Konspect_HE_1

i

=

a11

L

a1r

a1l

.

a

L

a

a

Lr1

Lrr

Lrl

ai1

L

air

ail

L

Визначник i – цевизначник D ,окантова“ ”елеменийтами

l –гостовпцяелементами

i –горядка

матриці A .При

будь–яких i

визначник

i

= 0 .Справді,якщо

i > r ,то

i ємінором

(r +1)–гопорядкуі

тому

i

= 0 .Якщож

i ≤ r ,то

визначник

i

міститимедваоднакрядкиомувих

i

= 0 .Розглянемо

алгебраїчнідоповненрядкаелементівостаувизначникунього

i

.Якщо

1 ≤ j ≤ r ,тоалгебраїчним

доповненнямеле

мента aij в

i єчисло

a11

L

a1, j −1

a1, j +1

L

a1r

a1l

.

Aj = (−1)r +1+ j

a

L

a

a

L

a

a

Lr1

Lr, j −1

Lr , j +1

Lr r

Lrl

L

L

Оскільки

i = 0 ,то

Але D ≠ 0 ,тому

ai1 A1 + ai 2 A2 +... + air Ar + ail D = 0.

A1

A2

Ar

a = −

a

−

a

−... −

a , 1 ≤ i ≤ s.

il

D i1

D

i 2

D

ir

Отже,

l –ийстовпчи

кматриці

A єлінійноюкомбінацієюїїперших

r

стовпців,тобто

систовпцівтемі

матриці A знайденамаксимальналі ійноезалежнапід, кладенаистемапершихїї

r стовпців.

Цим

доведено,що

рангматриці

A дорівнює числу r .

Наслідок.

Макількістьсимальналі ійноезалежнихрядківматдорівнюємаксимальнійицікількості

лінійноезалежнихстовпцівцієї

матрицідо ангуівнюєматриці.

A .Максимальнийпорядок

Доведення.

ʹ

транспонованаматрицядляматриці

Нехай rangA = r і A –

відмінногонулямінора,складзелетраменогоматрспонованоїтів

иці,незміниться,оскількипри

транспонувизначнезмінюєвеличиниоєїанніик.Отже,

rangA = rangAʹ істовпці

ʹ

A ,а

A єрядкамив

томукількістьнезалежнихстовпцівматриці

A збігаєтзкілнезалежнихькістюсястовпцівматриці

Aʹ.Таким

чином,кількістьнезалежних

стовпцівматриці

доркількостівнюєнезалежнихїїрядків.

1. Метохопленд

няокантовування( )мінорів.

Приобчисленнірангуматрицітребапереходит

ивід

мінижчихорівменших( )порядківдоміноріввищихбільших( )порядків.Якщознайденомінор

k − го

порядку D ,відміннийнуля,топотрібнообчлитімінорислитише

(k +1) −гопорядк

у,якіокантовують

мінор D :якщовсівонидорівнюютьнулеві,торангматрицідорівнює

k .

Дляобчисленнярангуматрможнав цікористовущеодинметод,якийнепо'язанийвтеоремоюати

пртагоневима

гаєобчисленвизначників.Прйможнаготеявикористовуватилишетомувипадку,

колипотрібнознайтитількирангматриці,непотрібнознати,якісаместовпчики(рядки)утворюють

максимальнулі ійноезалежнусистем.Опишемоцей.етод

2. Обчислення рангуматрицізадопомогоюелемеретвореньнтарних.

Елеменперетарніворення

матрицівизначеніранішедив(.п.3зазначиперетворен.2);,щотакіматрицінезмінюютьїїра.Заягу

допомогоюелементретвореньазворнтрдоидіагональногоцюхимовигля

ду,прицьомуранг

діагональноїматрицідорк лькостівнюєвідміннихнулядіагональнихелементів.

Тео.пранг( емадобуматриць).ку

Рангдо

буткуматрицьнеперевищуєрангукожного

із

співмножників.

Доведення.

Доветеоремудлявипадкуемодвохмножни

ків.

Нехай

A = (atk )

,

B = (btk )

,

m×s

s×n

A =B =C = (ctk

)

,де

m×n

s

ctk

= ∑atl blk ,

t {1,..., m}, k {1,..., n}.

l =1

Прикожномуфіксованому

k k –ийстовпчматрикці

C єлінійноюкомбінацієюустовпцівіхматриці

A . Отже rangC ≤ rangA.Прикожномуфіксованому

i

i –ийрядокматриці

C єлінійноюкомбінацієюусіх

рядківм

атриці B.Тому

rangC ≤ rangB. Такимчином,

Теоремадоведена.

A квадратнаі

det A ≠ 0 ,торангдобутку

A B дорангуівнюєматриці

Наслідок.

Якщоматриця

B заумови,щоіснуєдобуток

A B .