Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Konspect_HE_1

.1.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
10.07 Mб
Скачать

Властивість 1. Визначникнезмінюєтьсяпритранспонуванні.

Доведення. Розглявизначник(1емо.9) ітранспньогдовизначнико(1ванийКожен.10). член визначника( 1.9)маєвигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1α a2α

2

 

anα

n

,

 

 

(1.11)

 

 

 

 

 

утворюють перестанізсимволіввку

 

 

 

1, 2,..., n .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

де

другі

індекси

 

 

 

 

добутку(1 и

 

 

 

 

 

.11)іу

 

 

 

 

 

 

 

 

Алевсімножни

 

K

 

 

 

 

 

транспонованому визначнику(

1.10)залишаються

врізнихрядкахрізнихстовпцях,тобто(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.11)є

 

також

членом і транспонованоговизн.Н чнивпаки

 

 

 

,кожчлвизначникаен(1єтакож.10)ічленомвизначника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1Отже.9),визначник.

 

 

 

та транспньогдовизначнико(1ваний.10)

 

 

 

 

 

складаютьсязоднихітихжечленів.

 

 

 

 

 

 

 

Знакчлена(1.11

 

 

)визнпарнічаєтьсяпідстюановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

(1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1

 

 

αn

 

 

 

У визначнику(

1.10)першііндексиелементіввказуютьна

 

 

 

номерстовп

 

 

другі

– наномеррядка,тому

 

 

 

 

 

 

чика,

 

L

 

 

 

 

 

 

члену (1.11) увизначнику(

1.10)відпідстановкаовідає

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1

α2

 

 

 

αn

 

 

(1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

...

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

Підстановки(

1.12)

та (1.13),взагалікажучи,

 

різні,алемаютьоднп ,рністькову

 

 

 

 

 

 

 

 

томучлен

 

(1.11) у

визначники (1та.(19).10)

 

будевхзодитинаковимзнаком.

 

 

 

 

Отже,визначники(

 

 

1.9) і (1.10)єсумами

однаковихчленів,взятиходнаковимизнаками,

 

 

 

 

 

тобто рівніміжсобою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Іздоведеноїластивостівипливає,щобудь

 

 

 

 

-якетвердженняп ядкиовизначника

 

 

 

 

 

 

 

 

є вірнимдляйого

 

 

стовпців і навпаки.

Отже,наступнівластивост

 

івизначможнаформуикаідоводитилишедляюватийого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рядківабо(лишедлястовпців).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість2.

Якщовсіелементидеякогорядкавизначникадорівнюютьнулеві,тоцейвизначник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнюєнулеві.

 

 

 

 

 

 

i тогорядкавизначникадорівнюютьнулеві.Згідоз ,аченням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

Нехайвсіелементи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кожчлвизначенміститьякнодиникаожникелементз

 

 

 

 

 

 

 

i тогорядка.Отже,вцьомувипадкувсічлени

 

 

 

 

 

 

 

 

визначникадорівнюютьнулеві.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість3.

Приперестановцідвох

рядківвизначниказнаквизначниказмі проюєт. ьсяилежний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j -тийрядк

и, (1 ≤ i j n),авсі

 

 

 

 

 

Нехайувизначнику(1.9

 

 

)переставл еномісцями

i -тийта

інші рядки

залишаютьсянамісці.Отриму

 

 

 

 

ємовизначник

 

(1.14):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

L

a1n

 

 

( i тийрядок)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

L

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.14)

 

Lj1

Lj 2

Ljn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

( j тийрядок)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

L

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Li1

Li 2

Lin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

L

a

 

 

Якщо(

1.11) – членвизначника(

1.9),товсійогомножники

 

 

 

 

 

 

і увизначнику(1

.14)

 

Ln1

Ln 2

Lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

залишаються,

очевидно,

врізнихрядкахрізнихстовпцях.

 

 

 

 

Такимчином

 

 

,визначники(

1.9)і (1

.14)

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

складаються зодних

ітихжечленів.

 

Членові(

 

1.11)увизначнику(1

.14)відпідстановкаовідає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

K

j

K

 

 

i

 

K

n

 

 

(1.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2

αi

 

α j

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1

 

 

αn

 

 

 

 

 

Підстановка(1

 

.15)отримує

 

ться з( 1.12)здопомогоюоднієїтранспозиціїуверхньомурядку,тобтомає

K

 

K

 

 

 

 

K

 

 

 

 

протилежнупарність.

