Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матан! / I V модуль / Funkciji_bagatokh_zminnikh

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
253.39 Кб
Скачать

11

Наприклад,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2F (0) = f00

(x0; y0)dx2

+ 2f00 (x0; y0)dxdy + f

00 (x0; y0)dy2

= d2f(x0; y0):

xx

 

 

 

xy

 

yy

 

I нарештi,

dn+1F ( ) = dn+1f(x0 + x; y0 + y):

 

 

 

Одержимо формулу Тейлора для функцiї двох змiнних:

 

 

 

 

 

 

1

d2f(x0; y0) +

1

dnf(x0; y0)+

f(x0; y0) = df(x0; y0) +

 

+

 

2!

n!

 

1

 

dn+1f(x0 + x; y0

 

 

 

 

 

+

 

 

+ y):

 

 

 

 

 

 

(n + 1)!

 

 

 

 

 

 

Аналогiчно отримується формула Тейлора для функцiй n змiнних.

4.Лекцiя №17. Екстремуми функцiй багатьох змiнних

Поняття екстремуму функцiї багатьох змiнних.

Необхiдна умова екстремуму.

Достатня умова екстремуму функцiї двох змiнних.

Найбiльше i найменше значення функцiї.

4.1.Поняття екстремуму функцiї багатьох змiнних. Нехай X Rm.

Означення 4.1. Точка x0 називається точкою локального максимуму (мiнiмуму) функцiї f, якщо iснує окiл U точки x0, такий, що

f(x) f(x0) (f(x) f(x0))

для всiх x 2 U \ X.

Якщо f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)), для всiх x 2 U \X, x 6= x0, то x0 називається точкою строгого локального максимуму (мiнiмуму).

Точки максимуму i мiнiмуму називаються точками екстремуму.

Вiдзначимо, що для диференцiйовної функцiї f рiвнiсть нулевi всiх її частинних похiдних першого порядку у точцi x0 рiвносильна тому, що df(x0) = 0.

4.2. Необхiдна умова екстремуму.

Теорема 4.2. Нехай точка x0 є точкою локального екстремуму функцiї f : X ! R, де X Rm, та iснують частиннi похiднi fx01 (x0),...,fx0m (x0). Тодi

fx01 (x0) = fx02 (x0) = = fx0m (x0) = 0:

Доведення. Нехай x0 = (x1; x2; : : : ; xm) – точка локального максимуму. Розглянемо функцiю g(t) = f(t; x2; x3; : : : ; xm). Виберемо окiл U1 точки x1 в R, такий, що

f(t; x2; : : : ; xm) f(x1; x2; : : : ; xm);

тобто

g(t) g(x1):

Отже, x1 – точка максимуму функцiї g. Згiдно з теоремою Ферма, g0(x1) = 0, тобто

 

 

 

 

 

@f

(x0) = 0:

 

 

 

 

 

 

@x1

 

 

Аналогiчно,

 

 

 

 

 

 

 

 

@f

(x0) =

@f

(x0) = =

@f

(x0) = 0:

 

 

 

 

 

@x2

@x3

@xm

12

Зауваження 4.3. Точки, в яких всi частиннi похiднi дорiвнюють нулю, називаються стацiонарними точками або точками, пiдозрiлими на екстремум.

4.3. Достатнi умови екстремуму функцiй двох змiнних.

Теорема 4.4 (достатня умова екстремуму функцiї двох змiнних). Нехай функцiя u = f(x; y) має неперервнi частиннi похiднi першого i другого порядкiв у деякому околi своєї стацiонарної точки p0 = (x0; y0),

A =

@2f

(p0);

B =

@2f

(p0);

C =

@2f

(p0):

@x2

@x@y

@y2

Тодi:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)якщо AC B2 > 0 i A > 0, то p0 – точка строгого локального мiнiмуму;

2)якщо AC B2 > 0 i A < 0, то p0 – точка строгого локального максимуму;

3)якщо AC B2 < 0, то p0 не є точкою локального екстремуму.

