Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
139.04 Кб
Скачать

РОЗДIЛ I. Невизначений iнтеграл

1.Лекцiя №1. Означення i властивостi невизначеного iнтеграла.

Поняття первiсної та невизначеного iнтеграла.

Властивостi невизначених iнтегралiв.

Таблиця основних iнтегралiв.

Приклади.

1.1.Поняття первiсної та невизначеного iнтеграла.

Означення 1.1. Функцiя F (x) називається первiсною для функцiї f(x) на промiжку X, якщо для кожного x 2 X виконується рiвнiсть

F 0(x) = f(x):

Теорема 1.2. Нехай F (x) – первiсна для функцiї f(x) на промiжку X. Тодi функцiя G(x) буде первiсною для функцiї f(x) тодi i тiльки тодi, коли iснує таке C 2 R, що

G(x) = F (x) + C

для всiх x 2 X.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай G(x) – довiльна первiсна для функцiї f(x). Розглянемо функцiю H(x) = G(x) F (x). Оскiльки

H0(x) = G0(x) F 0(x) = f(x) f(x) = 0

для всiх x 2 X, то згiдно з критерiєм сталостi H(x) = const на X. Тобто, H(x) = C для всiх x 2 X. Тодi G(x) = F (x) + C.

Достатнiсть. Нехай G(x) = F (x) + C. Тодi

G0(x) = F 0(x) + C0 = f(x) + 0 = f(x):

Отже, G – первiсна для функцiї f(x) на X.

Означення 1.3. Сукупнiсть усiх первiсних для функцiї f(x) на промiжку X називається

невизначеним iнтегралом вiд функцiї f i позначається Z

f(x)dx.

Згiдно з теоремою 1.2 маємо

 

Z

 

f(x)dx = F (x) + C;

де F (x) – одна iз первiсних для функцiї f i C 2 R – довiльна константа.

1.2. Властивостi невизначеного iнтеграла.

Z

(1) d f(x)dx = f(x)dx.

Z

Справдi, d f(x)dx = d(F (x) + C) = (F 0(x) + C0)dx = f(x)dx.

Z

(2) Нехай функцiя F (x) диференцiйовна на промiжку X. Тодi dF (x) = F (x) + C.

Z Z

Оскiльки F – первiсна функцiї F 0, то dF (x) = F 0(x)dx = F (x) + C.

1

2

ZZ

(3) Нехай a 2 R. Тодi af(x)dx = a f(x)dx.

Нехай F (x) – первiсна для f(x). Тодi aF (x) – первiсна для af(x). Маємо

Z

af(x)dx = a(F (x) + C) = aF (x) + aC = aF (x) + C1:

Z Z Z

(4) (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx.

Нехай F (x) i G(x) – первiснi для f(x) i g(x) вiдповiдно. Тодi

ZZ

f(x)dx g(x)dx = (F (x) + C1) (G(x) + C2) =

= (F (x) G(x)) + (C1 C2) = (F (x) G(x)) + C;

де C = C1 C2.

Залишилось зауважити, що F (x) G(x) первiсна для f(x) g(x) i C 2 R.

Z

(5) Якщо f(t)dt = F (t) + C i a 6= 0, то

Z

1

f(ax + b)dx = aF (ax + b) + C1:

Справдi,

(a1F (ax + b))0 = a1(F (ax + b))0 = a1F 0(ax + b)(ax + b)0 =

=a1f(ax + b) a = f(ax + b):

1.3.Таблиця основних iнтегралiв.

Z

(1)0 dx = C;

Z

(2)dx = x + C;

Zx +1

(3)x dx = + 1 + C, де 6= 1;

(4)

Z

1

dx = ln jxj + C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

(5)

Z

 

1 + x2 dx = arctg x + C;

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(6)

Z

 

p1 x2 ax

= arcsin

+

= arccos +

;

 

 

1

 

dx

 

x C

x

C

(7)

Z

axdx =

+ C;

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)exdx = ex + C;

(9)

Z

sin xdx = cos x + C;

(10)

Z

cos xdx = sin x + C;

(11)

Z

sin2 xdx = ctgx + C;

 

 

1

 

3

(12)

Z

 

1

 

dx = tgx + C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

;

(13)

Z

x2

 

a2

 

 

2a

 

 

x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

1

 

ln

 

x

a

 

+ C

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14)

Z

x2 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx = 1 ln

 

x

1

 

+ C

 

 

 

 

Z

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C;

 

 

 

 

 

dx =

 

arctg

 

 

 

 

a2 + x2

a

a

 

 

 

(16)

Z

pa21

 

x2 dx = arcsin a + C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

dx = ln(x + p

 

 

 

 

 

 

 

(17)

p

1

 

 

 

) + C;

 

 

x2 a2

x2

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

(18)shxdx = chx + C;

(19)

Z

chxdx = shxdx + C;

(20)

Z

 

1

 

dx = cthx + C;

 

sh2x

(21)

Z

 

1

dx = thx + C.

 

ch2x

1.4. Приклади.

Z

(1)(6x2 3x + 5)dx;

(2)

Z (2x + 1)

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

3dx

 

 

 

 

 

 

(3)

(

x

+

 

3x2

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

1)(x

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

(4)

Z

 

(

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

p3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px)(1 + px)

(5)

Z

 

x adx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Z

 

(x a)k dx, де k 6= 1;

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

Z

sin ax dx, a 6= 0;

(8)

Z

cos ax dx, a 6= 0;

(9)

Z

 

x2 5x + 6dx;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

Z

 

4x2 + 4x 3dx.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке І модуль