 

 

Звідсивипливає,що

 

всічленивизначника(

 

 

1.9)

входять

 

увизначник

(1.14)з

протилежнзнаками,тобтовизначники( ми

 

 

 

1.9)та(1 .14)відрізняються

одинвідлишеного

 

 

 

 

знаком.

 

 

 

 

Властивість4.

Визначноднакові,щоміститьдварядки,дорівнюєнулеві.

 

 

 

d інехайвідповіделемейогоніти

 

 

 

 

 

 

 

i гота

j го

 

 

Доведення.

Нехай заданий визначникдорівнюєчислу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рядків рівніміжсобою.

 

 

Післяперестановкицихдвохрядківотримуємоновийвизначник,якийвнаслідок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

властивостідорівнює3,

 

 

 

d .Але ,оскільки,

 

переставляютьсяоднаковірядки

 

 

 

 

,тонасправді

визначник не

змінюється,тобто

d =− d ,звідки

d = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Властивість5.

Якщовсіелементидеякрядкапогомножитинадеякечисло

 

 

 

 

 

k ,тоісамвизначник

помнаожиться k .

 

k

 

 

 

i горядка.Кожчлевизначникамістить

 

 

 

 

Доведення.

Нехайна

помноженовсіелементи

 

 

 

рівно

одинелементзцього

 

i горядка,тому

кожен член має множник k .Отже,весь

визначпомножик

ено на k .

Властивість 5 формулюють ще йтак:

спільниймножник

 

,щоміститьсяувсіхелементах

 

одного рядка,

можзнаквизанестивизначника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість6.

Визначн,щоміститьдвапропорцкрядки,дорнулевін.й юєі

 

 

 

 

 

 

 

j го

Доведення.

Нелементхай

и

i горядкавизначника

 

відрізняютьсявідповіднихелементів

 

 

 

рядка (i j )однимітимжемножником

 

 

k .Винцейспільнийсемомнз жник

 

 

i горядка

 

за знак

визначника.Отр маємодвомаодчнакрядик,ок,вийаминасліимивластивостідо4, рівнюєк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулеві.

 

 

 

 

i горядкавизначника

n гопорядкузображеновигляді

 

 

 

Властивість7.

Якщовсіелементи

 

 

суми

двох оданків:

 

 

 

 

ai j

= bi j + ci j ,

j = 1,K , n ,

 

 

 

 

 

товизначникдорівнюєсуміохизначни,уякихвсіряд,кріміви

 

 

 

i го,

такі ж,які

в

заданому

визначнику,а i ийрядокв

першому доданку складаєтьсязелементів

 

bi j , авдругому

– ізелементів

ci j .

Доведення.

Кожен член заданоговизначможназаписатика

 

 

увигляді :

 

 

 

 

 

 

 

a1α

a2α

2

 

aiα

i

anα

n

= a1α

a2α

2

 

(biα

i

+ ciα

)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

La1α1 aL2α2

 

biαi anαn

 

La1α1 a2α2

ciαLi

 

 

 

 

 

=

L

 

 

 

 

 

L

 

 

 

+

 

 

L

 

L

 

 

a

a12

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

L

 

L

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bi1L ci1

bi 2 L ci 2

 

 

bin L cin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

+

+

 

 

L

 

+

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln1

Ln 2

 

 

 

Lnn

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L11

 

12

 

 

 

 

 

1n

 

 

 

11

 

12

 

K

 

 

 

 

 

 

 

Ki1

 

Ki 2

 

 

K Kin

 

 

 

Ki1

 

Ki 2

 

 

 

 

 

 

 

=

b

 

b

 

 

K

 

 

b

 

+

c

 

c

 

K

 

 

 

 

 

 

 

Kn1

 

Kn 2

 

 

K Knn

 

 

 

Kn1

 

Kn 2

 

K

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

K

 

a

 

 

 

a

 

a

 

K

Зазначимо,щовластивістьпоширюється7 навипадок,коликожелемент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумоюнедвох,а

m доданків (m ≥ 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anαn = anαn .

a1n

K

cin .

K

ann

i горядка визначникає

Означення. i тийрядоквизначникає лінійноюкомбінацією йогорядківзномерами

j , j ,..., j

1 ≤ l n, 1 ≤ j<

j < ...< j< n

 

,якоженщоелементцьогорядкаєлінійноюкомбінацією

 

 

 

 

 

 

 

1 2

l

(

 

 

1

2

 

l

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відпоелеменрядківвказанихідних,тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ais

= k1aj

s + k2aj s + ... + kl aj

s ,≤1

i≤, s

 

n,

ki

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

2,

l ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість8.

Якщоодинізрядківвизначникаєлінійною

 

 

 

 

 

 

 

комбінацієюінших

 

його рядків,товизначник

 

дорівнюєнулеві.

 

 

 

 

 

 

 

i -ийрядок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

Доведення.

Нехай,наприклад,

 

визначника

єлінійноюкомбінацією

 

іншихрядків,

 

1 s n 1. Тодікожен

елемент i горядкаєсумою

 

 

s

доданків,

 

тому,використовуючи

властивість 7,

заданий визначник є сумою визначників,

у кожномузяких

 

i ийрядокпропдорційний

 

одногоз

інших

рядків.Згідно

з

властивістю 6,у

сі такі визначникидорівнюютьнулеві

 

 

 

.Отже,

 

заданийвизначник

також

дорівнюєнулеві.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість9.

Визначникнезмін

 

иться,якщодоелементіводнзйогорядківдода

 

 

 

 

 

 

 

ти відповідні

елементиіншогорядка,помнонаоднейтжчисло.ені

 

i горядкавизначника

 

 

 

d додамо

j ийрядок,

i j,помноженийначисло

 

k

Доведення.

До

 

 

 

 

новомувизначнику

 

кожен елемент i горядка

маєвигляд

is

+ ka

js

{

 

}

 

 

 

a

 

, s

1, 2,

 

, n . Завластивістюцей7

 

визначник є сумдвохизначю,одиізякихзбігаєтьсяників

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

інший

міститьдвапропорційнірядки,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

тобто, завластиввін6дорістювнює

 

 

нулеві.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Наслідок.

Визначникнезміниться,якщододеякого

 

 

 

йогорядкадодатилінійнукомбінаціюінших

 

 

 

 

рядків.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема5Мінорита. алгебраїчнідоповнення.ТеоремаЛапл са

 

 

 

 

 

 

Обчвислзначбезпосередньояиків

 

 

заозначеннямєдоситьскладним,оскількипотрібно

 

 

 

 

виписувативсі

n!

членів,визнач

атиїхзнакиіт.д.Існуютьпростішісп бчисленсобивизначників,котрія

 

 

 

 

 

базуютьсянатому,щовизначник

 

 

 

n гопорядкуможнавиразитичерезвизначни,порядкиякихменшініж

 

 

 

 

 

n .

 

 

d

порядку n .Нехай k натурачисло,якезадовьнеумольняєву

 

 

 

1 k n 1.

Розглявизначникемо

 

 

 

Увизначнику

d

виберемо k

рядківта

k стовпців.Елементи,щостоятьнаперетиніцихрядківсто,

пців

 

 

 

 

утворюютьматрицюпорядку

 

 

k .Визнцієїманазиваєтьсячнтр цік

 

мінором k гопорядку

визначника d .

Увизначнику

d n гопорядкувізьмемомінор

M k гопорядку.Виктірядкеітістовпціл,наимо

 

 

 

 

перетиніяких

знаходиться цеймінор.Залиши

тьсямінор

M ʹ

порядку n k , який називається доповняльним

мінором длямінора

 

M . Навпаки,

якщо викреслити тірядкиістовпці,якихрозташованіелементимінора

 

K

 

 

M ʹ ,тозалишиться,очевидно,мінор

 

 

 

M .О тже, мовайдепро

 

парувзаємнодоповмівизначникаорівяльних

 

 

.

Якщожмінор

 

 

k гопорядку

M розташврядкахнованиймерами

i1 , i2

,

,ik

тавстовпцяхз

номерами j1 ,

j2 ,

 

, jk ,то алгебраїчнимдоповненням

мінора M назвемойогодопмівноряльний

 

 

M ʹ ,

взятийізнакомплюсабомінус,взалежнвідтог,парначиості

 

 

 

 

 

непарна суманомерів

усіхрядків та стовпців,

у якихрозташмінорваний K

M ,тобтосума

 

 

 

 

 

 

 

SM = i1 + i2 + + ik + j1 + j2 + + jk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,алгебраїчдоповдлямінораеннямим

 

 

 

 

M є

K

 

 

SM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AM = (1)

 

 

M ʹ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Добутокдовільногомінора

 

 

 

 

 

M

k гопорядкунайогоалгебраїчне

 

 

 

 

 

 

доповнення

визначнику

d

 

n гопорядку (1 k n 1) — цеалгебрсум,доданкияа,коїчотримуютьсяїріпісля

 

 

 

 

 

 

 

множеннячленівмінора

 

 

 

M навз ятіізнаком

 

 

(1)SM членидоповміняльногоора

 

 

 

 

 

 

 

M ʹ ,єчленамивизначника

d ,причомуїхзнакивційсумізбігаютьсятимизнакаякими, вонвходятьувизначник.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M розташуліверхомувакнткуьомуий

Доведення.

Доведенняпочнемоз

 

тоговипадку,колимінор

 

 

 

 

 

 

 

визначника:

 

 

 

 

 

 

a11

K

 

a1k

 

 

 

a1,k +1

K

 

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kk1

 

 

Kkk

 

 

 

 

Kk ,k +1

K Kkn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

ak +1,1

K

 

ak +1,k

ak +1,k +1

K

 

ak +1,n

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ʹ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kn1

K Knk

 

 

 

 

Kn,k +1

 

SM

Knn

 

 

 

 

Тодімінор

 

ʹ

 

 

 

 

визначника.

Прицьомуч

 

исло

єпарним:

 

 

M

 

займе правий нижній кут

 

 

K

K

 

 

 

K

 

 

K

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

=1+ 2

+

+ k +1+ 2

+

 

 

AM = M

 

+

 

+ k

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

)

,

Отже,алгебраїчдоповміненнямимора

 

 

 

 

 

M єсаммінор

 

 

 

M ʹ :

 

 

ʹ.

 

 

 

 

 

Розгляндовічлеьнмоий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1α1 a2α2 K akαk

мінора M ; вінмаєз

нак (1) l ,де

 

l – кількістьінверсій

 

 

у підстановці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

K

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1

α2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αk

 

 

 

 

 

 

 

Довільнийчлен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

ak +1,βk +1 ak +2,βk +2 K anβn

мінора M ʹ

маєвцьомумінорізнак

 

(1) lʹ ,де

lʹ – кількістьінвпідстановціерсій

 

AM у

(1.16)

(1.17)

13

 

k +1

k + 2

K

n

 

 

βk +2

.

 

βk +1

βn

Перемножуючи члени(

1.16) та (1.17),отримаєдобутокелементів

K

 

 

 

 

 

a1α

a2α

2

K

akα

ak +1,β

ak +2,β

k +2

anβ

,

 

 

 

 

1

 

 

k

 

k +1

 

n

які розташованірізнихрядках

 

ихстовпцях

изначника.Отже, (1.18

 

 

 

 

визначника

M M ʹ

 

 

 

 

 

 

)єчленомK

 

 

члена(1.18

)вдобутку

збігаєтьсядобутком

 

 

знаків

членів(

1.16)

та

(1) l (1) lʹ = ( 1) l +lʹ . Такий жезнакмаєчлен(

 

1.18) у визначнику d , оскввизнількипарністючається

 

підстановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.18)

d .Знак

(1.17), тобто

1 2

K

k k +1 k + 2

K

n

,

 

 

 

α1 α2

αk βk +1 βk +2

βn

 

K

K

 

склазіндексівцьогоеноїчлена.Оскількиномердовільногостовпця

 

 

 

стовпця

M ʹ ,точисл

а α1 ,α2 ,...,αk неутворюютьінверзчисламиій

 

частковийвипадоктеореми.

 

 

 

Розглянемозагальнийвипадок

 

,тобтоприпустимо

що мінор

i1 ,i2 ,K ,ik

та довільних стовпцяхзномерами

j1 , j2 ,K ,

jk ,причому

Mмезаншийомердовільного

βk +1 , βk +2 ,..., βn . Цимдоведено

M розташованийу

рядкахзномерами

 

 

 

 

 

1 i1 <i2 < < ik n ,

 

1 j1 < j2 < < jk n.

 

 

 

 

 

Переставимо послірятадкиовно

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

мінор

 

 

 

 

 

 

приць омудоповмі.норяльний

 

стовпцітак,щоб

 

 

 

 

перемістити

 

K M у лівийверхнійкут,незмінив

 

 

ши

Длятого,щрядокб

 

 

i1 переміститинапершемісце,потрібновиконати

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1 1 перестановкусусідніх

 

рядків.Длятого,щрядок

 

 

 

i2 переставитинадругемісце,н обхідно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виконати

i2 2 перестановкисусідніх

ряіт.д.ків

Отже,длятого,щмінорб

 

 

 

M розташувавсяперших

 

 

 

 

k рядках,потрібновиконати

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

i 1 +

i 2+ +

 

ik=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

)

( 2

 

)

 

 

( k

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

i + i + + i

)

(1 +2 + +k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1

 

2

 

 

k

K

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

транспозиційрядків.Теперпосл

 

 

 

ідовнопереставимостовпцівизначникаK

 

 

 

 

 

 

( j1 + j2 +

K

+ jk )(1+ 2+ + k )

разів.Отримаємоновийвизначник

 

d

ʹ

, у якомумінор

 

 

M

займелівийверхнійкут.Мінор

 

M

ʹ

правий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

займе K

 

нижнійкут,бопереставляли

 

сь лишесусірядніки

 

 

 

 

 

 

та стовпці.Длятакрозташувгомінорання

 

 

 

 

M доведено,

що кожчлдобуткуен

 

M M ʹ

є членом визначника d ʹ . Алевизначник

d ʹ отриманоз

d шляхом

 

 

 

 

 

 

 

 

i +i + +i 1+ 2+ + k +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1

 

 

 

2

 

 

k

)

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+( j1

+ j2 K

 

+ jk )(1 +2K

+k ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= SMK2(1+ 2+ + kK)

 

 

 

 

 

 

 

транспозиційрядківсто,томучленипців

 

 

 

 

 

 

 

 

визначника

d

ʹ відрізняютьсявідповідчленіввизначникаих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d лишезнаком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)SM 2(1+2+K +k ) = ( 1)SM ,

 

 

 

 

 

 

Тобто d = (1)SM d ʹ.Але

(1)SM M ʹ =AM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

алгебраїчнедоповненнямінора

 

 

 

M увизначнику

 

d .Отже,член

 

добутку M A єтакожчленомвизначника

 

 

 

 

d .Теоремадоведена.

 

 

 

n гопорядкудообчисленвизначниківя

 

 

 

 

Теорема1до.11звобчестиоляєвизначникасленя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1) гопорядку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Означення.

Якщо

ai j

елемевизначникат

 

 

 

d ,томіноромцьогоеленазиваютьентамінор

 

 

 

 

 

 

(n 1) гопорядку,щоотримуєтьсяз

 

 

 

d післявикреслювання

 

i горядката

j гостовпця.Алгебраїчним

 

доповненнямеле

мента ai j

називаєтьсячисло:

 

 

 

 

 

Ai j = (1) i+ j Mi

j .

 

 

 

 

 

 

 

Добуток ai j

Ai j єсумоюдекічленіввизначникаькох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d (взятихтимижзнаками,якимивонвходять

 

 

 

 

 

 

в d )Кількість. ци

 

хчленівдорк лькостівнюєчленів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M i

j ,тобто

(n 1)!.

 

 

 

 

 

 

Вибираємодовільний

i ийрядоквизначника

 

 

 

d ірозглянемодобутки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai1 Ai1 , ai 2 Ai 2 ,L , ain

Ain .

 

 

(1.19)

14

Жодчленвизначника

d невходить

 

до складу двохрізнихчисел(

 

1.19),бо,наприклад,всічлениз

 

 

 

ai1 Ai1 містятьз

i горядкаелемент

ai1 ,атомувідрізняютьсячленів

 

ai 2 Ai 2 іт.д.З

іншого боку, таких

членів,щовхоусідобуткиять(

 

 

 

1.19), є

(n 1)!n = n!,тобтов(

1.19)містятьсявсічленивизначника

 

 

 

d .

Отже,доведенотвердження

 

 

 

провизначниказклад

 

 

 

d за i тимрядком.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Визначник d дорівнюєсумідобутківусіхелементівдовільногойогорядканаїхніалгебраїчні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доповнення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +

 

+ ain Ain ,1i

n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.20)

Аналогічнийрозкладмотриматижнадовільнимстовпц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначника

d

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ем

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = a1 j A1 j + a2 j A2 j

+K + anj Anj ,1

j

n

.

(1.21)

Розкл(1та.(120)дамизручно.21)користуватися,колидеякомурядкучи(стовпці)визначникавсі

 

 

 

 

 

 

 

 

елеме,крімодного,дорівнюютьтинулеві.Тодвизначдорівнюєдобуткунеик

 

 

 

 

 

 

 

 

n гопорязводитьобчисленнякуодного

нульовелементанайого

 

 

 

алгебраїчнедоповнення,тобтообчисленвизначникая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначника (n 1) гопорядку.Зазначимо,щовикористовуючивластивістьвизначн9 ,бу ків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дь-який

визначможзвестидотаконик,вглядуякомудовільниййогорядстовпець( )міститимекнебільшніж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одинне елементульовий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначника n гопорядкунаалгебраїчнідоповне

 

 

 

 

Теорема. Сумадобутківелементів

 

 

 

одногорядка

 

 

 

 

ння

відповіднихелементівіншого

 

 

 

рядкацьоговизначника

 

 

 

дорівнюєнулеві

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai1 Aj1

+ a

A

 

+ + ain Ajn = 0, 1 i, j n, i j .

 

 

 

 

 

 

Доведення.

Нехайзадановизначник

 

i 2

 

j 2

dKn гопорядку .Розглянемоіншийвизначник

 

 

 

 

n гопорядку

d1 ,уякомувідповіделеменіти

 

 

 

i го та

j го

рядківрівні.Згідноз ластивизначників4 відорівнюєстю

 

 

 

 

 

 

 

 

нулеві.Розкладемо

 

 

d1 заелементами

 

j го рядкаелементи( якогозбігаютьсяелементами

 

 

 

 

 

i го

рядка).

Прицьомузауважимо,щоалгебраїчнідоповненняелементів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j го

рядкавизначника

 

d1 такіж,як

алгебраїчнідопов

 

нення Aj1 , Aj 2 ,..., Ajn

елементів

 

j го рядкаувизначнику

d ,тобто

 

 

 

 

щойпотрібнобулодовести.

 

 

 

 

d1

= ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 +K + ain Ajn

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження.

Аналогічнетвердженняправильнейдлястовпціввизначника:

 

 

 

 

 

 

 

 

умадобутк

 

елементів

одного стовпця визначника n гопорядкунаалгебраїчнідоповненвідповіднихелементівшогоя

 

 

 

 

 

 

 

 

стовпця

цьоговизначникадорівнюєнулеві:

 

 

 

a1k A1s + a2k A2s + + ank Ans = 0, 1 k, s n, k s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значникиметричні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема6Трикутні. такососв

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Означення.

Визначник

n гопорядку,

 

n 2 ,називаєтьсятри, квсіутнелемещовизмначникати

 

 

 

 

 

 

 

 

на(підбо)головндіагоналрівнюнулеві. юють

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нап,триквизначникиутнілад,всіелементиякихпідголовноюдіагоналлю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнюютьнулеві,

 

обчислюютьсязаформулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

a13

L

 

 

0

a22

a23

 

dn :=

0

0

a33

L

 

L

 

 

L0

L0

L0

L

 

 

dn

 

стовпця:

Спра,розкладемовдіизначник

 

заелементамипершогоL

a1,n1

a1n

 

a2,n1

a2 n

n

a3,n1

a3n

= ai i .

L0

 

i =1

a

 

Lnn

 

 

 

 

 

 

a22

 

a23

L

a2 n

 

 

 

dn

 

 

1+1

0

 

a33

a3n

a11dn1.

= a11 (1)

=

 

L

L

Lnn

 

 

 

 

 

L0

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

L

a

 

 

 

Визначник dn1 євизначником (n 1) гопорядкуімаєтакужструктуру,щой

 

 

 

dn .Отже,

d

n

= a d

n1

= a a

(

1

1+1 d

= a a d

n2

.

 

11

 

11 22

)

n2 11 22

 

Міркуючианалогічноодержимо,що

15

Трикутнівизначники,всіелементиякихпідпобдічнагдоналрівнюнулюе ютьdn = a11a22 K an2,n2

 

an1,n1

an1,n

n

ai i .

 

 

= i =1

 

 

 

0

ann

 

 

 

 

 

ві,обчислюютьсяза

 

a11

a12

L

a1,n2

a1,n1

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a2,n2

a2,n1

0

 

n(n1)

n

 

 

 

 

формулою:

a31

a32

L

a3,n2

0

0

= (1)

 

ai ,ni 1. (1.22)

 

 

2

 

 

 

Ln1

L

L

L

L

L

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

L

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

((1пропонує.22)читачдовсаемостиві). стійно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Означення.

