Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.3 / Пит. і завд. для контр. і самоконтр
..DOCПитання та завдання для поточного самоконтролю
та контролю знань
Питання:
-
Квадратична форма. Дійсна та комплексна квадратичні форми.
-
Канонічний та нормальний вигляд квадратичної форми. Невироджене лінійне перетворення квадратичної форми.
-
Теорема Лагранжа про існування невиродженого лінійного перетворення, яке приводить квадратичну форму до канонічного вигляду.
-
Ранг, сигнатура, додатний та від'ємний індекси інерції. Закон інерції.
-
Еквівалентність квадратичних форм. Класи еквівалентності.
-
Додатно-визначена квадратична форма. Означення та властивості. Критерій Сильвестра.
-
Квадратичні форми, що розкладаються на добуток лінійних форм. Критерій розкладу.
Завдання:
-
Знайти ранг, додатний та від’ємний індекси інерції, сигнатуру квадратичної форми:
а) ;
б) ;
в) .
-
Методом Лагранжа звести квадратичну форму до канонічного (нормального) вигляду. Виписати лінійне невироджене перетворення, яке приводить цю форму до канонічного (нормального) вигляду. Чому дорівнює сигнатура форми?
-
Знайти канонічний вигляд квадратичної форми . Чи є ця форма додатно-визначеною?
-
Знайти нормальний вигляд та перетворення, яке приводить до цього вигляду для квадратичної форми: а) ;
б) ; в) .
-
Знайти всі значення параметра , при яких квадратична форма
є додатно-визначеною.
-
З’ясувати, при якому значенні дійсна квадратична форма
розпадається на добуток дійсних лінійних форм.
-
Чи є еквівалентними квадратичні форми та над полем дійсних чисел?