Доведення. Позначимо

x = x x0; y = y y0;= f(x; y) f(x0; y0):

Згiдно з формулою Тейлора

= df(x0; y0) + 12d2f(x0 + " x; y0 + " y) =

=0 + 12(fxx00 (a; b) x2 + 2fxy00 (a; b) x y + fyy00 (a; b) y2);

де a = x0 + " x, b = y0 + " y, 0 < " < 1. Позначимо

= fxx00 (a; b) A; = fxy00 (a; b) B; = fyy00 (a; b) C:

Тодi

= 12(A x2 + 2B x y + C y2 + x2 + 2 x y + y2):

Знеперервностi частинних похiдних випливає, що

 

 

 

 

 

 

lim =

lim =

lim = 0:

 

 

 

 

 

 

x!0

x!0

x!0

Покладемо

 

 

 

 

y!0

y!0

y!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC

 

% = x2 + y2;

x = % cos '; y = % sin ':

(1) Нехай

 

B2 > 0

A > 0

. Тодi

 

 

pi

 

 

%2

(A cos2

' + 2B sin ' cos ' + C sin2 ' + cos2 ' + 2 sin ' cos ' + sin2 '):

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо, що

A cos2 ' + 2B sin ' cos ' + C sin2 ' =

=A1 (A2 cos2 ' + 2AB sin ' cos ' + B2 sin2 ' + (AC B2) sin2 ') =

=A1 ((A cos ' + B sin ')2 + (AC B2) sin2 ') 0:

Якщо

(A cos ' + B sin ')2 + (AC B2) sin2 ' = 0;

то

sin ' = 0; i cos ' = 0;

а це суперечнiсть. Отже,

(A cos ' + B sin ')2 + (AC B2) sin2 ' > 0:

13

Позначимо

m = min ((A cos ' + B sin ')2 + (AC B2) sin2 '):

0 ' 2

Згiдно з теоремою Вейєрштрасса, m > 0. Зазначимо, що

j cos2 ' + 2 sin ' cos ' + sin2 'j j j + j j + j j:

Оскiльки ; ; – нескiнченно малi, то iснує таке > 0, що для довiльних j xj <

i j yj < маємо

 

 

 

 

 

 

m

 

 

j j + j j

+ j j < j

 

j:

 

 

A

 

 

Позначимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K = (A cos ' + B sin ')2 + (AC B2) sin2 '+

 

 

+A( cos2 ' + 2 sin ' cos ' + sin2 ')):

 

 

Тодi

%2 1

 

 

 

 

 

=

K;

(1)

 

 

 

 

 

причому

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K m j cos2 ' + 2 sin ' cos ' + sin2 'j > m jAj j

m

 

j = 0:

A

Тепер, якщо A > 0, то 0, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x; y) f(x0; y0):

 

 

Отже, (x0; y0) – точка мiнiмуму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) Нехай AC B2 > 0 i A < 0. Тодi 0, тобто

 

 

f(x; y) f(x0; y0):

 

 

Отже, (x0; y0) – точка максимуму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) Нехай AC B2 < 0 i A 6= 0. Пiдставимо '1 = 0 в (1). Тодi

 

 

%2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

(A + ):

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо, що при досить малих значеннях x знаки i A однаковi. Виберемо '2 так, щоб A cos '2 + B sin '2 = 0. Тодi, оскiльки sin ' 6= 0, то

= %2 1 ((AC B2) sin2 ' + A( cos2 ' + 2 sin ' cos ' + sin2 ')) 2 A

i для малих x i y вирази i A рiзних знакiв. Таким чином, вираз не зберiгає свого знаку.

Якщо A = 0 i C 6= 0, то мiркуємо аналогiчно ('1 = 2 , '2 – таке ж саме, як в попередньому випадку).

Якщо A = 0 i C = 0, то

= (2B sin ' cos ' + 0) %2 : 2

Досить взяти '1 = 4 , '2 = 4 . Тодi

= %2 ( B + 0) 2

i при малих x i y, таких, що j 0j < jBj, маємо, що при '1 i '2 має рiзнi знаки. Отже, прирiст функцiї в довiльному околi точки (x0; y0) має рiзнi знаки, тому

екстремуму в цiй точцi немає.

