Algebra_i_geometriya / І модуль / NE_1.2 / Опорний конспект
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I III. I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
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x5. i«ì¨ª¨ ã«ï ¢ ªi«ìæi. ¡« áâì æi«iá®áâi : : : : : : : :
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1
I III I
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à¨ä¬¥â¨çi ®¯¥à æi | ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï (é® ¦ áâ®áãcâìáï ¢i¤i¬ ï â ¤i«¥ï, â® ¢®¨ c ®¡¥à¥¨¬¨ ¤® ¢ª § ¨å ®¯¥à æi© ¢i¤¯®¢i¤®), ¯à¨ç®¬ã æi ®¯¥à æi ¯®¢'ï§ i ¬i¦ ᮡ®î ¤¨áâਡã⨢- ¨¬ § ª®®¬@ ¬®¦¨i Zm ª« ái¢ «¨èªi¢ § ¬®¤ã«¥¬ m ¢¨§ - 祮 ®¯¥à æi ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï, ¯à¨ç®¬ã (Zm +) i (Zm ) c ¡¥«¥¢¨¬¨ £à㯠¬¨, ªài¬ ⮣®, é® ¢ ª« á å «¨èªi¢ ®¯¥à æi ¤®¤ - ¢ ï i ¬®¦¥ï ¯®¢'ï§ i ¤¨áâਡã⨢¨¬ § ª®®¬.
ài§¨å ஧¤i« å ¬ ⥬ ⨪¨ i § áâ®á㢠ïå ¤® â¥åiç¨å â ¯à¨à®¤¨ç¨å 㪠¤®á¨âì ç áâ® ¯à¨å®¤¨âìáï ¬ ⨠á¯à ¢ã § ¢¨- ª® ï¬ ®¤ic ç¨ ¡i«ìè¥ «£¥¡à ç¨å ®¯¥à æi© ¥ âi«ìª¨ ¤ ç¨- á« ¬¨, © ¤ ®¡'cªâ ¬¨ §®¢ái¬ iè® ¯à¨à®¤¨. ⮬㠢¨¨ª c ¯¨â ï ¯à® ¤®æi«ìiáâì ¢¨¢ç¥ï ¤®¢i«ì¨å (ç¨á«®¢¨å ç¨ ¥ç¨á«®- ¢¨å) «£¥¡à ç¨å á¨á⥬ § ¤¢®¬ ®¯¥à æiﬨ. ¥à¥¤ â ª¨å á¨á⥬ ©¡i«ìè¥ ¯à ªâ¨ç¥ § áâ®áã¢ ï ¬ îâì ªi«ìæï â ¯®«ï.
¥®àiï ªi«¥æì â ¯®«i¢ ®ä®à¬¨« áï ¢ ®ªà¥¬¨© ஧¤i« «£¥¡à¨ ¯à¨ªiæi XIX | ¯®ç âªã XX á⮫iââï. ¯¥àè¥ ¯®ïââï ªi«ìæï ¢¢i¢ i¬¥æ쪨© ¬ ⥬ ⨪ iå ठ«iãá i«ì£¥«ì¬ ¥¤¥ªi¤ (1831{ 1911). ©®£® ¯à æïå § ª« ¤¥® ®á®¢¨ áãç á® § £ «ì® ⥮ài £àã¯, ªi«¥æì, ¯®«i¢, áâàãªâãà â ¬®¤ã«i¢. ¨§ 稩 ¢ª« ¤ ã â¥- ®àiî ªi«¥æì â ¯®«i¢ ¢¥á« i¬¥æìª ¦iª -¬ ⥬ ⨪ ¬¬i ¤ ¬iâ¥à (1882{1935), § i¬'ï¬ïª® ¯®¢'ï§ ® ¢¨¨ª¥ï § £ «ì® ( ¡-
2
áâà ªâ® ) «£¥¡à¨ â |
¤®á«i¤¦¥ï ¢ ®¡« áâi ⥮ài i¤¥ «i¢. |
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§ã¯¨¨¬®áï ஧£«ï¤i ¯¨â ì, é® áâ®áã- |
овмбп в¥®аi ªi«¥жм. ®¬®¢¨¬®бп ¤ «i ®¤г § ஧£«п¤г¢ ¨е ®¯¥- а жi© ¤®¢i«мi© ¬®¦¨i §¨¢ в¨ "¤®¤ ¢ ï¬", ¤àã£ã | "¬®¦¥ï¬", å®ç , ¢§ £ «i ª ¦ãç¨, ®¯¥à æi ¬®¦¨ å ¬®- ¦ãâì ¡ã⨠¤®¢i«ì¨¬¨.
