РОЗДIЛ I. Невизначений iнтеграл
1.Лекцiя №1. Означення i властивостi невизначеного iнтеграла.
Поняття первiсної та невизначеного iнтеграла.
Властивостi невизначених iнтегралiв.
Таблиця основних iнтегралiв.
Приклади.
1.1.Поняття первiсної та невизначеного iнтеграла.
Означення 1.1. Функцiя F (x) називається первiсною для функцiї f(x) на промiжку X, якщо для кожного x 2 X виконується рiвнiсть
F 0(x) = f(x):
Теорема 1.2. Нехай F (x) – первiсна для функцiї f(x) на промiжку X. Тодi функцiя G(x) буде первiсною для функцiї f(x) тодi i тiльки тодi, коли iснує таке C 2 R, що
G(x) = F (x) + C
для всiх x 2 X.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай G(x) – довiльна первiсна для функцiї f(x). Розглянемо функцiю H(x) = G(x) F (x). Оскiльки
H0(x) = G0(x) F 0(x) = f(x) f(x) = 0
для всiх x 2 X, то згiдно з критерiєм сталостi H(x) = const на X. Тобто, H(x) = C для всiх x 2 X. Тодi G(x) = F (x) + C.
Достатнiсть. Нехай G(x) = F (x) + C. Тодi
G0(x) = F 0(x) + C0 = f(x) + 0 = f(x):
Отже, G – первiсна для функцiї f(x) на X.
Означення 1.3. Сукупнiсть усiх первiсних для функцiї f(x) на промiжку X називається
невизначеним iнтегралом вiд функцiї f i позначається Z |
f(x)dx. |
Згiдно з теоремою 1.2 маємо |
|
Z |
|
f(x)dx = F (x) + C;
де F (x) – одна iз первiсних для функцiї f i C 2 R – довiльна константа.
1.2. Властивостi невизначеного iнтеграла.
Z
(1) d f(x)dx = f(x)dx.
Z
Справдi, d f(x)dx = d(F (x) + C) = (F 0(x) + C0)dx = f(x)dx.
Z
(2) Нехай функцiя F (x) диференцiйовна на промiжку X. Тодi dF (x) = F (x) + C.
Z Z
Оскiльки F – первiсна функцiї F 0, то dF (x) = F 0(x)dx = F (x) + C.
1
2
ZZ
(3) Нехай a 2 R. Тодi af(x)dx = a f(x)dx.
Нехай F (x) – первiсна для f(x). Тодi aF (x) – первiсна для af(x). Маємо
Z
af(x)dx = a(F (x) + C) = aF (x) + aC = aF (x) + C1:
Z Z Z
(4) (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx.
Нехай F (x) i G(x) – первiснi для f(x) i g(x) вiдповiдно. Тодi
ZZ
f(x)dx g(x)dx = (F (x) + C1) (G(x) + C2) =
= (F (x) G(x)) + (C1 C2) = (F (x) G(x)) + C;
де C = C1 C2.
Залишилось зауважити, що F (x) G(x) первiсна для f(x) g(x) i C 2 R.
Z
(5) Якщо f(t)dt = F (t) + C i a 6= 0, то
Z
1
f(ax + b)dx = aF (ax + b) + C1:
Справдi,
(a1F (ax + b))0 = a1(F (ax + b))0 = a1F 0(ax + b)(ax + b)0 =
=a1f(ax + b) a = f(ax + b):
1.3.Таблиця основних iнтегралiв.
Z
(1)0 dx = C;
Z
(2)dx = x + C;
Zx +1
(3)x dx = + 1 + C, де 6= 1;
(4) |
Z |
1 |
dx = ln jxj + C; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|||||||
(5) |
Z |
|
1 + x2 dx = arctg x + C; |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
(6) |
Z |
|
p1 x2 ax |
= arcsin |
+ |
= arccos + |
; |
||||
|
|
1 |
|
dx |
|
x C |
x |
C |
|||
(7) |
Z |
axdx = |
+ C; |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
ln a |
|
|
|
||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8)exdx = ex + C;
(9) |
Z |
sin xdx = cos x + C; |
|
(10) |
Z |
cos xdx = sin x + C; |
|
(11) |
Z |
sin2 xdx = ctgx + C; |
|
|
|
1 |
|
3
(12) |
Z |
|
1 |
|
dx = tgx + C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
(13) |
Z |
x2 |
|
a2 |
|
|
2a |
|
|
x + a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = |
1 |
|
ln |
|
x |
a |
|
+ C |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
Z |
x2 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
dx = 1 ln |
|
x |
1 |
|
+ C |
|
|
|
|||||||||||
|
Z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C; |
|
|
|
|||||||||
|
|
dx = |
|
arctg |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a2 + x2 |
a |
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||
(16) |
Z |
pa21 |
|
x2 dx = arcsin a + C; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
dx = ln(x + p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(17) |
p |
1 |
|
|
|
) + C; |
|||||||||||||||||||
|
|
x2 a2 |
|||||||||||||||||||||||
x2 |
|
a2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z
(18)shxdx = chx + C;
(19) |
Z |
chxdx = shxdx + C; |
|||
(20) |
Z |
|
1 |
|
dx = cthx + C; |
|
sh2x |
||||
(21) |
Z |
|
1 |
dx = thx + C. |
|
|
ch2x |
||||
1.4. Приклади.
Z
(1)(6x2 3x + 5)dx;
(2) |
Z (2x + 1) |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
3dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
(3) |
( |
x |
+ |
|
3x2 |
|
|
|
|
dx; |
|||||||||
|
|
|
|
|
1)(x |
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|||||
(4) |
Z |
|
( |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
||
|
|
p3 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
px)(1 + px) |
||||||||||||||
(5) |
Z |
|
x adx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
Z |
|
(x a)k dx, де k 6= 1; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
Z |
sin ax dx, a 6= 0; |
|||||||||||||||||
(8) |
Z |
cos ax dx, a 6= 0; |
|||||||||||||||||
(9) |
Z |
|
x2 5x + 6dx; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Z |
|
4x2 + 4x 3dx. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|