14

4.4. Достатнi умови екстремуму функцiй m змiнних. Для формулювання достатнiх умов iснування чи вiдсутностi екстремуму функцiї m змiнних у загальному випадку нагадаємо деякi вiдомостi з курсу вищої алгебри щодо квадратичних форм вiд m змiнних t1, t2, ... , tm, тобто однорiдних многочленiв другого степеня вигляду

m

X

aij ti tj;

(2)

i;j=1

де aij – фiксованi числа, причому aij = aji для довiльних i; j = 1; : : : ; m. Квадратична форма (2) називається додатно (вiд’ємно) визначеною, якщо вона набуває лише строго додатних (вiд’ємних) значень при будь-яких значеннях змiнних t1, t2, ... , tm, для яких jt1j + jt2j + ::: + jtmj 6= 0. Якщо ж квадратична форма (2) набуває значень рiзних знакiв, то вона називається невизначеною.

Теорема 4.5 (критерiй Сiльвестра). Квадратична форма (2) додатно визначена тодi й лише тодi, коли

a11 > 0; a21

a22

 

> 0; :::;

:::

:::

:::

> 0;

 

a11

a12

 

 

a11

:::

a1m

 

am1

:::

amm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а вiд’ємно визначена тодi й лише тодi, коли

a11 < 0; a21

a22

 

> 0; :::; (

1)m

:::

:::

:::

> 0:

 

a11

a12

 

 

 

a11

:::

a1m

 

am1

:::

amm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.6 (достатня умова екстремуму функцiї багатьох змiнних). Нехай функцiя f : X ! R має неперервнi частиннi похiднi першого i другого порядкiв у деякому околi своєї стацiонарної точки x0 2 X, а

@2f

aij = @xi@xj (x0)

для всiх i; j = 1; :::; m. Тодi якщо вiдповiдна квадратична форма (2) додатно визначена, то x0 – точка строгого локального мiнiмуму, якщо вiд’ємно визначена, то x0 – точка строгого локального максимуму, а якщо невизначена, то x0 не є точкою локального екстремуму.

4.5. Найбiльше i найменше значення функцiї. Нехай функцiя u = f(x1; : : : ; xm) неперервна на компактнiй множинi X i у всiх точках, за виключенням, можливо, скiнченної кiлькостi, має частиннi похiднi.

Згiдно з теоремою Вейєрштрасса функцiя f набуває найбiльшого i найменшого значення на множинi X.

Схема знаходження найбiльшого i найменшого значень.

(1)Знаходимо точки, пiдозрiлi на екстремуми, якi належать до множини X.

(2)Знаходимо найбiльше i найменше значення функцiї серед значень в стацiонарних точках, точках, в яких не iснує похiдної, а також в точках, якi лежать на межi множини X.

15

5.Лекцiя №18. Неявнi функцiї

Поняття неявної функцiї.

Iснування i неперервнiсть неявної функцiї.

Диференцiйовнiсть неявної функцiї.

Неявнi функцiї багатьох змiнних.

5.1.Поняття неявної функцiї. Нехай P R2, F : P ! R, X R i f : X ! R. Кажуть, що функцiя y = f(x) задається неявно за допомогою рiвностi

F (x; y) = 0;

(1)

якщо (x; f(x)) 2 P i F (x; f(x)) = 0 для кожного x 2 X. У такому випадку також говорять, що рiвняння (1) неявно задає функцiю f. При цьому звертають увагу на такий зв’язок мiж функцiями F i f: якщо для фiксованого x 2 X рiвнiсть (1) розглядати як рiвняння вiдносно змiнної y, то значення функцiї f в точцi x є розв’язком цього рiвняння.

Неявно задана функцiя називаються також неявною функцiєю. Зауважимо, що хоча термiн ”неявна функцiя” за своєю формою стосується функцiї, насправдi вiн вказує лише на спосiб задання цiєї функцiї i не має вiдношення до її природи. Так, наприклад, рiвнiсть

x2 + y2 = 1

pp

неявно задає двi неперервнi функцiї y =

1 x2 i y = 1 x2.

