1. Лекцiя №2. Замiна змiнних та iнтегрування частинами. Iнтегрування рацiональних функцiй.
Замiна змiнних у невизначеному iнтегралi.
Використання пiдстановок.
Iнтегрування частинами у невизначеному iнтегралi.
Простi дроби та їх iнтегрування.
Iнтегрування рацiональних функцiй.
1.1.Замiна змiнних у невизначеному iнтегралi.
R
Теорема 1.1. Нехай g(t)dt = G(t) + C. Тодi
Z
g('(x))'0(x)dx = G('(x)) + C:
Доведення. Знайдемо похiдну правої частини:
(G('(x)))0 = G0('(x)) '0(x) = g('(x))'0(x):
Таким чином, має мiсце рiвнiсть
ZZ
f('(x))'0(x)dx = f(t)dt;
яка називається формулою замiни змiнної. Внесення пiд знак диференцiала: '0(x)dx = d('(x)).
Приклади:
(1) |
Z |
x4 + 1; |
|
|
xdx |
Z
(2)sin3 x cos xdx;
Zx2
(3)cos2 x3 dx.
1.2.Використання пiдстановок.
Zp
(1)1 x2dx; (x = sin t, t 2 [ 2 ; 2 ]),
pp
1 x2 = 1 sin2 t = cos t; dx = cos tdt;
Z p1 x2dx = Z |
cos2 tdt = 2 Z |
(1 + cos 2t)dt = 2t + |
4 sin 2t + C = |
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 p |
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|||
|
|
|
= |
|
arcsinx + |
|
x |
|
+ C: |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Zp
(2)1 + x2dx; (x = shx).
|
|
|
Z p1 + x2dx = ch2tdt = 2 Z |
(ch2t + 1)dt = 4sh2t + |
2t + C = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xp |
|
1 |
1 |
ln(x + p |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 + x2 |
|
|
x2 |
+ 1) + C: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(3) |
Z |
p1 + ex |
|
Z |
2 |
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
t + 1 |
|
|
, |
t = p |
|
|
. |
||||||||
|
t(t2 1) |
|
t2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
2tdt |
|
|
|
dt |
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
+ C |
|
1 |
+ ex |
|
1
2
1.3. Iнтегрування частинами у невизначеному iнтегралi. Нехай u i v – диференцi-
йовнi функцiї. Тодi d(uv) = udv + vdu, Z |
d(uv) = udv + vdu. Оскiльки Z |
d(uv) = C + uv, |
то має мiсце формула iнтегрування частинами: |
|
|
Z |
Z |
|
udv = uv vdu:
Приклади:
Z
(1)x cos xdx;
(2) |
Z |
x2 ln xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Z |
|
dx |
. Позначимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x2 + a2)n |
In = Z |
(x2 + a2)n : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= (x2 + a2)n Z x( n)(x2 +2a2)n+1 dx = |
|
(x2 + a2)n + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
In |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
+2n |
x2 + a2 a2 |
dx = |
|
x |
|
|
= 2nI |
|
2na2I |
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 + a2)n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
звiдки |
|
Z |
(x2 + a2)n+1 |
|
|
n |
|
n+1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1.1) |
|
|
|
|
|
I |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
x |
+ |
|
2n 1 |
I |
: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2na2 (x2 + a2)n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Зокрема, Z |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
2na2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x2 + a2)2 |
= I2 |
= 2a2 x2 |
+ a2 + |
2a2 arctg a |
+ C: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1.4. Простi дроби та їх iнтегрування. Серед правильних рацiональних дробiв розрiзняють простi дроби наступних чотирьох типiв:
(1) |
A |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(2) |
A |
|
|
|
|
, k = 2; 3; : : : ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(3) |
Mx + N |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(4) |
Mx + N |
, де m = 2; 3; : : : i x2 + px + q – незвiдний квадратний тричлен. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 + px + q)m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I тип. Z |
