Постановка задачи.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений

Правило Крамера состоит в вычислении главного определителя матрицы А:

и побочных определителей:

И тогда вычисление корней:

x1 = D1 /D, x2 = D2 /D, … xn = Dn /D.

Число требуемых для вычисления определителей операций:

N n(n! + 1).

2. Метод обратной матрицы

Отталкиваясь от АХ = В, умножим обе части на обратную матрицу A-1 :

A-1 А Х = A-1 В

или

Х = A-1 В.

Таким образом, решение системы сводится к вычислению A-1, но её вычисление также трудоемко.

3. Метод Гаусса

Рассмотрим на примере системы трех уравнений:

а11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 а21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 а31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Прямой ход метода Гаусса состоит в следующем:

Умножим первое уравнение на – a21 /a11 и сложим со вторым:

a21x1 a21a12 / a11x2 a21a13 / a11x3 a21b1 / a11 a21x1 a22 x2 a23x3 b2

_______________________________________

(a22 a21a12 / a11)x2 (a23 a21a13 / a11)x3 b2 a21b1 / a11

Если обозначить первую скобку за a’22 , а вторую за a’23 и полученную правую часть за b’2 , то получим:

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1

Аналогично: умножим первое уравнение на –a31/a11 , сложим с третьим уравнением

и обозначим полученное уравнение так:

a‘32 x2 + a‘33 x3 = b‘3 .

Обобщенная формула для «штриховых» коэффициентов.

Исключим теперь x2 из 3-го уравнения. Таким образом, система сведется к виду:

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1

Для «дважды штриховых» коэффициентов общие формулы имеют вид:

Обратный ход метода Гаусса состоит в следующем:

Находим x3 из 3-го уравнения:

x3 = b'‘3 /a'‘33

Потом находим

x2 = (b‘2 – a‘23 x3 )/a‘22 ,

x1 = (b1 – a12 x2 – a13 x3 )/a11 .

Аналогично строится процесс метода Гаусса для системы из N уравнений. Обобщим формулы «штриховых» коэффициентов.

Пример. Методом Гаусса решить систему: