3. Теплопроводность плоской, цилиндрической и сферической стенок при стационарном режиме

Рисунок 7.3 – К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Теплопроводность плоской стенки. Тепловой поток перемещается через плоскую стенку толщинойδ(рис. 7.3) из однородного материала, имеющего коэффициент теплопроводности.

На наружной поверхности стенки поддерживаются постоянные температуры и(>). Температура изменяется только в направлении осих, перпендикулярной плоскости стенки, т.е. температурное поле одномерно, а изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно осих.

В соответствии с дифференциальным уравнением теплопроводности (7.23) .

В результате интегрирования этого выражения получим:

.

Таким образом, температура по толщине плоской стенки при установившемся тепловом режиме изменяется линейно, а градиент температуры сохраняет постоянное значение.

Константы интегрирования иопределяют из граничных условий:

При , следовательно;

При ,

либо

.

С учетом найденных констант:

. (7.25)

Дифференцируя последнее уравнение, имеем: .

Подставив найденные значения температурного градиента в уравнение, выражающее основной закон теплопроводности (7.12), получим уравнение теплопроводности для плоской стенки при стационарном режиме:

, (7.26)

либо

.

Рисунок 7.4 – К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки

Отношение (/) носит названиетепловой проводимостистенки, а (/) –термического сопротивлениястенки.

Если стенка многослойная (рис. 7.4), состоит изnслоев толщинойс коэффициентами теплопроводностисоответственно, при этом температуры наружных поверхностейи, а температуры на границе слоев, то при установившемся тепловом режиме тепловой потокQ, проходящий через каждый слой, одинаков и уравнение теплопроводности для каждого из них может быть выражено уравнением (7.26):

для 1-го слоя , или;

для 2-го слоя , или; (7.27)

для n-го слоя, или.

Складывая левые и правые части выражение (7.27), получим уравнение теплопроводности плоской многослойной стенки для стационарного режима:

либо

, (7.28)

где i– порядковый номер слоя.

Таким образом, общее термическое сопротивление плоской многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев стенки при условии, что слои плотно прилегают друг к другу. Внутри каждого слоя линия изменения температуры (рис. 7.4) – прямая, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию.

Рисунок 7.5 – К выводу уравнения теплопроводности цилиндрической стенки

Теплопроводность цилиндрической стенки. В однородной цилиндрической стенке длинойL (рис. 7.5) температура в случае одномерного стационарного поля изменяется только в радиальном направлении, поэтому для поверхности произвольного радиусаrуравнение Фурье можно представить в виде

. (7.29)

Для кольцевого слоя с радиусом rи толщинойdr, выделенного внутри стенки (рис. 7.5), при внутреннем и наружном радиусах соответственноr₁иr₂и температурах на внутренней и наружной поверхностях стенкии, согласно уравнению (7.29) имеем:

.

В результате интегрирования последнего выражения получим:

(7.30)

либо .

Если учесть, что (и– наружный и внутренний диаметры цилиндра соответственно), то:

. (7.31)

Уравнения (7.30) и (7.31) являются уравнениями теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена. Они показывают, что по толщине цилиндрической стенки (в отличие от плоской) температура изменяется криволинейно – по логарифмическому закону. При этом влияние кривизны стенки учитывается коэффициентом кривизны φ, значение которого определяется отношением диаметров. При< 2 значение φ близко к единице, а это значит, что влиянием кривизны стенки в этом случае можно пренебречь и тогда расчет теплопроводности тонкостенных цилиндров (труб) можно производить по формулам для плоской стенки.

Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из nслоев (плотно прилегающих друг к другу), по аналогии с выводом, приведенным для однослойной стенки:

, (7.32)

где i– порядковый номер слоя стенки.

В многослойной цилиндрической стенке температура внутри каждого слоя изменяется по логарифмическому закону, но для всей стенки в целом температурная линия представляет собой ломаную кривую (рис. 7.6).

Температуры прилегающих слоев в случае необходимости могут быть рассчитаны из равенств:

. (7.33)

Теплопроводность сферической стенки. Стенка полого шара состоит из однородного материала, коэффициент теплопроводности которого постоянен и равен. Внутренняя и внешняя поверхности шара поддерживаются при постоянных температурахи. Температура изменяется только в направлении радиуса шара, изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности. Радиусы внутренней и внешней поверхности соответственноr₁иr₂(рис. 7.7).

Рисунок 7.6 – Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки	Рисунок 7.7 – К выводу уравнения теплопроводности сферической стенки

В соответствии с законом Фурье количество тепла, проходящее через шаровой слой толщиной drи радиусомr

. (7.34)

В результате разделения переменных и интегрирования этого выражения в соответствующих пределах, получим:

,

откуда

, (7.35)

где и– диаметры внутренней и внешней поверхности соответственно.

Уравнения (7.35) являются расчетными формулами теплопроводности сферической стенки. Как следует из них, при = сonst температура в сферической стенке меняется по закону гиперболы.

По аналогии с плоской и цилиндрической стенками для многослойной сферической стенки

. (7.36)