|
aij |
|
, |
i 1,2,..., n. |
|
|
|
|||||
|
|||||||
|
|
i j |
|
|
|
|
|
Лекция 4. Численное интегрирование.
Содержание
1.Метод прямоугольников.
2.Метод трапеций.
3.Метод Симпсона.
1. Метод прямоугольников.
Вычислить определенный интеграл
b
f (x)dx
a
пользуясь формулой Ньютона—Лейбница F (b) – F (а) иногда оказывается невозможным.
В этом случае прибегают к приближенным
— численным методам вычисления определенных интегралов.
Метод прямоугольников основан на определении интеграла:
b |
n |
|
f (x)dx lim f ( i ) xi ï ðè |
xi 0, |
|
a |
i 1 |
|
где исходный отрезок [a, b] с помощью точек
х0 = а, х1, х2, …х h-1, хh = b
разбит на n элементарных подотрезков
[хi-1, хi], i [хi-1 , хi ]. |
n |
b |
|
f (x)dx f (xi ) xi , |
|
a |
i 1 |
Если обозначить |
f(xi) = yi, то формула |
прямоугольников примет вид:
b
f (x)dx h(y1 y2 ... yn ),
a
где h = (b–a)/n, n — число разбиений [a, b]. геометрическая интерпретация
определенного интеграла
b
f (x)dx
a
есть площадь так называемой криволинейной трапеции,
Рис. 11 — Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x).
Геометрическая интерпретация формулы прямоугольников приведена на рис. 12.
Рис. |
12 |
— |
Иллюстрация |
метода |
прямоугольников |
для различного |
числа |
||
разбиений: а — для N = 12; б — для N = 6
С ростом n (числа разбиений) результат будет точнее и точнее.
Рис. 13 — Блок-схема метода прямоугольников
Ошибка формулы прямоугольников:
h3 4,
24
где 4 — наибольшее значение четвертой производной на отрезке [a, b].
Пример. Для заданного отрезка [a,b] с указанным числом разбиений N найти площадь под кривой
y 1 x2 .
(Заметим, что при а = 0 и b = 1 получится площадь четверти круга единичного радиуса — см. рис. 14.)
