Матан / І модуль / L3

2

x =

b 2p

b 2p

0 dt:

ct

;

dx =

ct

Отже,

t2 a

t2 a

p

p

p

p

0

b 2 ct

b

2 ct

b 2

ct

I =

R

; t

c

dt =

R

(t)dt:

t2 a

Z

t2 a

t2 a

Z

2

Випадок ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2). Зробимо пiдстановку

p

= t(x x1):

ax2 + bx + c

Тодi

a(x x1)(x x2) = t2(x x1)2; a(x x2) = t2(x x1);

ax2

x1t2

dx =

ax2

x1t2

0

x =

a

;

dt:

t2

a t2

Отже,

ax2

x1t2

ax2

x1t2

ax2

x1t2

0

I =

R

a

; t

a

x1

a

dt = R3(t)dt:

t2

t2

t2

Z

Z

Зауважимо, що

2iнших випадкiв бути не може. Справдi, якщо a < 0, c < 0 i b2 4ac < 0,

то функцiя y = ax +bx+c набуває тiльки вiд’ємних значень i область визначення функцiї

p

– порожня множина.

ax2 + bx + c

Приклад. Z

p

dx

.

x

x2 + x + 1

1.3. Унiверсальна тригонометрична пiдстановка.

Розглянемо iнтеграл I = Z

R(sin x; cos x)dx. Зробимо замiну

t = tg

x

;

2

де x 2 ( ; ). Тодi

2 tg x

x

x

2

= 2 sin

cos

= sin x;

1 + tg2 x

2

2

отже,

2

2t

sin x =

;

2

1 + t

1 tg2 x2

2 x

sin

2 x

звiдки

1 + tg2 x2

= cos

2

2

= cos x;

1 t2

cos x =

:

Крiм того,

1 + t2

2dt

x = 2 arctg t;

dx =

:

2

Отже,

1 + t

1 t2

I =

R

2t

;

2

dt =

R

(t)dt:

1 + t2

1 + t2 1 + t2

Z

Приклад Z

Z

1

sin xdx

.

cos2 x + sin x

Тодi R(u; v) = u

R(u;v

)

= u R1(u; v),

u

R

(

u; v) =

R( u; v)

=

R(u; v)

=

R(u; v)

= R

(u; v):

1

u

u

u

1

Отже,

R1(u; v) = R2(u2; v):

Z

Маємо,

R2(sin2 x; cos x) sin xdx = Z

R(sin x; cos x)dx = Z

R2(1 cos2 x; cos x)d(cos x) =

= jt = cos xj = Z

R2(1 t2; t)dt = Z

R3(t)dt:

Тодi R(u; v) = R(

u

v; v) = R1(

u

; v),

v

v

u

u

R1(

; v) = R(u; v) = R( u; v) = R1

(

; v):

Тому

v

v

u

u

R1(

; v) = R2(

; v2):