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¢¥¤¥¬® ⥯¥à â®ç¥ ®§ ç¥ï ªi«ìæï.
§ ç¥ï 3.1. ¥å © K | ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ ¥«¥¬¥- âi¢ ¤®¢i«ì® ¯à¨à®¤¨ ïªi© § ¤ ® ¤¢i ¡i ài ®¯¥à æi | ¤®- ¤ ¢ ï + â ¬®¦¥ï . ®¦¨ã K §¨¢ îâì ªi«ì楬, ïªé®:
K1. (K +) | ¡¥«¥¢ £à㯠#
3
K2. (K ) | ¯i¢£à㯠#
K3. ®¯¥à æi ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï ¯®¢'ï§ i ¤¨áâਡã- ⨢¨¬¨ § ª® ¬¨:
(a + b) c = a c + b c c (a + b) = c a + c b 8 a b c 2 K
(i訬¨ á«®¢ ¬¨, ¬®¦¥ï c ¤¨áâਡã⨢¨¬ 鮤® ¤®¤ ¢ ï ¡® ¬ c ¬iáæ¥ à®§¯®¤i«ì ¢« á⨢iáâì ¬®¦¥ï ¢i¤®á® ¤®-
¤ ¢ ï).
®§ ç îâì ¯®«¥ ¡®à®¬ ¢¨£«ï¤ã (K + ). ਠæ쮬ã (K +) §¨¢ îâì ¤¨â¨¢®î £àã¯®î ªi«ìæï, (K ) | ©®£®
⨯«iª ⨢®î ¯i¢£à㯮î. ¬®¢¨ K1|K3 §¨¢ îâì
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§ áâ®á㢠ïå â ¢ § £ «ìi© ⥮ài ªi«¥æì ஧£«ï¤ îâì «- £¥¡à çi á¨á⥬¨ § ¤¢®¬ ¡i ਬ¨ «£¥¡à 稬¨ ®¯¥à æiﬨ, ¢
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§ ç¥ï 3.2. i«ìæ¥ (K + ) §¨¢ câìáï ª®¬ãâ ⨢-
ab = b a 8 a b 2 K.
㢠¦¨¬®, é® ¢i¤¬iã ¢i¤ £à㯨, ª®¬ãâ ⨢¥ ªi«ìæ¥ ¥ ¯à¨©ïâ® §¨¢ ⨠¡¥«¥¢¨¬.¨¬, ïªé® ®¯¥à æiï ¬®¦¥ï c ª®¬ãâ ⨢®î, ⮡⮠ïªé®
§ ç¥ï 3.3. i«ìæ¥ K, ¥«¥¬¥â ¬¨ 类£® c ç¨á«
§¨¢ câìáï ç¨á«®¢¨¬.
i¤§ 稬®, é® ¡ã¤ì-瘟 ç¨á«®¢¥ ªi«ìæ¥ § ¢¦¤¨ c ª®¬ãâ ⨢- ¨¬.
4
ª i ¤«ï ¤®¢i«ì® ¬®¦¨¨, ¯®âã¦iáâì ªi«ìæï K ¯®§ ç îâì ᨬ¢®«®¬ jKj. ªé® ¬®¦¨ ¥«¥¬¥âi¢ ªi«ìæï K áªiç¥ , â® ©®£® §¨¢ îâì áªi票¬.
®ïââï ªi«ìæï ã ¢¨£«ï¤i, ¢¢¥¤¥®¬ã ¢¨é¥, c ¤®á¨âì è¨à®ª¨¬.i«ìè¥ â®£®, ª« á ª®¬ãâ ⨢¨å ªi«¥æì, 直© ¯¥à訩 ¯®£«ï¤ §¤ câìáï ¤®á¨âì ᯥæi «ì¨¬, ¡ã¢ ¯à¥¤¬¥â®¬ ¯®á¨«¥®£® ¢¨¢ç¥ï ¯à®â¬ ¡ £ âì®å ¤¥áï⨫iâì i ¤ ¨© ç á ⥮àiï ª®¬ãâ ⨢¨å ªi«¥æì éi«ì® ¯¥à¥¯«iâ câìáï § «£¥¡à ç®î £¥®¬¥âàicî | ¬ â¥- ¬ â¨ç®î ¤¨á樯«i®î, ª®âà § 室¨âìáï ¬¥¦i ¬i¦ «£¥¡à®î, £¥®¬¥âàicî â ⮯®«®£icî.