 

 

 

 

 

 

 

5.2. Iснування i неперервнiсть неявної функцiї.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5.1. Нехай

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а) функцiя F (x; y) неперервна на прямокутнику [x0 a; x0 + a] [y0 b; y0 + b];

 

 

(б) F (x0; y0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(в)

для кожного фiксованого x

2

[x0

 

a; x0 + a] функцiя F x

: [y0

 

b; y0

+ b]

!

R

,

F

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y) = F (x; y), строго зростає на вiдрiзку [y0 b; y0 + b].

 

 

 

 

 

 

 

Тодi на деякому околi U точки x0 рiвняння (1) визначає єдину неперервну функцiю y = f(x), таку, що

f(x0) = y0 i F (x; f(x)) = 0

для кожного x 2 X.

Доведення. Нехай M = (x0; y0), A0 = (x0; y0 b), B = (x0; y0 + b), F x0 (y0) = 0.

Оскiльки функцiя F x0 зростає, то

F (x0; y0 + b) > F (x0; y0) > F (x0; y0 b);

16

 

тобто

 

F (x0; y0 + b) > 0 i

F (x0; y0 b) < 0:

Використовуючи неперервнiсть функцiї F

в точках A0 i B0, знайдемо такий окiл

U0 = (x0 ; x0 + ) точки x0, що

 

F (x; y0 b) < 0 i

F (x; y0 + b) > 0

для кожного x 2 U0.

Вiзьмемо довiльне x 2 U0. Розглянемо функцiю F x(y). Оскiльки функцiя F x неперервна на [y0 b; y0 + b], F x(y0 b) < 0 i F x(y0 + b) > 0, то згiдно з теоремою Больцано-Кошi iснує точка y 2 [y0 b; y0 + b], така, що

F x(y) = F (x; y) = 0:

Врахувавши, що функцiя F x строго зростає, ми одержимо, що така точка y єдина. Отже, для кожного x 2 U0 iснує єдине y 2 [y0 b; y0 + b], таке, що

F (x0; y0) = 0;

тобто рiвняння (1) визначає єдину функцiю f : U0 ! [y0 b; y0 + b].

Залишилось довести, що функцiя f неперервна. Вiзьмемо довiльну точку x1 2 U0 i " > 0. Виберемо a1 > 0 так, щоб [x1 a1; x1 + a1] U0. Позначимо y1 = f(x1). Тодi F (x1; y1) = 0 i функцiя F задовольняє умови теореми на прямокутнику [x1 a1; x1 + a1] [y1 "; y1 + "]. Тому згiдно з доведеним рiвняння (1) визначає єдину функцiю g : U1 ! [y1 "; y1 + "], таку, що F (x; g(x)) = 0 для всiх x 2 U1, де U1 – деякий окiл точки x1, U1 U0. Тобто,

y = g(x) , F (x; y) = 0 для кожного x 2 U1 U0:

але

 

y = f(x) , F (x; y) = 0 для кожного x 2 U0:

 

Отже, f(x) = g(x) для кожного x 2 U1, зокрема,

 

f(x) 2 [y1 "; y1 + "];

 

тобто

 

jf(x) y0j "

 

для всiх x 2 U1. Таким чином, f неперервна в точцi x1.

5.3. Диференцiйовнiсть неявної функцiї. Теорема 5.2. Нехай

(а) функцiя F (x; y) неперервна на прямокутнику P = [x0 a; x0 + a] [y0 b; y0 + b];

(б) iснують неперервнi на P частиннi похiднi Fx0, Fy0;

(в) F (x0; y0) = 0;

(г) Fy0(x0; y0) 6= 0.

Тодi в деякому околi точки (x0; y0) рiвняння (1) визначає єдину функцiю y = f(x), яка є неперервно диференцiйовною, причому y0 = f(x0) i

f0(x0) = Fx00(x0; y0): Fy(x0; y0)

17

Доведення. Для певностi вважатимемо, що Fy0(x0; y0) > 0. Оскiльки Fy0 неперервна в точцi

(x0; y0), то можна вибрати прямокутник D1 = [x0 a1; x0+a1] [y0 b1; y0+b1] так, що Fy0 > 0 на D1. Тодi функцiя F x зростає на вiдрiзку [y0 b1; y0 +b1] для кожного x 2 [x0 a1; x0 +a1].

