Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матан! / ІІІ модуль / CHislovi_rjadi

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
209.96 Кб
Скачать
(Sn)1n=1

РОЗДIЛ IV. Числовi ряди

1.Лекцiя №10. Збiжнi ряди. Ознаки порiвняння

Поняття збiжного ряду.

Властивостi збiжних рядiв.

Ознаки порiвняння.

1.1.Поняття збiжного ряду. Числовим рядом або просто рядом називається нескiнчен-

на сума

1

 

 

a1 + a2 + : : : + an + : : : = Xan;

(10:1)

n=1

де (an)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть. Доданок an називається загальним членом ряду (10.1).

Для кожного n 2 N сума

Sn = a1 + a2 + : : : + an

називається n-ою частинною сумою ряду.

Числовий ряд називається збiжним, якщо iснує скiнченна границя S послiдовностi його частинних сум, при цьому S називається сумою ряду. Якщо границi послi-

довностi (Sn)n1=1

не iснує або вона нескiнченна, то ряд називається розбiжним.

 

1

 

1

 

P

an його суму S позначають також через

nP

Для збiжного ряду

an, тобто

 

n=1

 

=1

1n

XX

 

an = lim ak:

n=1

n!1 k=1

Приклади.

(1)Дослiдити на збiжнiсть ряд a + aq + aq2 + + aqn + : : : ;

(2)Дослiдити на збiжнiсть ряд 1 1 + 1 1 + 1 1 + : : : .

Теорема 1.1 (Критерiй Кошi). Числовий ряд (10.1) збiжний тодi i тiльки тодi, коли

(8" > 0)(9N 2 N)(8n N)(8p 1)(jan+1 + + an+pj < "):

Доведення. Досить застосувати критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi частин-

них сум (Sn)n1=1.

 

 

 

 

 

1.2. Властивостi збiжних рядiв. Для ряду (10.1) i числа m 2 N числовий ряд

 

 

 

 

 

 

1

 

 

rn = an+1 + an+2 + + an+m + =

mX

 

 

am

(10:2)

 

 

 

 

 

=n+1

 

називається n-тим залишком ряду (10.1).

 

 

 

Зауважимо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

S = Sn + rn:

 

 

 

Теорема 1.2.

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(1)

X

=)

X

 

 

 

an – збiжний

an – збiжний для всiх m 2 N;

 

 

n=1

 

n=m+1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

n X

 

 

 

 

(2)

 

 

P

 

 

an – збiжний для деякого m 2 N =)

n=1 an – збiжний;

 

 

=m+1

 

 

 

 

 

Доведення.

1

2

(1)Зафiксуємо m 2 N. Нехай Tn = am+1 + + am+n – n-та частинна сума ряду (10.2). Тодi Sm+n = Sm + Tn, звiдки Tn = Sm+n Sm. Спрямувавши n ! 1, одержимо

rm = lim Tn = lim (Sn+m Sm) = S Sm:

n!1 n!1

Отже, ряд (10.2) збiжний.

(2) Нехай m 2 N – таке, що ряд (10.2) збiжний i n > m. Тодi Sn = Sm + Tn m

n ! 1, то n m ! 1, звiдки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim S

n

= S

m

+ lim T

n m

= S

m

+ r

m

:

 

 

n!1

 

n!1

 

 

 

 

Отже, ряд (10.1) збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.3. Залишок збiжного ряду прямує до нуля.

 

 

 

 

Доведення. Оскiльки S = rn + Sn, то rn = S Sn. Тодi

 

 

 

 

 

nlim rn

= nlim (S Sn) = S nlim Sn = S S = 0:

 

!1

!1

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

Теорема 1.4 (Необхiдна умова збiжностi ряду). Якщо ряд

 

an збiжний, то lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення. Зауважимо, що n = Sn Sn 1 при n > 1. Тодi

 

 

 

nlim an = nlim (Sn Sn 1) = S S = 0:

 

 

!1

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

. Якщо

an = 0.

11

PP

Теорема 1.5. Нехай ряди an i bn збiжнi i c 2 R. Тодi

n=1 n=1

 

1

 

 

(1) ряд

nP

 

 

=1(an bn) збiжний, причому

 

 

 

1

1

1

 

X

X

X

 

(an bn) =

 

an bn;

 

n=1

n=1

n=1

1

P

(2) ряд can збiжний i

n=1

11

XX

can = c an:

 

 

 

n=1

n=1

 

 

Доведення.

 

 

 

 

 

 

1

n

n

 

n

 

 

kP

P

 

P

(ak bk) – n-та частинна сума ряду

(1) Нехай sn =

 

ak, Tn =

bk. Тодi Sn Tn =

nP

=1

k=1

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

=1(an bn). Маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

X

X

 

nlim (Sn Tn) = nlim Sn nlim Tn =

an

bn:

 

!1

!1

!1

n=1

n=1

(2) Доводиться аналогiчно.

3

1.3. Ознаки порiвняння. Ряд (10.1) називається додатним, якщо an 0 для всiх n 2 N.

Теорема 1.6. Додатний ряд збiжний тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть його частинних сум обмежена зверху.

Доведення. Оскiльки ряд додатний, то послiдовнiсть (Sn)1n=1 зростає, тому вона збiжна тодi i тiльки тодi, коли обмежена зверху.

Теорема 1.7 (Ознака порiвняння у формi нерiвностей). Нехай m 2 N таке, що 0 an bn для всiх n m. Тодi

1

bn – збiжний =)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

n=1

an – збiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

an – розбiжний =)

 

bn – збiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення. Згiдно з теоремою 2 збiжнiсть рядiв

n=1

an i

bn рiвносильна збiжностi їхнiх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m-тих залишкiв, тому, без обмеження загальностi, вважатимемо, що m = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(1) Нехай Sn = k=1 ak, Tn = k=1 bk. Зрозумiло, що Sn Tn. Оскiльки ряд

n=1

bn збiжний,

 

 

 

 

 

 

P

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

то послiдовнiсть (Tn)n1=1 обмежена зверху. Тодi i послiдовнiсть (Sn)n1=1 обмежена

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зверху. Отже, ряд

an збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) Припустимо, що ряд

bn збiжний, а ряд

n=1

an розбiжний. Але це суперечить

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пункту (1).

 

X

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.8

(Ознака порiвняння у граничнiй формi)

.

 

 

 

 

an

 

0

 

bn

 

0

 

n

 

m

 

an

 

 

Нехай

 

 

 

i

 

 

при

 

,

i K = lim

bn

. Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) якщо 0 K < +1, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

bn –збiжний

=)

 

an – збiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) якщо 0 < K +1, то

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

an –збiжний

=)

 

bn – збiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

1

 

 

1

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) якщо 0 K +1, то ряди

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an i

 

bn збiгаються i розбiгаються одночасно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

 

(1) Для " = 1 iснує такий номер N m, що j

an

Kj < 1 для всiх n N.

 

 

 

 

bn

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

< K + 1 при

n N. Врахувавши, що an

0 i bn 0, ми маємо, що

bn

 

 

 

 

 

 

0 < K

 

+

 

0

1 < +

 

 

 

1

= lim

bn

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

an збiжний.

an < (K+1)bn. Тодi за ознакою порiвняння у формi нерiвностей, ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

(2) Оскiльки

 

 

1, то

 

 

 

 

1, причому

 

 

 

n!1 an . Використавши (1),

 

 

K

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

маємо, що iз збiжностi ряду

 

an випливає збiжнiсть ряду

 

 

bn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

(3) Випливає з (1) i (2).

2.Лекцiя №11. Ознаки збiжностi додатних рядiв

Збiжнiсть гармонiйних рядiв.

Ознаки Кошi i Даламбера.

Iнтегральна ознака Кошi.

2.1.Збiжнiсть гармонiйних рядiв.

Розглянемо гармонiйний ряд

1

 

1

 

 

i покажемо, що цей ряд розбiжний. Розглянемо

 

 

=1 n

 

 

вiдрiзок ряду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2n+1 S2n =

 

 

1

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+ +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + 1

 

 

 

2n + 2

 

 

2n + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+ +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n+1

2n+1

2n+1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

S2n = 1 +

 

 

 

 

+ (

 

+

 

 

) + (

 

 

+

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

) + + (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

 

 

 

)

 

 

2

 

 

3

4

5

 

6

7

8

 

2n 1 + 1

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

+ +

1

 

n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+2

= +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S

n )1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскiльки n!1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1, то послiдовнiсть

2

 

 

 

 

n=1 необмежена, звiдки випливає,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

nP

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що послiдовнiсть (Sn)1

 

 

 

 

також необмежена. Отже, ряд

1

1

розбiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо ряд n=1

np

 

, де 0 < p 1. Оскiльки

np

 

n , то ряд n=1

np

 

розбiжний.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо ряд

 

 

 

 

 

 

, де p > 1. Оцiнимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1 np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2n+1 1 S2n 1 =

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (

 

 

)n:

(2n)p

(2n + 1)p

(2n+1 1)p

(2n)p

2p 1

Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

) + + (

1

 

 

+

1

 

 

)

S2n+1 1 = 1 + (

 

 

 

+

 

 

) + (

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

2p

3p

4p

5p

6p

7p

(2n)p

(2n+1 1)p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

1

+ (

1

)2 + + (

1

)n <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p 1

2p 1

2p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

)2 +

+ (

 

 

 

 

 

1

 

)n + =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p 1

 

 

 

 

< 1 +

 

 

+ (

 

 

 

 

 

=

 

:

 

 

 

 

 

2p 1

2p 1

2p 1

1

1

 

2p 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p 1

 

 

 

 

Врахувавши, що n 2n+1 1, одержимо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn S2n+1 1 <

 

2p 1

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

жний при p > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тому послiдовнiсть

(Sn)1

обмежена зверху. Звiдси випливає, що ряд

1

1

збi-

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2.2. Ознаки Кошi i Даламбера. Нехай

an – строго додатний ряд, тобто an > 0 для

 

 

2

 

Cn = pan

 

 

n=1

 

n

 

 

варiантою Кошi.

всiх

 

 

N. Число

n

 

називається

 

P

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1 (oзнака Кошi у формi нерiвностей). Якщо iснує такий номер N, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

для всiх n N виконується нерiвнiсть Cn q, де q < 1, то ряд

 

=1 an збiжний. Якщо

ж iснує така послiдовнiсть номерiв (nk)k1=1, що Cnk 1 для всiх k 2 N, то ряд

=1 an

розбiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1 an

Доведення. При n N маємо pan = Cn

 

q, тобто an q

 

, де 0 < q < 1. Тому ряд

збiжний за ознакою порiвняння.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

Якщо ж Cnk 1 для всiх k 2 N, то ank

 

 

nk

1. Тому nlim!1 an 0, що суперечить

= Cnk

необхiднiй умовi збiжностi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.2 (oзнака Кошi у граничнiй формi). Нехай C =

 

Cn. Тодi

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i) якщо C < 1, то ряд

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an збiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ii) якщо C > 1, то ряд

nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an розбiжний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(iii) якщо C = 1, то про збiжнiсть ряду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an нiчого сказати не можна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i) Покладемо " =

1 2C

> 0. Iснує номер N, такий, що jCn Cj < " при n N. Тодi

 

 

 

 

 

Cn < C + " =

C + 1

= q <

1 + 1

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при n N. Отже, Cn < q < 1 при n N. Згiдно з ознакою Кошi у формi нерiвно-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стей, ряд

an збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

(ii) ПокладемоP" = C

1 i виберемо N

 

N так, щоб

Cn

C

< " при n

N. Тодi

Cn > C " = 1 при n N. Тому за ознакою Кошi у формi нерiвностей, ряд

1

=1 an

розбiжний.

 

 

 

 

 

 

 

pn

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

(iii) Нехай an =

1

. Тодi Cn =

1

 

 

 

i C = 1. Але ряд

1 an збiжний при p > 1 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

розбiжний при p = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число Dn = an+1 називається варiантою Даламбера. an

Теорема 2.3 (oзнака Даламбера у формi нерiвностей). Якщо iснує такий номер

 

1

1

 

nP

N, що для всiх n N виконується нерiвнiсть Dn q, де q < 1, то ряд

=1 an збiжний.

 

nP

 

Якщо ж iснує такий номер N, що Dn 1 для всiх n N, то ряд

=1 an розбiжний.

6

Доведення. Нехай an+1 q an для всiх n N. Методом математичної iндукцiї можна показати, що

aN+k qkaN

для всiх k 2 N. Оскiльки ряд

 

 

 

 

aN + aN q + + aN qk + : : :

збiжний, то за ознакою порiвняння ряд

 

 

 

1

aN + aN+1 + + aN+k + : : :

теж збiжний. Тому i ряд

a + n збiжний.

 

Якщо Dn

 

 

n=1

 

 

 

 

1 для всiх nP

N, то аналогiчно з допомогою методу математичної iндукцiї

можна показати, що an aN для всiх n N. Тому lim an 6= 0, що суперечить необхiднiй

n!1

умовi збiжностi.

 

Теорема 2.4 (oзнака Даламбера у граничнiй формi). Нехай D = lim Dn. Тодi

1

n!1

 

P

an збiжний;

(i) якщо D < 1, то ряд

n=1

 

1

1

nP

(ii) якщо D > 1, то ряд

an розбiжний;

=1

 

(iii) якщо D = 1, то про збiжнiсть ряду

nP

an нiчого сказати не можна.

 

=1

Доведення.

Аналогiчно як при доведеннi ознаки Кошi в граничнiй формi, взявши " = 1 2D , ми одержимо таке N 2 N, що

Dn < D + 1 = q < 1 2

для всiх n N. Залишилось використати попередню теорему.

Нехай " = D 1. Тодi iснує таке N 2 N, що Dn > 1 для всiх n N. Згiдно з попередньою

теоремою, ряд

1

an розбiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

nP

 

n

 

p

1

 

Нехай an =

 

 

. Тодi Dn =

 

 

 

 

i D = 1. Але ряд n=1 an збiжний при p > 1 i розбiжний

np

n + 1

 

при p = 1.

 

 

 

 

 

 

P

 

Приклади.

12n

(1)nn ;X

(2)

n=1

3n .

1

 

X

 

 

 

n=1

n!

 

 

 

2.3. Iнтегральна ознака Кошi.

Теорема 2.5. Нехай f монотонно спадна додатна функцiя на [1; +1), an = f(n). Тодi

 

1

+1

ряд

nP

R1

an збiжний тодi i тiльки тодi, коли

f(x)dx збiжний.

 

=1

 

7

 

1

Доведення. Необхiднiсть. Нехай ряд

nP

an збiжний.

 

=1

 

 

 

 

A

 

 

 

Для кожного A 2 [1; +1) покладемо F (A) = f(x)dx. Оскiльки f(x) 0, то F моно-

тонно зростає. Зауважимо, що

 

 

R1

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

Zn

f(x)dx f(n) = an:

 

Тому

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

n+1

 

F (n + 1) = Z1

f(x)dx + Z2

f(x)dx + + Zn

f(x)dx

 

 

 

 

 

1

 

 

a1 + a2 + + an

X

 

 

an:

 

 

 

 

 

 

n=1

 

Тодi

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

F (A) F ([A] + 1) an;

 

 

 

 

 

 

n=1

 

тобто функцiя F обмежена. Отже, iснує скiнченна границя

lim F (A), тобто iнтеграл

+1

 

 

 

 

A!+1

R1

f(x)dx збiжний.

