Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
130.89 Кб
Скачать

1. Лекцiя №2. Замiна змiнних та iнтегрування частинами. Iнтегрування рацiональних функцiй.

Замiна змiнних у невизначеному iнтегралi.

Використання пiдстановок.

Iнтегрування частинами у невизначеному iнтегралi.

Простi дроби та їх iнтегрування.

Iнтегрування рацiональних функцiй.

1.1.Замiна змiнних у невизначеному iнтегралi.

R

Теорема 1.1. Нехай g(t)dt = G(t) + C. Тодi

Z

g('(x))'0(x)dx = G('(x)) + C:

Доведення. Знайдемо похiдну правої частини:

(G('(x)))0 = G0('(x)) '0(x) = g('(x))'0(x):

Таким чином, має мiсце рiвнiсть

ZZ

f('(x))'0(x)dx = f(t)dt;

яка називається формулою замiни змiнної. Внесення пiд знак диференцiала: '0(x)dx = d('(x)).

Приклади:

(1)

Z

x4 + 1;

 

 

xdx

Z

(2)sin3 x cos xdx;

Zx2

(3)cos2 x3 dx.

1.2.Використання пiдстановок.

Zp

(1)1 x2dx; (x = sin t, t 2 [ 2 ; 2 ]),

pp

1 x2 = 1 sin2 t = cos t; dx = cos tdt;

Z p1 x2dx = Z

cos2 tdt = 2 Z

(1 + cos 2t)dt = 2t +

4 sin 2t + C =

 

 

 

 

1

1 p

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

=

 

arcsinx +

 

x

 

+ C:

 

 

 

 

2

2

 

 

Zp

(2)1 + x2dx; (x = shx).

 

 

 

Z p1 + x2dx = ch2tdt = 2 Z

(ch2t + 1)dt = 4sh2t +

2t + C =

 

 

 

 

 

 

 

 

1

xp

 

1

1

ln(x + p

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 + x2

 

 

x2

+ 1) + C:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

Z

p1 + ex

 

Z

2

 

 

 

Z

2

 

 

 

t + 1

 

 

,

t = p

 

 

.

 

t(t2 1)

 

t2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2tdt

 

 

 

dt

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

= 2

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

+ C

 

1

+ ex

 

1

2

1.3. Iнтегрування частинами у невизначеному iнтегралi. Нехай u i v – диференцi-

йовнi функцiї. Тодi d(uv) = udv + vdu, Z

d(uv) = udv + vdu. Оскiльки Z

d(uv) = C + uv,

то має мiсце формула iнтегрування частинами:

 

Z

Z

 

udv = uv vdu:

Приклади:

Z

(1)x cos xdx;

(2)

Z

x2 ln xdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

Z

 

dx

. Позначимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + a2)n

In = Z

(x2 + a2)n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x2 + a2)n Z x( n)(x2 +2a2)n+1 dx =

 

(x2 + a2)n +

 

 

 

In

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

+2n

x2 + a2 a2

dx =

 

x

 

 

= 2nI

 

2na2I

 

 

;

 

 

 

 

 

(x2 + a2)n

 

 

 

звiдки

 

Z

(x2 + a2)n+1

 

 

n

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.1)

 

 

 

 

 

I

 

 

=

1

 

 

 

 

x

+

 

2n 1

I

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2na2 (x2 + a2)n

 

 

 

 

 

 

Зокрема, Z

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

2na2

n

 

 

 

 

 

 

(x2 + a2)2

= I2

= 2a2 x2

+ a2 +

2a2 arctg a

+ C:

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

x

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1.4. Простi дроби та їх iнтегрування. Серед правильних рацiональних дробiв розрiзняють простi дроби наступних чотирьох типiв:

(1)

A

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

A

 

 

 

 

, k = 2; 3; : : : ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

Mx + N

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

Mx + N

, де m = 2; 3; : : : i x2 + px + q – незвiдний квадратний тричлен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + px + q)m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I тип. Z

 

 

A

 

 

dx = A

d(x a)

= A ln

x

 

a

+ C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

x a

 

 

 

 

 

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II тип. Z

 

 

 

 

 

A

= A Z

d(x

 

 

a)

 

 

 

 

A

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C.