Функцiя F (x; y) задовольняє умови теореми 18.1, тому на деякому околi U точки x0 iснує єдина функцiя y = f(x), яка є неперервною, y0 = f(x0) i F (x; f(x)) = 0 для кожного x 2 U.

Нехай x – прирiст аргумента, y = f(x0 + x) f(x0). Маємо y0 + y = f(x0 + x) i

F (x0 + x; y0 + y) = 0. Тодi

F (x0; y0) = F (x0 + x; y0 + y) F (x0; y0) = 0 0 = 0:

Оскiльки частиннi похiднi Fx0 i Fy0 неперервнi в точцi (x0; y0), то згiдно з теоремою 16.5 функцiя F диференцiйовна в точцi (x0; y0), тобто

F (x0; y0) = Fx0(x0; y0) x + Fy0(x0; y0) y + (%);

p

де % = x2 + y2. Бiльше того, при доведеннi теореми 16.5 фактично було встановлено,

що

F (x0; y0) = Fx0(x0; y0) x + Fy0(x0; y0) y + 1 x + 1 y;

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 1 =

lim 1 = 0:

 

 

x!0

x!0

 

 

 

 

 

 

 

y!0

y!0

 

 

 

 

 

Врахувавши, що F (x0; y0) = 0, ми одержимо

 

 

 

 

 

 

y

Fx0(x0; y0) + 1

 

 

=

 

 

 

 

:

 

 

x

Fy0(x0; y0) + 1

Оскiльки функцiя y = f(x) неперервна, то y ! 0 при x ! 0. Тому

 

 

lim 1 =

lim 1 = 0:

 

 

x!0

x!0

 

 

 

 

 

Спрямувавши x до нуля, ми отримаємо

 

 

 

 

 

 

 

f0(x

 

 

 

y

 

F 0

(x0; y0)

) = lim

 

 

=

 

x

 

:

 

 

F 0

 

0

 

x 0 x

(x0; y0)

 

 

 

!

 

 

 

 

 

y

 

 

 

Неперервнiсть f0(x) випливає з неперервностi функцiї f i похiдних Fx0 та Fy0.

 

5.4. Неявнi функцiї багатьох змiнних. Нехай P Rm+1, F : P ! R,

X Rm i

f : X ! R. Рiвняння (рiвнiсть)

 

F (x1; x2; : : : ; xm; y) = 0:

(2)

неявно задає функцiю y = f(x1; : : : ; xm), якщо (x1; : : : ; xm; f(x1; : : : ; xm)) 2 P i

 

F (x1; : : : ; xm; f(x1); : : : ; f(xm)) = 0

 

для всiх (x1; : : : ; xm) 2 X.

Теорема 5.3. Нехай

(а) функцiя F (x1; : : : ; xm; y) неперервна на паралелепiпедi

m

Y

P = [x(0)k ak; x(0)k + ak] [y0 b; y0 + b];

k=1

(б) iснують неперервнi на P частиннi похiднi Fx01 , Fx02 , : : : , Fx0m , Fy0;

(в) F (x(0)1 ; x(0)2 ; : : : ; x(0)m ; y0) = 0;

(г) Fy0(x(0)1 ; x(0)2 ; : : : ; x(0)m ; y0) 6= 0.

18

Тодi в деякому околi точки x0 = (x(0)1 ; : : : ; x(0)m ) рiвняння (2) визначає єдину функцiю y = f(x1; : : : ; xm), яка має неперервнi частиннi похiднi, причому y0 = f(x0) i

 

 

 

0

 

F

0 (x0; y0)

 

 

 

 

(x0) =

xk

 

 

 

 

fxk

 

 

 

 

 

 

Fy0(x0; y0)

 

для кожного k = 1; : : : ; n.

