Матан / I V модуль / Funkciji_bagatokh_zminnikh

2

1.3. Поняття збiжної послiдовностi. Критерiй Кошi.

Означення 1.6. Множина U називається околом точки a в Rm, якщо iснує таке " > 0, що B(a; ") U.

Означення 1.7. Послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 Rm називається збiжною до точки a 2 Rm, якщо для довiльного " > 0 iснує такий номер N 2 N, що для всiх n N виконується нерiвнiсть d(xn; a) < ".

Теорема 1.8. Послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn = (xn;1; : : : ; xn;m) 2 Rm є збiжною в Rm тодi i тiльки тодi, коли для кожного k = 1; : : : ; m числова послiдовнiсть (xk;n)1n=1 є збiжною.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай lim xn = a, де a = (a1; : : : ; am) 2 Rm. Тодi

n!1

q

d(xn; a) = (xn;1 a1)2 + + (xn;m am)2 ! 0:

Оскiльки для кожного 1 k m

qq

0 jxk;n akj = (xk;n ak)2 (xn;1 a1)2 + + (xn;m am)2;

то jxk;n akj ! 0, звiдки lim xk;n = ak.

n!1

Доведення. Послiдовнiсть (xn)1n=1 збiжна тодi i тiльки тодi, коли (xn)1n=1 покоординатно збiжна, тому (xn)1n=1 покоординатно обмежена, звiдки з теореми 14.5 випливає, що послi-

Означення 1.10. Послiдовнiсть (xn)1n=1 називається фундаментальною в Rm, якщо для довiльного " > 0 iснує N 2 N, таке, що для всiх n N i p 1 виконується нерiвнiсть

d(xn+p; xn) < ":

Теорема 1.11 (Критерiй Кошi). Послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 Rm збiжна в Rm тодi i тiльки тодi, коли вона фундаментальна в Rm.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай lim xn = a, де a 2 Rm. Зафiксуємо " > 0 i знайдемо таке

n!1

N 2 N, що

"

d(xn; a) < 2

для всiх n N. Тодi для всiх p 1 виконується нерiвнiсть n + p N, звiдки випливає, що

"

d(xn+p; a) < 2:

3

З нерiвностi трикутника

" "

d(xn; xn+p) d(xn; a) + d(a; xn+p) < 2 + 2 = ":

Отже, послiдовнiсть (xn)1n=1 фундаментальна.

Достатнiсть. Нехай послiдовнiсть (xn)1n=1, де xn = (xn;1; : : : ; xn;m) 2 Rm, фундаментальна. Оскiльки

q

0jxn+p;k xn;kj (xn+p;1 xn;1)2 + + (xn+p;m xn;m)2 = d(xn+p; xn);

аd(xn+p; xn) ! 0, то числова послiдовнiсть (xn;k)1n=1 фундаментальна для кожного 1 k m. Згiдно з критерiєм Кошi збiжностi числових послiдовностей, кожна послiдовнiсть

(xn;k)1n=1 збiжна. Покладемо

1.4. Лема Больцано-Вейєрштрасса.

Теорема 1.12 (Лема Больцано-Вейєрштрасса). З кожної збiжної послiдовностi в Rm можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть.

Доведення. Доведемо для m = 2.

Нехай ((xn; yn))1n=1 – обмежена послiдовнiсть в R2. Тодi згiдно з твердженням 14.5 числовi послiдовностi (xn)1n=1 i (yn)1n=1 обмеженi. За лемою Больцано-Вейєрштрасса для числових послiдовностей, з послiдовностi (xn)1n=1 можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xnk )1k=1, тобто

lim xnk = a:

k!1

Покладемо yk0 = ynk . Послiдовнiсть (yk0 )1k=1 обмежена, як пiдпослiдовнiсть обмеженої послiдовностi. Тому знову за лемою Больцано-Вейєрштрасса для числових послiдовностей з (yk0 )1k=1 можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (yk0 i )1i=1, тобто

lim yk0 i = lim ynki = b:

i!1 i!1

2.Лекцiя №15. Границя i неперервнiсть функцiй багатьох змiнних

Границя функцiї багатьох змiнних.

Зв’язок подвiйних границь з повторними.

Поняття неперервної функцiї. Дiї над неперервними функцiями.

Теореми Больцано-Кошi.

Теореми Вейєрштрасса.

Рiвномiрна неперервнiсть i теорема Кантора.

4

2.1. Границя функцiї багатьох змiнних. Нехай X Rm.

Означення 2.1. Функцiєю f : X ! R називається певне правило, за яким кожному x 2 X ставиться у вiдповiднiсть єдине y 2 R, яке називається значенням функцiї f у точцi x i позначається f(x). При цьому, множина X називається областю визначення функцiї f i позначається Df , а множина f(X) = ff(x) : x 2 Xg називається множиною значень функцiї f i позначається Ef .