«®£iç® ¤® ⮣®, ïª ¡ã«® ¢¢¥¤¥® ¯®ïââï ¯i¤£à㯨 (¯i¤- £à㯮 ¤ , ¯i¤¯i¢£à㯨, ¯i¤¬®® ¤ ), ¬®¦ ¢¢¥á⨠¯®ïââï ¯i¤- ªi«ìæï.
§ ç¥ï 3.4. i¤¬®¦¨ L ªi«ìæï K §¨¢ câìáï ¯i¤- ªi«ì楬 æ쮣® ªi«ìæï, ïªé® L c ªi«ì楬 ¢i¤®á® ®¯¥à æi©, ¢¨§ -
ç¥¨å ¢ K.
I訬¨ á«®¢ ¬¨, ¯i¤¬®¦¨ã L ªi«ìæï K §¨¢ câìáï ¯i¤ªi«ì- 楬, ïªé® L | ¯i¤£à㯠¤¨â¨¢® £à㯨 i ¯i¤¯i¢£à㯠¬ã«ì⨯«i- ª ⨢® £à㯨 ªi«ìæï.
ªé® L c ¯i¤ªi«ì楬 ªi«ìæï K, â® æ¥ ¯®§ ç îâì L K.祢¨¤®, é® ¯¥à¥â¨ ¤®¢i«ì® ªi«ìª®áâi ¯i¤ªi«¥æì ¢ K §®¢ã
¡ã¤¥ ã⢮àî¢ â¨ ¯i¤ªi«ìæ¥ ªi«ìæï K (¤«ï ¤®¢¥¤¥ï æ쮣® ä ªâã ¬®¦ ᪮à¨áâ â¨áï ¬iàªã¢ ﬨ, «®£i稬¨ ¤® ¯à®¢¥¤¥¨å ã ¢¨¯ ¤ªã £àã¯) i ⮬ã c §¬iáâ ஧£«ïã⨠¯®ïââï ¯i¤ªi«ìæï T K,
¯®à®¤¦¥®£® ¯i¤¬®¦¨®î T . £i¤® § ®§ ç¥ï¬, < T > |
æ¥ ¯¥à¥â¨ ¢áiå â¨å ¯i¤ªi«¥æì ¢ K, пªi ¬iбвпвм T . ¢¨¯ ¤ªã, ª®«¨ ¬®¦¨ T c ¯i¤ªi«ì楬 ¬ c¬®, é® < T >= T .
®¦¥ ªi«ìæ¥ K ¬ c, ®ç¥¢¨¤®, áâã¯i âਢi «ìi ¯i¤ªi«ìæï: ªi«ìæ¥ K â ã«ì®¢¥ ¯i¤ªi«ìæ¥, 瘟 ¬iáâ¨âì «¨è¥ ã«ì®¢¨© ¥«¥¬¥â.
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||||
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|||||
(a b) |
c = a (b c), (a + b) c = a c + b c, c |
(a + b) = c a + c b |
|||
8 a b c |
2 |
L. à¨ç®¬ã ã«ì®¢¨© ¥«¥¬¥â ªi«ìæï K ¬iáâ¨âìáï ¢ L, ¡® |
|||
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y 2 L ¯à®â¨«¥¦¨© |
|||
©®¬ã ¥«¥¬¥â ;y «¥¦¨âì L, ®áªi«ìª¨ |
;y = 0 ; y 2 L. ⦥, L c |
||||
ªi«ì楬 ¢i¤®á® ®¯¥à æi© ¤®¤ ¢ ï â |
¬®¦¥ï, ¢¨§ 票å |
||||
K, ⮡â®, §£i¤® § ®§ ç¥ï¬ 3.4, L K.
2.ਪ« ¤¨ ªi«¥æì â ¯i¤ªi«¥æì
1.®¦¨ Z ¢áiå æi«¨å ç¨á¥« c ç¨á«®¢¨¬ ªi«ì楬 ¢i¤®á®
®¯¥à æi© ¤®¤ ¢ ï â |
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)@ ªài¬ ⮣®, ¬®¦¨i æi«¨å ç¨á¥« |
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⨢®î, ª®¬ãâ ⨢®î â ¯®¢'ï§ |
¤¨áâਡã⨢¨¬ § ª®®¬ § ®¯¥à æicî ¤®¤ ¢ ï. I
2Z ¢áiå ¯ à¨å æi«¨å ç¨á¥« c ª®¬ãâ ⨢¨¬ ªi«ì楬 ¢i¤®á® ®¯¥à æi© ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï.