 

 

 

 

 

 

 

5.5. Неявнi

функцiї, якi

задаються системами mрiвнянь. Нехай P

Rm+n,

F1; : : : ; Fn : P

! R – функцiї (m + n) змiнних, X R i f1; : : : fn : X ! R – функцiї

m змiнних. Система рiвнянь

 

 

 

 

 

 

 

 

8 F2

(x1

; : : : ; xm; y1

; : : : ; yn) = 0;

(3)

 

>

F1

(x1

; : : : ; xm; y1

; : : : ; yn) = 0;

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

<

>

>

: Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0:

неявно визначає функцiї y1 = f1(x1; : : : ; xm), : : : , yn = fn(x1; : : : ; xm), якщо для кожного

(x1; : : : xm) 2 X виконуються умови:

(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) 2 P; F1(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) = 0;

: : :

Fn(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) = 0:

Для функцiй

F1(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn); : : : ; Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn)

з системи (3) позначимо через J якобiан D(F1;:::;Fn) , тобто

D(y1;:::;yn)

 

 

@F1

@F2

 

 

@F1

@F2

 

@y2

@y2

 

 

@y1

@y1

J =

: : :

: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

@yn

@yn

 

 

 

 

 

 

 

 

@F

 

@F

 

: : : @Fn

@y1

: : : @Fn

@y2

: : : : : :

: : : @Fn

@yn

: (4)

Теорема 5.4. Нехай x0 = (x(0)1 ; : : : ; x(0)m ) 2 Rm, y0 = (y1(0); : : : ; yn(0)) 2 Rn i виконуються такi умови:

(1) для кожного i = 1; : : : ; n функцiя Fi(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn)

неперервна на (m + n)-вимiрному паралелепiпедi

m

 

ak; xk(0)

n

bk; yk(0) + bk];

P =

[xk(0)

+ ak] [yk(0)

kQ

 

 

Q

 

=1

 

 

k=1

 

(2)iснують неперервнi на множинi P всi частиннi похiднi функцiй F1, : : : , Fn;

(3)Fi(x0; y0) = 0 для кожного i = 1; : : : ; n;

(4)J(x0; y0) 6= 0.

Тодi в деякому околi точки x0 система (3) визначає єдинi функцiї y1 = f1(x1; : : : ; xm),

: : : , yn = fn(x1; : : : ; xm), якi є неперервними i мають неперервнi частиннi похiднi, причому

(f1(x0); f2(x0); : : : ; fn(x0)) = y0:

 

 

 

 

19

Зауважимо, що для кожного k = 1 : : : ; m частиннi похiднi

@y1

; : : : ;

@yn

функцiй

@xk

@xk

y1 = f1(x1; : : : ; xm), : : : , yn = fn(x1; : : : ; xm), заданих системою (3), можна знайти, розв’я- завши таку систему

 

 

 

8 @xk

+ @y1

@xk + + @yn

@xk

= 0;

 

 

 

 

>

@F1

+

@F1

@y1

+

+

@F1

@yn

= 0;

 

 

 

 

@xk

@y1 @xk

@yn @xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> : : :

 

 

@F2 @y1

 

 

 

 

@F2 @yn

 

 

 

 

 

 

 

>

@F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

@Fn

+

@Fn @y1

+

 

+

@Fn @yn

 

= 0:

 

 

 

 

>

@xk

@y1 @xk

@yn @xk

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А диференцiали dy1; : : : ; dyn>цих функцiй є розв’язками такої системи

8

@F1

dx1

+ +

@F1

 

 

@F1

 

dy1

+ +

@F1

 

@x1

@xm dxm +

@y1

 

@yn dyn = 0;

>

@x1

dx1

+

 

+

@xm dxm +

@y1

 

dy1

+

 

+

@yn dyn = 0;

: : :

 

 

 

 

 

@F2

 

 

@F2

 

 

 

 

 

 

 

@F2

 

>

@F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

@Fn

dx1 +

+

@Fn

 

 

@Fn

dy1

+ +

@Fn

dyn = 0:

>

@x1

@xm dxm + @y1

 

@yn

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке I V модуль