 

 

n+1

 

 

 

 

 

R

f(x)dx an+1, то

 

Достатнiсть. Мiркуємо аналогiчно. Оскiльки

 

 

 

 

n

 

 

 

+1

n

 

 

 

 

ZZ

f(x)dx f(x)dx a2 + a3 + + an = Sn a1;

1 1

звiдки

+1

 

Sn a1 + Z1

f(x)dx:

 

 

1

 

 

nP

Отже, послiдовнiсть (Sn)n1=1 частинних сум обмежена зверху. Значить, ряд

an збiжний.

 

=1

 

Приклади.

8

1

X 1

(1) np ;

n=1

1

X 1

(2) n=2 n ln2 n.

3.Лекцiя №12. Абсолютна та умовна збiжностi.

Поняття абсолютної та умовної збiжностi.

Ознака Лейбнiца.

Ознаки Абеля i Дiрiхле.

Сполучна властивiсть збiжних рядiв.

3.1.Поняття абсолютної та умовної збiжностi.

 

1

 

1

 

P

 

nP

Означення 3.1. Ряд n=1 an називається абсолютно збiжним, якщо ряд

=1 janj збiжний.

1

1

1

 

P

nP

 

Означення 3.2. Ряд n=1 an називається умовно збiжним, якщо ряд

=1 janj розбiжний, а

nP

an збiжний.

 

 

ряд

 

 

=1

 

 

 

Теорема 3.3. Кожний абсолютно збiжний ряд збiжний.

Доведення. Нехай ряд

1

 

=1 janj збiжний. Тодi згiдно з критерiєм Кошi

 

 

nP

 

(8" > 0)(9N 2 N)(8n N)(8p 1)(jan+1j + + jan+pj < "):

 

Оскiльки

 

 

то

jan+1 + + an+pj jan+1j + + jan+pj;

 

 

 

 

jan+1 + + an+pj < ":

 

 

1

 

 

nP

 

Згiдно з критерiєм Кошi ряд an збiжний.

 

=1

 

3.2. Ознака Лейбнiца. Означення 3.4. Ряд вигляду

1

X

( 1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 + + ( 1)n+1an + : : :

n=1

називається знакозмiнним.

Теорема 3.5 (Ознака Лейбнiца). Нехай

(1) послiдовнiсть (an)1n=1 монотонна.

(2) lim an = 0.

n!1 1

X

Тодi ряд ( 1)n+1an збiжний.

n=1

9

Доведення. Нехай послiдовнiсть (an)1n=1 монотонно спадна. Оскiльки lim an = 0, то an 0

n!1

для всiх n 2 N. Покажемо, що для довiльних n; p 2 N виконується нерiвнiсть

an an+1 + an+2 an+3 + + ( 1)pan+p 0:

Оскiльки (an)1n=1 спадає, то ak ak+1 0. Нехай p – парне. Тодi

(an an+1) + (an+2 an+3) + + (an+p 1 an+p) 0:

Якщо p – непарне, то, врахувавши, що an+p 0, маємо

(an an+1) + (an+2 an+3) + + (an+p 2 an+p 1) + an+p 0:

Крiм того, зауважимо, що

an an+1 +an+2 an+3 + +( 1)pan+p = an (an+1 an+2 +an+3 +( 1)p 1an+1+p 1) an:

Отже,

0 an an+1 + + ( 1)pan+p an:

Зафiксуємо " > 0. Оскiльки lim an = 0, то iснує таке N 2 N, що для всiх n N виконує-

n!1

ться нерiвнiсть janj < ". Тодi для довiльного p 2 N маємо

jan an+1 + + ( 1)pan+pj j( 1)nj janj < ":

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nP

 

 

 

Отже, згiдно з критерiєм Кошi, ряд

=1( 1)nan збiжний.

 

Приклад.

1 ( 1)n .

