Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

CHislovi_rjadi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

209.96 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

(Sn)1n=1

РОЗДIЛ IV. Числовi ряди

1.Лекцiя №10. Збiжнi ряди. Ознаки порiвняння

Поняття збiжного ряду.

Властивостi збiжних рядiв.

Ознаки порiвняння.

1.1.Поняття збiжного ряду. Числовим рядом або просто рядом називається нескiнчен-

на сума	1
	a1 + a2 + : : : + an + : : : = Xan;	(10:1)

n=1

де (an)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть. Доданок an називається загальним членом ряду (10.1).

Для кожного n 2 N сума

Sn = a1 + a2 + : : : + an

називається n-ою частинною сумою ряду.

Числовий ряд називається збiжним, якщо iснує скiнченна границя S послiдовностi його частинних сум, при цьому S називається сумою ряду. Якщо границi послi-

довностi (Sn)n1=1	не iснує або вона нескiнченна, то ряд називається розбiжним.
	1		1
	P	an його суму S позначають також через	nP
Для збiжного ряду		an його суму S позначають також через	an, тобто
	n=1		=1

	an = lim ak:
n=1	n!1 k=1

Приклади.

(1)Дослiдити на збiжнiсть ряд a + aq + aq2 + + aqn + : : : ;

(2)Дослiдити на збiжнiсть ряд 1 1 + 1 1 + 1 1 + : : : .

Теорема 1.1 (Критерiй Кошi). Числовий ряд (10.1) збiжний тодi i тiльки тодi, коли

(8" > 0)(9N 2 N)(8n N)(8p 1)(jan+1 + + an+pj < "):

Доведення. Досить застосувати критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi частин-

них сум (Sn)n1=1.
1.2. Властивостi збiжних рядiв. Для ряду (10.1) i числа m 2 N числовий ряд
					1
	rn = an+1 + an+2 + + an+m + =				mX
	rn = an+1 + an+2 + + an+m + =				am	(10:2)
					=n+1
називається n-тим залишком ряду (10.1).
Зауважимо, що
			S = Sn + rn:
Теорема 1.2.			1
	1		1
(1)	X	=)	X
(1)	an – збiжний	=)	an – збiжний для всiх m 2 N;
	n=1		n=m+1
	1			1
	n X			1
(2)	n X			P
(2)	an – збiжний для деякого m 2 N =)			n=1 an – збiжний;
	=m+1

Доведення.

(1)Зафiксуємо m 2 N. Нехай Tn = am+1 + + am+n – n-та частинна сума ряду (10.2). Тодi Sm+n = Sm + Tn, звiдки Tn = Sm+n Sm. Спрямувавши n ! 1, одержимо

rm = lim Tn = lim (Sn+m Sm) = S Sm:

n!1 n!1

Отже, ряд (10.2) збiжний.

(2) Нехай m 2 N – таке, що ряд (10.2) збiжний i n > m. Тодi Sn = Sm + Tn m

n ! 1, то n m ! 1, звiдки

lim S

= S

+ lim T

n m

= S

+ r

n!1

Отже, ряд (10.1) збiжний.

Теорема 1.3. Залишок збiжного ряду прямує до нуля.

Доведення. Оскiльки S = rn + Sn, то rn = S Sn. Тодi

nlim rn

= nlim (S Sn) = S nlim Sn = S S = 0:

Теорема 1.4 (Необхiдна умова збiжностi ряду). Якщо ряд

an збiжний, то lim

Доведення. Зауважимо, що n = Sn Sn 1 при n > 1. Тодi

nlim an = nlim (Sn Sn 1) = S S = 0:

. Якщо

an = 0.

Теорема 1.5. Нехай ряди an i bn збiжнi i c 2 R. Тодi

n=1 n=1

	1
(1) ряд	nP
(1) ряд	=1(an bn) збiжний, причому
	1	1	1
	X	X	X
	(an bn) =		an bn;
	n=1	n=1	n=1

(2) ряд can збiжний i

n=1

can = c an:

			n=1	n=1
Доведення.
1	n	n		n
1	kP	P		P	(ak bk) – n-та частинна сума ряду
(1) Нехай sn =		ak, Tn =	bk. Тодi Sn Tn =		(ak bk) – n-та частинна сума ряду
nP	=1	k=1		k=1
nP
=1(an bn). Маємо
					1	1
					X	X
	nlim (Sn Tn) = nlim Sn nlim Tn =				an	bn:
	!1		!1	!1	n=1	n=1

(2) Доводиться аналогiчно.

1.3. Ознаки порiвняння. Ряд (10.1) називається додатним, якщо an 0 для всiх n 2 N.

Теорема 1.6. Додатний ряд збiжний тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть його частинних сум обмежена зверху.

Доведення. Оскiльки ряд додатний, то послiдовнiсть (Sn)1n=1 зростає, тому вона збiжна тодi i тiльки тодi, коли обмежена зверху.

Теорема 1.7 (Ознака порiвняння у формi нерiвностей). Нехай m 2 N таке, що 0 an bn для всiх n m. Тодi

bn – збiжний =)

(1)

n=1

an – збiжний;

n=1

(2)

an – розбiжний =)

bn – збiжний;

n=1

Доведення. Згiдно з теоремою 2 збiжнiсть рядiв

n=1

an i

bn рiвносильна збiжностi їхнiх

n=1

m-тих залишкiв, тому, без обмеження загальностi, вважатимемо, що m = 1.

(1) Нехай Sn = k=1 ak, Tn = k=1 bk. Зрозумiло, що Sn Tn. Оскiльки ряд

n=1

bn збiжний,

то послiдовнiсть (Tn)n1=1 обмежена зверху. Тодi i послiдовнiсть (Sn)n1=1 обмежена

зверху. Отже, ряд

an збiжний.

n=1

(2) Припустимо, що ряд

bn збiжний, а ряд

n=1

an розбiжний. Але це суперечить

n=1

пункту (1).

Теорема 1.8

(Ознака порiвняння у граничнiй формi)

Нехай

при

i K = lim

. Тодi

n!1

(1) якщо 0 K < +1, то

n=1

bn –збiжний

an – збiжний;

n=1

(2) якщо 0 < K +1, то

n=1

an –збiжний

bn – збiжний;

n=1

(3) якщо 0 K +1, то ряди

an i

bn збiгаються i розбiгаються одночасно.

n=1

Доведення.

(1) Для " = 1 iснує такий номер N m, що j

Kj < 1 для всiх n N.

Тодi

< K + 1 при

n N. Врахувавши, що an

0 i bn 0, ми маємо, що

0 < K

1 < +

= lim

an збiжний.

an < (K+1)bn. Тодi за ознакою порiвняння у формi нерiвностей, ряд

(2) Оскiльки

1, то

1, причому

n!1 an . Використавши (1),

маємо, що iз збiжностi ряду

an випливає збiжнiсть ряду

bn.

n=1

(3) Випливає з (1) i (2).

2.Лекцiя №11. Ознаки збiжностi додатних рядiв

Збiжнiсть гармонiйних рядiв.

Ознаки Кошi i Даламбера.

Iнтегральна ознака Кошi.

2.1.Збiжнiсть гармонiйних рядiв.

Розглянемо гармонiйний ряд

i покажемо, що цей ряд розбiжний. Розглянемо

=1 n

вiдрiзок ряду

S2n+1 S2n =

+ +

2n + 1

2n + 2

2n + 2n

+ +

Тодi

2n+1

S2n = 1 +

+ (

) + (

) + + (

)

2n 1 + 1

+ +

n + 2

1 +

lim

n+2

= +

n )1

Оскiльки n!1

1, то послiдовнiсть

n=1 необмежена, звiдки випливає,

1 1

що послiдовнiсть (Sn)1

також необмежена. Отже, ряд

розбiжний.

n=1

Розглянемо ряд n=1

, де 0 < p 1. Оскiльки

n , то ряд n=1

розбiжний.

Розглянемо ряд

, де p > 1. Оцiнимо

=1 np

S2n+1 1 S2n 1 =

+ +

= (

)n:

(2n)p

(2n + 1)p

(2n+1 1)p

(2n)p

2p 1

Тодi

) + + (

)

S2n+1 1 = 1 + (

) + (

(2n)p

(2n+1 1)p

1 +

+ (

)2 + + (

)n <

2p 1

)2 +

+ (

)n + =

2p 1

< 1 +

+ (

2p 1

2p 1 1

2p 1

Врахувавши, що n 2n+1 1, одержимо, що

Sn S2n+1 1 <

2p 1

2p 1 1

жний при p > 1.