Функцiя f : X ! R, визначена на деякiй множинi X Rm, називається функцiєю m

Означення 2.3. Число b 2 R називається границею функцiї f при x ! a i позначається

b = lim f(x) або b = lim f(x1; x2; : : : ; xm);

x!a

якщо для довiльного " > 0 iснує таке > 0, що jf(x) bj < ", як тiльки d(x; a) < .

Аналогiчно як для функцiй однiєї змiнної доводяться наступнi властивостi:

Тодi iснує повторна границя lim '(y), яка також дорiвнює A, тобто

y!b

lim lim f(x; y) = lim f(x; y):

Доведення. Зафiксуємо " > 0 i знайдемо > 0, таке, що для всiх (x; y) 2 Df з того, що

p

(x a)2 + (y b)2 < випливає, що jf(x; y) Aj < ".

Перейдемо до границi при x ! a i одержимо, що з нерiвностi jy bj < випливає, що j'(y) Aj < ":

5

y!b

2.3. Поняття неперервної функцiї. Дiї над неперервними функцiями.

Означення 2.5. Функцiя f : X ! R, де X Rm, називається неперервною в точцi x0 2 X, якщо

lim f(x) = f(x0):

x!x0

Означення 2.6. Функцiя, неперервна в кожнiй точцi своєї областi визначення, називається неперервною.

Аналогiчно як для функцiї однiєї змiнної доводиться, що сума, рiзниця, добуток i частка неперервних функцiй є неперервною функцiєю.

2.4.Теореми Больцано-Кошi.

2.5.Теореми Вейєрштрасса.

2.6.Рiвномiрна неперервнiсть i теорема Кантора.

3.Лекцiя №16. Частиннi похiднi i диференцiали функцiй багатьох змiнних

Частиннi похiднi функцiй багатьох змiнних.

Диференцiал функцiї багатьох змiнних.

Диференцiювання складеної функцiї.

Iнварiантнiсть форми першого диференцiала.

Похiднi вищих порядкiв.

Рiвнiсть мiшаних похiдних.

3.1. Частиннi похiднi функцiй багатьох змiнних. Нехай u = f(x; y; z) – деяка функцiя, (x0; y0; z0) 2 Df та iснує окiл U точки x0 в R, такий, що (x; y0; z0) 2 Df для кожного x 2 U.

Означення 3.1. Скiнченна границя

f(x0 + x; y0; z0) f(x0; y0; z0)

x

називається частинною похiдною функцiї f по змiннiй x в точцi (x0; y0; z0) i позначається одним з наступних символiв:

Так само вводяться поняття частинних похiдних для функцiї u = f(x1; x2; : : : ; xm). Тобто

6

(2) u = arctg xy ;

x

(3) u = x2 + y2 + z2 .

3.2. Диференцiал функцiї багатьох змiнних. Нехай X Rm, f : X ! R, x 2 X, x = (x1; : : : ; xm),

x = ( x1; : : : ; xm) прирiст аргументу; x + x = (x1 + x1; : : : ; xm + xm) 2 X;

f(x) = f(x + x) f(x) =

= f(x1 + x1; : : : ; xm + xm) f(x1; : : : ; xm) прирiст функцiї;

q

% = x21 + + x2m = d( x; 0):

Означення 3.2. Функцiя f називається диференцiйовною в точцi x, якщо iснують такi

Теорема 3.4. Нехай функцiя f : X ! R, де X Rm, визначена в деякому околi точки x 2 X i диференцiйовна в точцi x. Тодi

де A1; : : : ; Am – числа з рiвностi ( ).

7

Доведення. Оскiльки X – окiл точки x, то iснує таке > 0, що для довiльного x1 2 R, такого, що j x1j < , маємо

(x1 + x1; x2; : : : ; xm) 2 X:

Покладемо

точки (x0; y0) i є неперервними в цiй точцi. Тодi f диференцiйовна в точцi (x0; y0). Доведення. Покажемо, що має мiсце рiвнiсть ( ). Справдi,

f(x0; y0) = f(x0 + x; y0 + y) f(x0; y0) =

= (f(x0 + x; y0 + y) f(x0; y0 + y)) + (f(x0; y0 + y) f(x0 + x; y0 + y)) = B + C:

Функцiя f(t; y0 + y) диференцiйовна на [x0; x0 + x] як функцiя однiєї змiнної. Згiдно з теоремою Лаґранжа, iснує така точка a 2 [x0; x0 + x], що

f(x0 + x; y0 + y) f(x0; y0 + y) = fx0 (a; y0 + y) x = = fx0 (x0; y0) x + (fx0 (a; y0 + y) fx0 (x0; y0)) x:

Позначимо

( x; y) = (fx0 (a; y0 + y) fx0 (x0; y0)) x:

8

Означення 3.6. Головна лiнiйна частина приросту диференцiйовної функцiї називається

диференцiалом функцiї f, тобто

f(x) = A1 x1 + A2 x2 + + Am xm:

Врахувавши теорему 16.4, маємо

df(x) = fx01 x1 + fx02 x2 + + fx0m xm:

Для незалежних змiнних xk, 1 k m, маємо dxk = xk. Тодi df(x) = fx01 dx1 + fx02 dx2 + + fx0m dxm:

Зокрема,

3.3. Диференцiювання складеної функцiї. Нехай функцiя u = f(x; y) визначена на

кожного t 2 T .

Нехай t – деякий прирiст змiнної t, x, y i u – вiдповiднi прирости функцiй x, y

Аналогiчно, якщо u = f(x1; x2; : : : ; xm), де x1 = '1(t), x2 = '2(t), ...,xm = 'm(t), то u0t = fx01 x01 + fx02 x02 + + fx0m x0m:

3.4.Iнварiантнiсть форми першого диференцiала.

3.5.Похiднi вищих порядкiв. Нехай u = f(x; y). Тодi

3.6. Рiвнiсть мiшаних похiдних.

Теорема 3.7. Нехай функцiя u = f(x; y) визначена на вiдкритiй множинi D, iснують частиннi похiднi fx0 i fy0 на D та iснують мiшанi похiднi fxy00 i fyx00 на D, якi неперервнi в деякiй точцi (x0; y0) 2 D. Тодi

fxy00 (x0; y0) = fyx00 (x0; y0):

Доведення. Розглянемо вираз

W = f(x0 + t; y0 + s) f(x0 + t; y0) f(x0; y0 + s) + f(x0; y0); s t

де s; t 6= 0 – такi числа, що (x0 + t; y0), (x0; y0 + s), (x0 + t; y0 + s), (x0 + t; y0 + s) 2 D для всiх jtj; jsj < .

Розглянемо допомiжну функцiю

'(x) = f(x; y0 + s) f(x; y0) s

на вiдрiзку [x0; x0 + t]. Згiдно з умовами теореми функцiя ' диференцiйовна, причому

'0(x) = fx0 (x; y0 + s) fx0 (x; y0); s

зокрема, функцiя ' неперервна на [x0; x0 + t]. Тодi

W = '(x0 + t) '(x0): t

Згiдно з теоремою Лаґранжа iснує точка a 2 [x0; x0 + t], така, що

W = '0(x) = fx0 (a; y0 + s) fx0 (a; y0): s

Крiм того, функцiя fx0 (a; y) диференцiйовна на [y0; y0 + s], тому за теоремою Лаґранжа

тобто

W = fxy00 (a; b):

Оскiльки a 2 [x0; x0 + t], b 2 [y0; y0 + s], то

lim(a; b) = (x0; y0):

t!0 s!0

Врахувавши, що функцiя fxy00 неперервна в точцi (x0; y0), ми одержимо, що lim W = lim fxy00 (a; b) = fxy00 (x0; y0):

lim W = f00 (x0; y0):

t!0 yx s!0

3.7. Диференцiали вищих порядкiв. Нехай u = f(x1; x2; : : : ; xm), причому частиннi похiднi цiєї функцiї неперервнi. Тодi

Покладемо

du = d(du):

Маємо

d2u = d(u0x)dx + d(u0y)dy = (u00xxdx + u00xydy)dx + (u00yxdx + u00yydy)dy =

=u00xxdx2 + 2u00xydxdy + u00yydy2:

3.8.Формула Тейлора для функцiй багатьох змiнних. Нагадаємо формулу Тейлора для функцiй однiєї змiнної. Нехай функцiя F (t) має (n + 1)-у похiдну. Тодi

(n + 1)-го порядку в околi точки (x0; y0). Нехай x = x0 + t x, y = y0 + t y, де 0 t 1. Розглянемо функцiю

F (t) = f(x0 + t x; y0 + t y):

де 0 < < 1. Оскiльки dF (t) = fx0 xdt + fy0 ydt, то

dF (0) = fx0 x + fy0 y = df(x0; y0):

Нагадаємо, що x = x0 + t x, y = y0 + t y, де t – незалежна змiнна. Тодi dx = xdt, dy = ydt i d(dx) = d(dy) = 0. Отже, має мiсце iнварiантнiсть форми диференцiалiв, тобто dku(t) = dku(x; y) i

dkF (0) = dkf(x0; y0); k = 1; 2; : : : ; n: