Матан / ІІІ модуль / CHislovi_rjadi

11

3.4. Сполучна властивiсть збiжних рядiв.

номерiв, n1 = 1, i

1

nP

Теорема 3.8. Нехай

an – збiжний ряд, (nk)k1=1 – строго зростаюча послiдовнiсть

=1

1

bk = ank + ank+1 + + ank+1 1:

kP

Тодi ряд

bk збiжний.

=1

Доведення. Зауважимо, що

1

Xk

bk = (a1 + a2 + + an2 1) + (an2 + an2+1 + + an3 1)+

=1

1

+(an3 + an3+1 + + an4 1) + : : : ;

1

один

1

P

P

P

тобто ряд

bk утворюється з ряду an сполученням послiдовних членiв ряду

an в

k=1

n=1

n=1

доданок. Маємо

1

Отже, за критерiєм Кошi, ряд

kP

bk збiжний.

=1

1

(4.1)

X

an

n=1

i перестановку ' : N ! N. При цьому виникає ряд

1

(4.2)

X

a'(n) = a'(1) + a'(2) + + a'(n) + : : :

1

натуральних чисел. Тодi ряд

a'(n) також абсолютно збiжний, причому суми цих

рядiв однаковi.

=1

nP

Доведення.

Розглянемо випадок, коли an 0 для всiх n 2 N. Позначимо

An = a1 + + an;

Bn = a'(1) + + a'(n):

Зауважимо, що послiдовностi (An)n1=1 i (Bn)n1=1 монотонно зростають, як частиннi

1

суми додатних рядiв. Оскiльки ряд

an збiжний, то послiдовнiсть (An)n1=1 обме-

жена, зокрема,

=1

nP

1

X

An A = an:

X

X

an =

a'(n):

n=1

n=1

1

1

1

1

P

nP

Нехай тепер ряд n=1 an абсолютно збiжний, тобто ряд

=1 janj збiжний. Тодi згiдно

з доведеним вище, ряд

=1 ja'(n)j також збiжний, звiдки випливає, що ряд n=1 a'(n)

абсолютно збiжний.

nP

P

Зазначимо, що

1

Xan = S+ + S ;

n=1

де S+ – сума додатних членiв ряду, а S – сума вiд’ємних членiв ряду.

1

nP1

Теорема 4.3 (Теорема Рiмана). Нехай ряд

=1 an умовно збiжний i S 2 R [ f 1g. Тодi

1

nP

iснує перестановка ' : N ! N, така, що ряд

=1 a'(n) збiжний, причому