6
¯à ¢¤i, ¥¢ ¦ª® ¯¥à¥ª® â¨áï, é®: ¬®¦¨ ¯ à¨å ç¨á¥« c ¤¨â¨¢®î ¡¥«¥¢®î £à㯮î@ ¤®¡ã⮪ ¯ à¨å ç¨á¥« c ¯ ਬ ç¨- á«®¬@ ¯à¨ç®¬ã ®¯¥à æiï ¬®¦¥ï ã ¤ i© ¬®¦¨i c á®æi ⨢- ®î, ª®¬ãâ ⨢®î â ¤¨áâਡã⨢®î ¢i¤®á® ®¯¥à æi ¤®¤ - ¢ ï. áªi«ìª¨ 2Z Z, â® ªi«ìæ¥ (2Z + ) c ¯i¤ªi«ì楬 ªi«ìæï (Z + ). I
«®£iç®, (pZ + ), ¤¥ pZ | ¬®¦¨ ¢бiе жi«¨е з¨б¥«, й® ¤i«пвмбп ¤¥пª¥ вга «м¥ з¨б«® p (p 2), c ª®¬ãâ ⨢¨¬ ç¨á«®¢¨¬ ªi«ì楬, ¯à¨ç®¬ã pZ Z.
3. ®¦¨ K ç¨á¥« ¢¨£«ï¤ã a + bp2, ¤¥ a b | ¤®¢i«ìi æi«i ç¨á« , c ª®¬ãâ ⨢¨¬ ªi«ì楬 ¢i¤®á® ®¯¥à æi© ¤®¤ ¢ ï i
¬®¦¥ï.
¯à ¢¤i, § ¬ª¥iáâì ¬®¦¨¨ K ¢i¤®á® ¤®¤ ¢ ï i ¬®- ¦¥ï ¢¨¯«¨¢ c i§ á¯i¢¢i¤®è¥ì
(a + bp2) + (c + dp2) = (a + c) + (b + d)p2
(a + bp2) (c + dp2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)p2
¤¥ a + c, b + d ac + 2bd ad + bc | ⥦ c æi«¨¬¨ ç¨á« ¬¨. áªi«ìª¨ ®¯¥à æi ¬®¦¥ï i ¤®¤ ¢ ï ç¨á¥« i§ Z c á®æi ⨢¨¬¨ i ª®- ¬ãâ ⨢¨¬¨, ¯à¨ç®¬ã ®¯¥à æi ¬®¦¥ï â ¤®¤ ¢ ï ¯®¢'ï§ i ¤¨áâਡã⨢¨¬ § ª®®¬, â® ¢ ¬®¦¨i K ®¯¥à æi ¬®¦¥ï i ¤®-
¤ |
¢ ï ¡ã¤ãâì ¬ ⨠æi ¦ ¢« á⨢®áâi. ài¬ ⮣®, ®ç¥¢¨¤®, é® |
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0 + 0p2 K i ¤«ï ¤®¢i«ì®£® ¥«¥¬¥â a + bp |
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i§ K ¯à®â¨«¥¦¨© |
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2 |
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2 p p
¤® 쮣® ¥«¥¬¥â ;(a+b 2) = ;a;b 2 «¥¦¨âì ¤® K. ª¨¬ ç¨- ®¬, (K +) c ¡¥«¥¢®î £à㯮î i (K ) | ª®¬ãâ ⨢®î ¯i¢£à㯮î.⦥, (K + ) | ª®¬ãâ ⨢¥ ªi«ìæ¥. I
4. ®¦¨ M(n R) ª¢ ¤à â¨å ¬ âà¨æì ¯®à浪ã n § ¤i©á-
¨¬¨ ¥«¥¬¥â ¬¨ c ¥ª®¬ãâ ⨢¨¬ ªi«ì楬 ¢i¤®á® ®¯¥à æi© ¤®¤ ¢ ï i ¬®¦¥ï ¬ âà¨æì.
7
i©á®, ¥¢ ¦ª® ¯¥à¥ª® â¨áï, é® (M(n R) +) c ª®¬ãâ ⨢®î
£à㯮î, |
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