Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.3 / Пит. і завд. для контр. і самоконтр

Питання та завдання для поточного самоконтролю

та контролю знань

Питання:

1. Квадратична форма. Дійсна та комплексна квадратичні форми.

2. Канонічний та нормальний вигляд квадратичної форми. Невироджене лінійне перетворення квадратичної форми.

3. Теорема Лагранжа про існування невиродженого лінійного перетворення, яке при­водить квадратичну форму до канонічного вигляду.

4. Ранг, сигнатура, додатний та від'ємний індекси інерції. Закон інерції.

5. Еквівалентність квадратич­них форм. Класи еквівалентності.

6. Додатно-визначена квадратична форма. Означення та властивості. Критерій Силь­вестра.

7. Квадратичні форми, що розкладаються на добуток лінійних форм. Критерій роз­кладу.

Завдання:

1. Знайти ранг, додатний та від’ємний індекси інерції, сигнатуру квадратичної форми:

а) ;

б) ;

в) .

2. Методом Лагранжа звести квадратичну форму до канонічного (нормального) вигляду. Виписати лінійне невироджене перетворення, яке приводить цю форму до канонічного (нормального) вигляду. Чому дорівнює сигнатура форми?

3. Знайти канонічний вигляд квадратичної форми . Чи є ця форма додатно-визначеною?

4. Знайти нормальний вигляд та перетворення, яке приводить до цього вигляду для ква­д­ра­тичної форми: а) ;

б) ; в) .

5. Знайти всі значення параметра , при яких квадратична форма

є додатно-визначеною.

6. З’ясувати, при якому значенні дійсна квадратична форма

розпадається на добуток дійсних лінійних форм.

7. Чи є еквівалентними квадратичні форми та над полем дійсних чисел?