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

3.3. Ознаки Абеля i Дiрiхле. Розглянемо ряд вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(3.1)

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

Теорема 3.6 (Ознака Дiрiхле). Нехай

 

 

 

(1)

послiдовнiсть (an)n1=1 монотонна;

 

 

 

(2)

lim an = 0;

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

n

1

 

 

(3)

послiдовнiсть частинних сум

k=1 bk

n=1 обмежена.

 

 

Тодi ряд (3.1) збiжний.

 

 

P

 

 

 

Теорема 3.7 (Ознака Абеля). Нехай

 

 

 

 

(1)

послiдовнiсть (an)n1=1 монотонна;

 

 

 

(2)

послiдовнiсть (an)n1=1 обмежена;

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

nP

bn збiжний.

 

 

 

 

 

 

ряд

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi ряд (3.1) збiжний.

 

 

 

 

 

 

Доведення. Вважатимемо, що

(a

)1

монотонно спадає. Для кожного

n

2 N покладемо

 

n n=1

 

Bn = b1 + b2 + + bn:

Зауважимо, що bk = Bk Bk 1. Нехай n; p 2 N. Тодi

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj =

10

= jan+1(Bn+1 Bn) + an+2(Bn+2 Bn+1) + + an+p(Bn+p Bn+p 1)j =

 

= jan+pBn+p an+1Bn + Bn+1(an+1 an+2)+

 

+Bn+2(an+2 an+3) + + Bn+p 1(an+p 1 an+p)j:

( )

Доведення ознаки Дiрiхле. Нехай C > 0 – таке число, що jBnj C для всiх n 2 N (згiдно з умовою (3) теореми). Зафiксуємо " > 0 i виберемо N 2 N так, щоб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

janj <

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4C

 

 

 

для всiх n N. Тодi для n N i p 2 N з нерiвностi (*) випливає, що

 

 

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj jan+pjjBn+pj + jan+1jjBnj+

 

 

 

+jBn+1j(an+1 an+2) + + jBn+p 1j(an+p 1 an+p) <

 

"

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

C +

 

 

 

C + C(an+1 an+2 + an+2 an+3 + + an+p 1 an+p) =

4C

4C

 

 

 

"

 

"

+ C(an+1 an+p)

"

+ C(jan+1j + jan+pj) <

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

4

4

2

 

 

 

 

 

 

 

<

"

 

+ C(

"

+

"

 

) =

"

+

"

= ":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4C

2

2

Отже, за критерiєм Кошi, ряд (3.1) збiжний.

Доведення ознаки Абеля. Зафiксуємо " > 0. Нехай K > 0 – таке число, що

1

janj K для всiх n 2 N. Оскiльки ряд bn збiжний, то iснує таке C > 0, що

n=1

 

 

 

 

a

збiжна, тому за критерiєм Кошi

jBnj C. Зауважимо, що послiдовнiсть (Pn)n1=1

iснує номер N1 2 N, такий, що

 

"

 

 

 

 

 

jan+p an+1j

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

4C

 

 

 

 

 

1

 

 

 

для всiх n N1 i p 2 N. Крiм того, ряд

 

=1 bn збiжний, тому за критерiєм Кошi

iснує номер N2

2

N, такий, що

nP

 

 

 

 

 

jBn+p Bnj <

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2K

 

для всiх n N2 i p 2 N. Покладемо N = maxfN1; N2g. Для довiльних n N i p 2 N маємо

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj jan+pBn+p an+1Bnj+ +jBn+1(an+1 an+2) + + Bn+p 1(an+p 1 an+p)j

jan+pBn+p an+pBn + an+pBn an+1Bnj+

+jBn+1j(an+1 an+2) + jBn+2j(an+2 an+3) + + jBn+p 1j(an+p 1 an+p)

jan+p(Bn+p Bn) + Bn(an+p an+1)j + C(an+1 an+p)

"

jan+pjjBn+p Bnj + jBnjjan+p an+1j + C 4C <

< K 2"K + C 4"C + 4" = ":

Таким чином, за критерiєм Кошi, ряд (3.1) збiжний.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ІІІ модуль