Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен.
а) Интегралы вида
и
(5.1)
сводятся к табличным 13-16 после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.
Пример. Найти
интеграл
.
=
=
=
.
#
б) Интегралы вида
и
.
(5.2)
При интегрировании
таких функций сначала в числителе
создаётся дифференциал квадратного
трехчлена:
.
Числитель преобразуется следующим
образом:
.
После этого данный
интеграл по свойству 5 раздела 6.2.
разбивается на два:
,
первый из которых берётся по
формуле 2 таблицы 6.3, а второй – интеграл (5.1), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (5.2)
Пример. Найти
интеграл
.
.
в) Интегралы вида
. (5.3)
Эти интегралы
приводятся к интегралам (5.2) подстановкой
.
Пример.
Найти интеграл
.
.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения
.
Интеграл берется
с помощью подстановки
,
где
– наименьший общий знаменатель дробей
.
Пример.
Найти интеграл
.
Сделаем подстановку
.
.
.
Интеграл рационализуется с помощью тригонометрических подстановок
-
подстановка
;
-
подстановка
;
-
подстановка
.
Пример.
Найти интеграл
.
Сделаем
подстановку
.
.
Варианты ИДЗ №5
«НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
Вариант 1
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 2
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 3
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 4
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 5
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 6
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 7
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 8
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 9
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 10
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 11
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а )
;
б)
в)
.
Вариант 12
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
) а)
;
б)
в)
.
Вариант 13
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 14
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 15
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 16
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 17
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 18
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 19
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 20
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 21
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 22
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 23
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 24
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 25
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
в)
.
Вариант 26
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а
)
;
б)
в)
.