|
|
A |
|
|
dx = A |
d(x a) |
= A ln |
x |
|
a |
+ C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
II тип. Z |
|
|
|
|
|
A |
= A Z |
d(x |
|
|
a) |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
||||||||||||||||
|
|
(x |
|
a)k |
|
(x |
|
a)k |
k |
|
1 (x |
|
a)k 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
) |
|
|
|
M (2x + p)dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Mx + N |
|
|
|
|
2 |
|
(2x + p) + (N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
III тип. Z |
|
|
dx = Z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx = |
|
Z |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
|
2 |
x2 + px + q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(N |
|
) Z |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
2x + p |
|
|
dx = Z |
d(x2 + px + q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln(x2 + px + q) + C: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
x2 + px + q |
|
3
Z |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
q |
t = x + p ; |
|
|
|
Z |
dt |
||||||||||||
x + px + q |
|
(x + 2 )2 + q |
|
|
|
|
|
|
|
4 = a > 0 |
|
|
t + a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
= |
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
= |
|
|
|
2 2 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
IV тип. |
Z |
|
(x2 + px + q)m dx = 2 |
a |
a |
+ (N 2 |
|
|
|
(x2 + px + q)m ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
(x2 + px + q)m |
) Z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Mx + N |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
(2x + p)dx |
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
Z |
|
|
|
(2x + p)dx |
= Z |
|
d(x2 + px + q) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ C; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + px + q)m |
(x2 + px + q)m |
m 1 |
(x2 + px + q)m 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 |
|
dx |
|
|
|
|
= |
q |
t = x + p ; |
|
|
= |
|
|
|
dt |
|
|
|
= Im; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ px + q)m |
|
|
p42 |
|
= a2 > 0 |
|
|
(t2 + a2)m |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де iнтеграл Im знаходиться з рекурентної |
|
формули (1.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5.Iнтегрування рацiональних функцiй.
Розклад правильних дробiв на простi.
P (x) – правильний дрiб, якщо степiнь P (x) менше степеня Q(x).
Q(x)
Теорема 1.2. Довiльний правильний дрiб можна пожати у виглядi скiнченної суми простих дробiв.
Доведення. Нехай QP ((xx)) правильний дрiб. Многочлен Q(x) можна подати у виглядi
Q(x) = (x a1)k1 (x a2)k2 : : : (x2 + p1x + q1)m1 (x2 + p2x + q2)m2 : : : :
Тодi |
|
P (x) |
|
A1 |
|
A2 |
|
|
Ak1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ + |
|
|
+ + |
|
|
Q(x) |
(x a1) |
(x a1)2 |
(x a1)k1 |
|
||||||||||
+ |
M1x + N1 |
|
+ |
M2x + N2 |
+ + |
|
Mm1 x + Nm1 |
+ : : : : |
|||||||
(x2 + p1x + q1) |
(x2 + p1x + q1)2 |
|
(x2 + p1x + q1)m+1 |
Для того, щоб знайти A1; A2; : : : ; Ak1 , M1; N1; : : : потрiбно в останнiй рiвностi звести в правiй частинi до спiльного знаменника Q(x). Кiлькiсть невiдомих коефiцiєнтiв = n, де n – степiнь Q(x). Прирiвнявши вiдповiднi коефiцiєнти при степенях xi у P (x) i многочлена в правiй частинi одержимо n лiнiйних рiвнянь вiдносно n невiдомих.
Iнтегрування довiльної рацiональної функцiї.
(1)Видiляємо цiлу частину R(x) = S(x) + QP ((xx)) , S(x), P (x), Q(x) – многочлени, причому степiнь P (x) менший нiж степiнь Q(x);
(2)правильний дрiб QP ((xx)) подаємо у виглядi скiнченної суми простих дробiв;
(3)iнтегруємо S(x) i простi дроби з розкладу.
Приклад Z |
x3 3x3 x + 1 |
dx |
. |
(x 1)2(x2 + 1) |