Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.3 / приклади розв задач НЕ 2
.3.docПриклади розв’язування задач
Приклад 1. Знайти лінійне не вироджене перетворення, що зводить квадратичну форму до нормального вигляду:
а) .
Розв’язання.
Заміна: (2)
Матимемо: — нормальний вигляд даної квадратичної форми.
Знайдемо тепер перетворення, яке приводить квадратичну форму до нормального вигляду. Для цього виразимо через :
Із (2) маємо:
Підставимо ці вирази в (1):
Отже, шукане лінійне перетворення — таке:
— не вироджена перетворення не вироджене.
б)
Розв’язання.
Заміна:
— нормальний вигляд.
Перетворення:
Отже, шукане лінійне перетворення має вигляд:
Його матриця — не вироджена (бо ), тому знайдене перетворення не вироджене.
в)
Розв’язання.
Заміна:
Заміна:
— нормальний вигляд квадратичної форми
Перетворення:
— шукане перетворення.
Перетворення лінійне не вироджене, бо — не вироджена ().
Приклад 2. Знайти всі значення параметра , при яких квадратична форма є додатно-визначеною.
Розв’язання.
Користуємося критерієм Сильвестра: Виписуємо матрицю квадратичної форми і обчислюємо її головні мінори:
Отже, знаходимо із системи нерівностей:
Відповідь: При дана квадратична форма є додатно визначеною.
Приклад 3. З’ясувати, при якому значенні дійсна квадратична форма розпадається на добуток дійсних лінійних форм.
Розв’язання.
Згідно з критерієм, дійсна квадратична форма розпадається на добуток дійсних лінійних форм або та .
Отже, дослідимо спочатку ранг квадратичної форми, враховуючи, що , де
— матриця квадратичної форми
Оскільки у матриці А є ненульовий мінор , то .
Для того, щоб , тобто
Отже, при , тобто при таких значеннях квадратична форма є нерозпадною.
Якщо ж , то і квадратична форма розпадається на добуток лінійних форм, якщо ще й сигнатура . Тому шукаємо сигнатуру даної квадратичної форми. Для цього зводимо її до канонічного вигляду.
Заміна:
лінійне не вироджене перетворення, яке зводить квадратичну форму до канонічного вигляду:
Якщо , то , тому і вона має вигляд
, але
Отже квадратична форма ніколи не розпадається на добуток дійсних лінійних форм.
Приклад 4. Чи є еквівалентними квадратичні форми та
на полем дійсних чисел?
Розв’язання.
Квадратичні форми та будуть еквівалентними над , якщо
— ранги та сигнатури рівні.
Шукаємо ранги цих квадратичних форм за допомогою рангів їх матриць:
Отже, .
Отже
Залишається порівняти сигнатури. Для цього зводимо обидві квадратичні форми до нормального вигляду:
Заміна:
Тоді — нормальний вигляд квадратичної форми .
— сигнатура
Аналогічно,
Заміна:
Тоді, — нормальний вигляд квадратичної форми .
—сигнатура .
Оскільки
То — вони еквівалентні.