Algebra_i_geometriya / І модуль / NE_1.2 / Завдання для контролю і самоконтролю

Питання та завдання для поточного самоконтролю

та контролю знань

Питання:

1. Сформулюйте означення алгебраїчної операції (дії) на множині. Які три необхідні та достатні умови повинні виконуватися, щоб вказане правило за­да­вало алгебраїчну операцію на множині?

2. Опишіть властивості асоціативності та кому­та­тив­ності алгебраїчної опе­рації.

3. Сформулюйте означення нейтрального елемента. Коли нейтральний що­до операції елемент єдиний?

4. Сформулюйте означення нейтралізуючого до заданого елемента. Ко­ли нейтралізуючий елемент єдиний?

5. Які елементи називаються оборотними щодо вказаної операції? Коли їх можна шукати?

6. Сформулювати означення групи.

7. Яка група називається абелевою?

8. Що називають порядком групи? Яку групу називають скінченною (не­скінченною)?

9. Сформулювати означення порядку елемента групи. Яка основна влас­ти­вість порядку елемента скінченної групи?

10. Сформулюйте означення підгрупи.

11. Сформулюйте означення циклічної підгрупи, циклічної групи. Дайте означення твірного елемента циклічної групи.

12. Сформулювати означення кільця.

13. Яке кільце називають асоціативним (комутативним, асоціативно-комутативним, кільцем з одиницею)?

14. Яке кільце називають числовим?

15. Які умови досить перевірити, для того, щоб деяка числова множина була числовим кільцем?

16. Сформулювати означення дільників нуля в кільці.

17. Яке кільце називають кільцем з одиницею? Сформулювати означення дільників одиниці в такому кільці.

18. Сформулювати означення поля.

19. Яке поле називають числовим? Які умови досить перевірити, для того, щоб деяка числова множина була числовим полем?

Завдання:

1. Вивчити основні властивості (алгебраїчність, асоціативність, комутативність, існування нейтрального елемента, наявність оборотних елементів) дії над елементами множини , якщо:

№ варіанта		,	№ варіанта		,
1			4
2			5
3			6

2. Яку алгебраїчну структуру (групоїд, напівгрупу, моноїд чи групу) утворює множина, задана у прикладі 1, щодо вказаної дії ?

3. Перевірити, чи буде групою задана множина щодо вказаної дії. Чи буде задана дія комутативною, якщо:

№ варіанта
1	Множина всіх самосуміщень правильного многокутника від­носно дії по­слідовного виконання перетворень.
2	Множина від­нос­но дії мно­жен­ня своїх елементів.
3	Множина парних цілих чисел відносно дії дода­ван­ня.
4	Множина всіх підстановок -го степеня () від­нос­но дії мно­жен­ня підстановок.
5	Множина всіх парних підстановок -го степеня () від­нос­но дії множення підстановок.

4. Знайти порядок елемента групи . Побудувати циклічну групу, по­род­же­ну цим елементом та виписати усі її підгрупи:

№ варіанта	Елемент	Група
1		– мультиплікативна група підстановок шос­­того степеня.
2		– мультиплікативна група коренів десятого степеня з одиниці.
3		– мультиплікативна група невиродже­них матриць другого порядку з комплексними еле­ментами.
4		– мультиплікативна група коренів вось­мо­го степеня з оди­ниці.
5		– група функцій відносно дії суперпозиції функцій.

5. Перевірити, чи утворює кільце щодо звичайних дій додавання та множення чисел множина . Якщо відповідь позитивна, то з’ясувати, чи є це кільце полем.

№ варіанта	Множина
1
2	.
3	–– цілі числа, кратні (, ).
4
5	.

6. Перевірити, чи утворює кільце множина . Чи є це кільце полем?

№ варіанта
1	Множина відносно звичайних дій додавання та множення матриць.
2	Множина матриць другого порядку з цілими елементами віднос­но звичайних дій додавання та множення матриць.
3	Множина матриць другого порядку з раціональними елемен­тами відносно звичайних дій додавання та множення мат­риць.
4	Множина векторів простору щодо дій додавання та векторного множення векторів.
5	Множина цілочисельних векторів простору щодо дій додавання та векторного множення век­то­рів.