 

 

 

(x

 

a)k

 

(x

 

a)k

k

 

1 (x

 

a)k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mp

)

 

 

 

M (2x + p)dx

 

 

 

 

 

 

 

Mx + N

 

 

 

 

2

 

(2x + p) + (N

 

 

 

 

 

 

 

III тип. Z

 

 

dx = Z

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dx =

 

Z

 

+

x2 + px + q

 

 

 

 

 

 

x2 + px + q

 

 

2

x2 + px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mp

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+(N

 

) Z

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x2 + px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

2x + p

 

 

dx = Z

d(x2 + px + q)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln(x2 + px + q) + C:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + px + q

 

x2 + px + q

 

3

Z

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

q

t = x + p ;

 

 

 

Z

dt

x + px + q

 

(x + 2 )2 + q

 

 

 

 

 

 

 

4 = a > 0

 

 

t + a

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p2

=

 

 

 

 

p2

2

 

 

=

 

 

 

2 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

arctg

 

 

+ C:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV тип.

Z

 

(x2 + px + q)m dx = 2

a

a

+ (N 2

 

 

 

(x2 + px + q)m ;

 

Z

 

 

(x2 + px + q)m

) Z

 

 

 

 

 

Mx + N

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

(2x + p)dx

 

 

 

 

 

Mp

 

 

 

 

 

dx

Z

 

 

 

(2x + p)dx

= Z

 

d(x2 + px + q)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+ C;

 

(x2 + px + q)m

(x2 + px + q)m

m 1

(x2 + px + q)m 1

 

 

 

 

 

(x2

 

dx

 

 

 

 

=

q

t = x + p ;

 

 

=

 

 

 

dt

 

 

 

= Im;

 

 

 

 

 

+ px + q)m

 

 

p42

 

= a2 > 0

 

 

(t2 + a2)m

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де iнтеграл Im знаходиться з рекурентної

 

формули (1.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.Iнтегрування рацiональних функцiй.

Розклад правильних дробiв на простi.

P (x) – правильний дрiб, якщо степiнь P (x) менше степеня Q(x).

Q(x)

Теорема 1.2. Довiльний правильний дрiб можна пожати у виглядi скiнченної суми простих дробiв.

Доведення. Нехай QP ((xx)) правильний дрiб. Многочлен Q(x) можна подати у виглядi

Q(x) = (x a1)k1 (x a2)k2 : : : (x2 + p1x + q1)m1 (x2 + p2x + q2)m2 : : : :

Тодi

 

P (x)

 

A1

 

A2

 

 

Ak1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

+ +

 

 

+ +

 

 

Q(x)

(x a1)

(x a1)2

(x a1)k1

 

+

M1x + N1

 

+

M2x + N2

+ +

 

Mm1 x + Nm1

+ : : : :

(x2 + p1x + q1)

(x2 + p1x + q1)2

 

(x2 + p1x + q1)m+1

Для того, щоб знайти A1; A2; : : : ; Ak1 , M1; N1; : : : потрiбно в останнiй рiвностi звести в правiй частинi до спiльного знаменника Q(x). Кiлькiсть невiдомих коефiцiєнтiв = n, де n – степiнь Q(x). Прирiвнявши вiдповiднi коефiцiєнти при степенях xi у P (x) i многочлена в правiй частинi одержимо n лiнiйних рiвнянь вiдносно n невiдомих.

Iнтегрування довiльної рацiональної функцiї.

(1)Видiляємо цiлу частину R(x) = S(x) + QP ((xx)) , S(x), P (x), Q(x) – многочлени, причому степiнь P (x) менший нiж степiнь Q(x);

(2)правильний дрiб QP ((xx)) подаємо у виглядi скiнченної суми простих дробiв;

(3)iнтегруємо S(x) i простi дроби з розкладу.

Приклад Z

x3 3x3 x + 1

dx

.

(x 1)2(x2 + 1)

Соседние файлы в папке І модуль