Тому послiдовнiсть

(Sn)1

обмежена зверху. Звiдси випливає, що ряд

збi-

n=1

							5
							1
2.2. Ознаки Кошi i Даламбера. Нехай							an – строго додатний ряд, тобто an > 0 для
		2		Cn = pan			n=1
	n	2		Cn = pan		варiантою Кошi.
всiх			N. Число	n	називається		P
				n

Теорема 2.1 (oзнака Кошi у формi нерiвностей). Якщо iснує такий номер N, що

для всiх n N виконується нерiвнiсть Cn q, де q < 1, то ряд

=1 an збiжний. Якщо

ж iснує така послiдовнiсть номерiв (nk)k1=1, що Cnk 1 для всiх k 2 N, то ряд

=1 an

розбiжний.

=1 an

Доведення. При n N маємо pan = Cn

q, тобто an q

, де 0 < q < 1. Тому ряд

збiжний за ознакою порiвняння.

Якщо ж Cnk 1 для всiх k 2 N, то ank

1. Тому nlim!1 an 0, що суперечить

= Cnk

необхiднiй умовi збiжностi.

Теорема 2.2 (oзнака Кошi у граничнiй формi). Нехай C =

Cn. Тодi

lim

n!1

(i) якщо C < 1, то ряд

an збiжний;

n=1

(ii) якщо C > 1, то ряд

an розбiжний;

(iii) якщо C = 1, то про збiжнiсть ряду

an нiчого сказати не можна.

Доведення.

(i) Покладемо " =

1 2C

> 0. Iснує номер N, такий, що jCn Cj < " при n N. Тодi

Cn < C + " =

C + 1

= q <

1 + 1

= 1

при n N. Отже, Cn < q < 1 при n N. Згiдно з ознакою Кошi у формi нерiвно-

стей, ряд

an збiжний.

n=1

(ii) ПокладемоP" = C

1 i виберемо N

N так, щоб

< " при n

N. Тодi

Cn > C " = 1 при n N. Тому за ознакою Кошi у формi нерiвностей, ряд

=1 an

розбiжний.

n=1

(iii) Нехай an =

. Тодi Cn =

i C = 1. Але ряд

1 an збiжний при p > 1 i

розбiжний при p = 1.

Число Dn = an+1 називається варiантою Даламбера. an

Теорема 2.3 (oзнака Даламбера у формi нерiвностей). Якщо iснує такий номер

	1	1
	1	nP
N, що для всiх n N виконується нерiвнiсть Dn q, де q < 1, то ряд		=1 an збiжний.
	nP
Якщо ж iснує такий номер N, що Dn 1 для всiх n N, то ряд	=1 an розбiжний.

Доведення. Нехай an+1 q an для всiх n N. Методом математичної iндукцiї можна показати, що

aN+k qkaN

для всiх k 2 N. Оскiльки ряд

			aN + aN q + + aN qk + : : :
збiжний, то за ознакою порiвняння ряд
		1	aN + aN+1 + + aN+k + : : :
теж збiжний. Тому i ряд		1	a + n збiжний.
теж збiжний. Тому i ряд			a + n збiжний.
Якщо Dn		n=1

	1 для всiх nP		N, то аналогiчно з допомогою методу математичної iндукцiї

можна показати, що an aN для всiх n N. Тому lim an 6= 0, що суперечить необхiднiй

n!1

умовi збiжностi.
Теорема 2.4 (oзнака Даламбера у граничнiй формi). Нехай D = lim Dn. Тодi
1	n!1
1
P	an збiжний;
(i) якщо D < 1, то ряд	an збiжний;
n=1
1	1
nP	1
(ii) якщо D > 1, то ряд	an розбiжний;
=1

(iii) якщо D = 1, то про збiжнiсть ряду	nP
(iii) якщо D = 1, то про збiжнiсть ряду	an нiчого сказати не можна.
	=1

Доведення.

Аналогiчно як при доведеннi ознаки Кошi в граничнiй формi, взявши " = 1 2D , ми одержимо таке N 2 N, що

Dn < D + 1 = q < 1 2

для всiх n N. Залишилось використати попередню теорему.

Нехай " = D 1. Тодi iснує таке N 2 N, що Dn > 1 для всiх n N. Згiдно з попередньою

теоремою, ряд		1	an розбiжний.
теоремою, ряд			an розбiжний.
		=1
1		nP		n	p	1
Нехай an =		. Тодi Dn =				i D = 1. Але ряд n=1 an збiжний при p > 1 i розбiжний
Нехай an =	np	. Тодi Dn =		n + 1		i D = 1. Але ряд n=1 an збiжний при p > 1 i розбiжний
при p = 1.						P

Приклади.

