Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
5
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
124.54 Кб
Скачать

1. Лекцiя №3. Iнтегрування iррацiональних та тригонометричних функцiй.

s

Iнтегрування виразiв виду R(x; m ax + b). p px + q

Iнтегрування виразiв виду R(x; ax2 + bx + c).

Iнтегрування виразiв R(sin x; cos x). Унiверсальна тригонометрична пiдстановка.

Iншi випадки iнтегрування тригонометричних виразiв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

ax + b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Iнтегрування виразiв виду R(x; s

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

ax + b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай потрiбно знайти Z R(x; s

 

 

 

)dx, де

 

R – рацiональна функцiя двох змiнних,

px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

ax + b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 2 N, a; b; p; q 2 R. Зробимо замiну t = s

 

 

. Тодi

 

 

 

 

 

 

px + q

 

 

 

 

 

 

 

ax + b

 

= tm; ax + b = tm(px + q); x(a ptm) = qtm b;

 

 

 

 

 

 

 

px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

qtm b

;

 

dx =

qtm b

 

0 dt:

 

 

 

 

Маємо

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ptm

 

 

 

 

a ptm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ptm

a ptm

 

 

 

 

 

Z

px + q

 

 

 

 

Z

0

Z

1

 

R(x; m

ax + b

)dx =

 

R

 

 

qtm b

; t

 

 

 

qtm b

 

dt =

R

(t)dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зрозумiло, що R1 – рацiональна функцiя. Тому iнтеграл Z

R1(t)dt береться в скiнченному

виглядi. Залишилось повернутися до змiнної x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

; замiна t = r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. I =

 

 

+

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x

1

x + 1

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

p

1.2. Iнтегрування виразiв виду R(x; ax2 + bx + c).

Zp

Розглянемо iнтеграл вигляду I =

 

 

 

 

R(x; ax2 + bx + c)dx.

 

 

 

 

 

 

Випадок a > 0. Зробимо пiдстановку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ bx + c = t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

2

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c;

 

 

 

+ bx + c = t + 2t ax + ax

; x(b 2t a) = t

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

t2 c

 

 

 

;

 

dx =

 

 

t2 c

 

 

 

0

dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

b 2tpa

 

 

 

 

b 2tpa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 c

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

t2 c

 

 

 

 

t2 c

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

I =

R

 

 

; t

 

 

 

a

 

 

 

 

 

dt =

 

 

R

(t)dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

b 2tpa

 

 

 

 

 

 

 

b

2tpa

b 2tpa

 

 

 

Z

1

 

Випадок c > 0. Зробимо пiдстановку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+ bx + c = tx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi p p ax2 + bx + c = t2x2 2tx c + c; ax + b = t2x 2 ct;

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

b 2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2p

 

 

 

0 dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ct

;

 

 

dx =

ct

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2 ct

 

 

 

 

b

2 ct

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2

 

ct

 

 

 

 

I =

 

R

; t

c

 

 

 

dt =

R

(t)dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

t2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 a

 

 

 

 

 

Z

2

 

 

Випадок ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2). Зробимо пiдстановку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= t(x x1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

 

a(x x1)(x x2) = t2(x x1)2; a(x x2) = t2(x x1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2

 

 

x1t2

dx =

ax2

x1t2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

 

a

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

a t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2

x1t2

 

 

 

 

 

 

ax2

 

 

 

 

x1t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2

 

 

 

x1t2

 

0

 

 

 

I =

R

a

 

 

 

 

 

; t

 

 

a

 

 

x1

 

a

 

 

 

 

 

dt = R3(t)dt:

t2

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

t2

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Зауважимо, що

2iнших випадкiв бути не може. Справдi, якщо a < 0, c < 0 i b2 4ac < 0,

то функцiя y = ax +bx+c набуває тiльки вiд’ємних значень i область визначення функцiї

p

 

– порожня множина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Z

 

 

p

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Унiверсальна тригонометрична пiдстановка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо iнтеграл I = Z

R(sin x; cos x)dx. Зробимо замiну

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = tg

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де x 2 ( ; ). Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

= 2 sin

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

= sin x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg2 x

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x =

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

sin

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

звiдки

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg2 x2

 

= cos

2

 

 

 

 

 

2

= cos x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x =

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крiм того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 2 arctg t;

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dt =

 

 

 

 

 

R

(t)dt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t2

1 + t2 1 + t2

Z

 

 

 

 

 

Приклад Z

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x + sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1.4.Iншi методи iнтегрування тригонометричних функцiй.

R(u; v) = R(u; v).

 

Тодi R(u; v) = u

R(u;v

)

= u R1(u; v),

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

R

(

 

u; v) =

R( u; v)

 

=

R(u; v)

=

R(u; v)

 

= R

(u; v):

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

u

 

u

u

1

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1(u; v) = R2(u2; v):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

Маємо,

 

 

 

R2(sin2 x; cos x) sin xdx = Z

 

 

 

 

R(sin x; cos x)dx = Z

R2(1 cos2 x; cos x)d(cos x) =

 

 

= jt = cos xj = Z

R2(1 t2; t)dt = Z

R3(t)dt:

R(u; v) = R(u; v). Аналогiчно робимо замiну t = sin x.

R( u; v) = R(u; v).

Тодi R(u; v) = R(

u

v; v) = R1(

u

; v),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

R1(

 

 

 

; v) = R(u; v) = R( u; v) = R1

(

 

; v):

 

 

Тому

 

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1(

; v) = R2(

; v2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зробимо замiну

 

 

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = tg x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x =

 

;

 

 

x = arctg t; dx =

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 + t

2

 

 

Маємо,

 

 

 

 

 

 

1 + t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

R2(cos x; cos2 x)dx = Z

R2(t; 1 + t2 )

1 + t2 dt:

Z

R(sin x; cos x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

Приклад Z

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4 x cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке І модуль