
Algebra_i_geometriya / І модуль / NE_1.2 / Завдання для контролю і самоконтролю
.DOCПитання та завдання для поточного самоконтролю
та контролю знань
Питання:
1. Сформулюйте означення алгебраїчної операції (дії) на множині. Які три необхідні та достатні умови повинні виконуватися, щоб вказане правило задавало алгебраїчну операцію на множині?
2. Опишіть властивості асоціативності та комутативності алгебраїчної операції.
3. Сформулюйте означення нейтрального елемента. Коли нейтральний щодо операції елемент єдиний?
4. Сформулюйте означення нейтралізуючого до заданого елемента. Коли нейтралізуючий елемент єдиний?
5. Які елементи називаються оборотними щодо вказаної операції? Коли їх можна шукати?
6. Сформулювати означення групи.
7. Яка група називається абелевою?
8. Що називають порядком групи? Яку групу називають скінченною (нескінченною)?
9. Сформулювати означення порядку елемента групи. Яка основна властивість порядку елемента скінченної групи?
10. Сформулюйте означення підгрупи.
11. Сформулюйте означення циклічної підгрупи, циклічної групи. Дайте означення твірного елемента циклічної групи.
12. Сформулювати означення кільця.
13. Яке кільце називають асоціативним (комутативним, асоціативно-комутативним, кільцем з одиницею)?
14. Яке кільце називають числовим?
15. Які умови досить перевірити, для того, щоб деяка числова множина була числовим кільцем?
16. Сформулювати означення дільників нуля в кільці.
17. Яке кільце називають кільцем з одиницею? Сформулювати означення дільників одиниці в такому кільці.
18. Сформулювати означення поля.
19. Яке поле називають числовим? Які умови досить перевірити, для того, щоб деяка числова множина була числовим полем?
Завдання:
1.
Вивчити
основні властивості (алгебраїчність,
асоціативність, комутативність, існування
нейтрального елемента, наявність
оборотних елементів) дії
над елементами множини
,
якщо:
№ варіанта |
|
|
№ варіанта |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
2.
Яку алгебраїчну структуру (групоїд,
напівгрупу, моноїд чи групу) утворює
множина, задана у прикладі 1, щодо вказаної
дії
?
3. Перевірити, чи буде групою задана множина щодо вказаної дії. Чи буде задана дія комутативною, якщо:
№ варіанта |
|
1 |
Множина всіх самосуміщень правильного многокутника відносно дії послідовного виконання перетворень. |
2 |
Множина
|
3 |
Множина
|
4 |
Множина
|
5 |
Множина
|
4.
Знайти порядок елемента
групи
.
Побудувати циклічну групу, породжену
цим елементом та виписати усі її підгрупи:
№ варіанта |
Елемент |
Група |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
5.
Перевірити, чи утворює кільце щодо
звичайних дій додавання та множення
чисел множина
.
Якщо відповідь позитивна, то з’ясувати,
чи є це кільце полем.
№ варіанта |
Множина |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6.
Перевірити, чи утворює кільце множина
.
Чи є це кільце полем?
№ варіанта |
|
1 |
Множина
|
2 |
Множина
|
3 |
Множина
|
4 |
Множина
|
5 |
Множина
|