12n

(1)nn ;X

(2)	n=1	3n .
(2)	1	3n .
	X
	n=1	n!
	n=1

2.3. Iнтегральна ознака Кошi.

Теорема 2.5. Нехай f монотонно спадна додатна функцiя на [1; +1), an = f(n). Тодi

	1	+1
ряд	nP	R1
ряд	an збiжний тодi i тiльки тодi, коли	f(x)dx збiжний.
	=1

	1
Доведення. Необхiднiсть. Нехай ряд	nP
Доведення. Необхiднiсть. Нехай ряд	an збiжний.
	=1

				A
	Для кожного A 2 [1; +1) покладемо F (A) = f(x)dx. Оскiльки f(x) 0, то F моно-
тонно зростає. Зауважимо, що				R1
		n+1
		Zn	f(x)dx f(n) = an:
Тому
	2		3		n+1
	F (n + 1) = Z1	f(x)dx + Z2		f(x)dx + + Zn		f(x)dx
					1
	a1 + a2 + + an				X
	a1 + a2 + + an				an:
					n=1
Тодi					1
					1
					X
	F (A) F ([A] + 1) an;
					n=1
тобто функцiя F обмежена. Отже, iснує скiнченна границя						lim F (A), тобто iнтеграл
+1						A!+1
R1	f(x)dx збiжний.			n+1
				R	f(x)dx an+1, то
	Достатнiсть. Мiркуємо аналогiчно. Оскiльки				f(x)dx an+1, то
				n
	+1	n

f(x)dx f(x)dx a2 + a3 + + an = Sn a1;

1 1

звiдки

+1
Sn a1 + Z1	f(x)dx:
	1
	nP
Отже, послiдовнiсть (Sn)n1=1 частинних сум обмежена зверху. Значить, ряд		an збiжний.
	=1

Приклади.

X 1

(1) np ;

n=1

X 1

(2) n=2 n ln2 n.

3.Лекцiя №12. Абсолютна та умовна збiжностi.

Поняття абсолютної та умовної збiжностi.

Ознака Лейбнiца.

Ознаки Абеля i Дiрiхле.

Сполучна властивiсть збiжних рядiв.

3.1.Поняття абсолютної та умовної збiжностi.

	1		1
	P		nP
Означення 3.1. Ряд n=1 an називається абсолютно збiжним, якщо ряд			=1 janj збiжний.
1	1	1
1	P	nP
Означення 3.2. Ряд n=1 an називається умовно збiжним, якщо ряд		=1 janj розбiжний, а
nP	an збiжний.
ряд	an збiжний.
=1

Теорема 3.3. Кожний абсолютно збiжний ряд збiжний.

Доведення. Нехай ряд	1
Доведення. Нехай ряд	=1 janj збiжний. Тодi згiдно з критерiєм Кошi
	nP
(8" > 0)(9N 2 N)(8n N)(8p 1)(jan+1j + + jan+pj < "):
Оскiльки
то	jan+1 + + an+pj jan+1j + + jan+pj;
то
	jan+1 + + an+pj < ":
	1
	nP
Згiдно з критерiєм Кошi ряд an збiжний.
	=1

3.2. Ознака Лейбнiца. Означення 3.4. Ряд вигляду

( 1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 + + ( 1)n+1an + : : :

n=1

називається знакозмiнним.

Теорема 3.5 (Ознака Лейбнiца). Нехай

(1) послiдовнiсть (an)1n=1 монотонна.

(2) lim an = 0.

n!1 1

Тодi ряд ( 1)n+1an збiжний.

n=1

Доведення. Нехай послiдовнiсть (an)1n=1 монотонно спадна. Оскiльки lim an = 0, то an 0

n!1

для всiх n 2 N. Покажемо, що для довiльних n; p 2 N виконується нерiвнiсть

an an+1 + an+2 an+3 + + ( 1)pan+p 0:

Оскiльки (an)1n=1 спадає, то ak ak+1 0. Нехай p – парне. Тодi

(an an+1) + (an+2 an+3) + + (an+p 1 an+p) 0:

Якщо p – непарне, то, врахувавши, що an+p 0, маємо

(an an+1) + (an+2 an+3) + + (an+p 2 an+p 1) + an+p 0:

Крiм того, зауважимо, що

an an+1 +an+2 an+3 + +( 1)pan+p = an (an+1 an+2 +an+3 +( 1)p 1an+1+p 1) an:

Отже,

0 an an+1 + + ( 1)pan+p an:

Зафiксуємо " > 0. Оскiльки lim an = 0, то iснує таке N 2 N, що для всiх n N виконує-

n!1

ться нерiвнiсть janj < ". Тодi для довiльного p 2 N маємо

jan an+1 + + ( 1)pan+pj j( 1)nj janj < ":

					1
					nP
Отже, згiдно з критерiєм Кошi, ряд						=1( 1)nan збiжний.
Приклад.		1 ( 1)n .
		X
			n
		n=1
3.3. Ознаки Абеля i Дiрiхле. Розглянемо ряд вигляду
						1
(3.1)						X
(3.1)						an bn
						n=1
Теорема 3.6 (Ознака Дiрiхле). Нехай
(1)	послiдовнiсть (an)n1=1 монотонна;
(2)	lim an = 0;
	n!1					n	1
(3)	послiдовнiсть частинних сум					k=1 bk	n=1 обмежена.
Тодi ряд (3.1) збiжний.						P
Теорема 3.7 (Ознака Абеля). Нехай
(1)	послiдовнiсть (an)n1=1 монотонна;
(2)	послiдовнiсть (an)n1=1 обмежена;
	1
(3)	nP	bn збiжний.
(3)	ряд	bn збiжний.
	=1
Тодi ряд (3.1) збiжний.
Доведення. Вважатимемо, що				(a	)1	монотонно спадає. Для кожного		n	2 N покладемо
Доведення. Вважатимемо, що					n n=1	монотонно спадає. Для кожного			2 N покладемо

Bn = b1 + b2 + + bn:

Зауважимо, що bk = Bk Bk 1. Нехай n; p 2 N. Тодi

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj =

= jan+1(Bn+1 Bn) + an+2(Bn+2 Bn+1) + + an+p(Bn+p Bn+p 1)j =
= jan+pBn+p an+1Bn + Bn+1(an+1 an+2)+
+Bn+2(an+2 an+3) + + Bn+p 1(an+p 1 an+p)j:	( )

Доведення ознаки Дiрiхле. Нехай C > 0 – таке число, що jBnj C для всiх n 2 N (згiдно з умовою (3) теореми). Зафiксуємо " > 0 i виберемо N 2 N так, щоб

janj <

для всiх n N. Тодi для n N i p 2 N з нерiвностi (*) випливає, що

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj jan+pjjBn+pj + jan+1jjBnj+

+jBn+1j(an+1 an+2) + + jBn+p 1j(an+p 1 an+p) <

C +

C + C(an+1 an+2 + an+2 an+3 + + an+p 1 an+p) =

+ C(an+1 an+p)

+ C(jan+1j + jan+pj) <

+ C(

) =

= ":

Отже, за критерiєм Кошi, ряд (3.1) збiжний.

Доведення ознаки Абеля. Зафiксуємо " > 0. Нехай K > 0 – таке число, що

janj K для всiх n 2 N. Оскiльки ряд bn збiжний, то iснує таке C > 0, що

n=1

				a		збiжна, тому за критерiєм Кошi
jBnj C. Зауважимо, що послiдовнiсть (Pn)n1=1
iснує номер N1 2 N, такий, що				"
		jan+p an+1j
			<
					4C
				1
для всiх n N1 i p 2 N. Крiм того, ряд				=1 bn збiжний, тому за критерiєм Кошi
iснує номер N2	2	N, такий, що	nP

		jBn+p Bnj <		"

				2K

для всiх n N2 i p 2 N. Покладемо N = maxfN1; N2g. Для довiльних n N i p 2 N маємо

jan+1bn+1 + an+2bn+2 + + an+pbn+pj jan+pBn+p an+1Bnj+ +jBn+1(an+1 an+2) + + Bn+p 1(an+p 1 an+p)j

jan+pBn+p an+pBn + an+pBn an+1Bnj+

+jBn+1j(an+1 an+2) + jBn+2j(an+2 an+3) + + jBn+p 1j(an+p 1 an+p)

jan+p(Bn+p Bn) + Bn(an+p an+1)j + C(an+1 an+p)

jan+pjjBn+p Bnj + jBnjjan+p an+1j + C 4C <

< K 2"K + C 4"C + 4" = ":

Таким чином, за критерiєм Кошi, ряд (3.1) збiжний.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ІІІ модуль

#
23.02.2016209.96 Кб7CHislovi_rjadi.pdf
#
23.02.201649.43 Кб8Zrazok.pdf