Визначник n порядкуназиваєтьсякососиметричнсиметричні,якщойогоелемент,

 

 

 

 

відносноголовноїдіагоналі

 

,відрізняютьсяодинодноголишезнаком,тобтоякщ

 

Знаведеногоозначенвипливає,щодлявсіхняомерів

 

 

 

діагональніелементикососв метричнзначнидорівнюютьнулеві.Отже,коа сгосизначникметричний

 

 

маєвигляд:

 

 

0

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a12

0

a23

 

 

d =

a13

a23

0

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

L1,n1

L2,n1

L3,n1

 

 

 

a1n

a2 n

a3n

Теорема.

Довільнийкосос значнмепорядкутрдорівнюєиногочнийнулеві.

 

 

Доведення.

Розглянемокососиметричн

ийвизначник

цьоговизначислоачника

 

1,отримаємовизначник,транспонованийдо

віндорівнює d .Врахувавшитепервластивістьзнайдемо5 ,що

 

 

 

принепарномузначенні

 

n ,тобто d = 0 .

 

 

ТеоремаЛапл.

са

Узагальнившитвердженпровиззклзанрачникадястовпцемдком( ),доведемо

теопроемувизначниказклдекільрядст( оа)впцями. иа

 

d

 

ТеоремаЛапласа( ).

Нехайувизначнику

порядку

Тодівизначник

d дорівнюєалгебраїчнійсумідобутківвсіхможливихмінорів

 

 

вибранихрядках,навідповідніїмалгебраїчнідоповнення.

ai j = −aj i (1 i, j n) .

i

виконуєтьсяумова

 

ai i = −ai i ,тобто

ai i = 0

L

a1,n1

a1n

 

 

 

 

 

 

a2,n1

a2 n

 

 

 

L

a3,n1

a3n

.

(1.23)

 

L

L0

aLn1,n

 

L

 

 

 

L

an1,n

0

 

 

 

L d

 

 

 

вигляду(1Помножуючи.23)кожнийрядок.

 

 

 

d ,тобтовнаслідоквластивості1,

 

 

(1)n d = d .Звідсивжевипливає,що

−=d d

n вибрано k рядківабо(

k стовпців),

1 k n .

k гопорядку,якім стяться

 

Доведення.

Нехайувизначнику

 

 

d

вибранорядкиз

номерами

 

i1 ,i2 ,...,ik ,причому

1 i1 < i2 <

< ik n .Внаслідок

теореми 1.11, добутокдовільногомінора

k гопо,розташованогоядку

 

цихрядках

,Kна відпйоамувідне

лгебраїчдоповнення

складаєтьсяздеякоїкількостічленіввизначника

 

 

 

 

 

 

 

 

d ,

взятихтимижзнаками,якимивонвходятьускладвизн.Тачкимчника

 

 

 

 

 

 

ином,теоремубудедоведено,

 

 

колимипокажемо,що ли

M перебігаєвсім нори

k гопо,розташованіядкувибранихрядка,томи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отримаємовсічленивизначника,

 

причому жодзнихнезустрін

 

чаєтьсядвічі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

 

 

 

 

 

 

a1α a2α

 

anα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

(1.24)

довічленвизначникаьий

d . Розглянемоокремодобуттих к

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

елементів із(1якіналежать.24),довибраних

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

рядківзномерами

i1 ,i2 ,K ,ik ,тобтодобуток

 

вигляду

 

ai1 ,αi1 ai2 ,αi2

aik ,αik .

 

 

 

(1.25)

Всі k множниківудобутку(1вибрано.25)з

 

 

 

k різнихстовпцівномерами

αi1

,αiL2 , ,αik

.Ціномеристовпців

 

повизнаністю

чаютьсячленом(1Якщопозначити.24)символом.

 

 

 

M

мінор

k

гопорядку,який

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

розміщуєтьсянаперетиністовпцівномерами

 

M

,адобуток

αi1

,αi2 , ,αik

тарядківзномерами

 

 

 

i1 ,i2 ,

 

,ik ,тодобут

ок

(1єодним.25)ізчленівмінора

 

сіх тих елементів з(1.24) , які не увійшли(1.25),

– членом

 

 

 

 

M ʹ .

K

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

відпйовідногому

доповмінораяльного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Такимчином

,

кожний членвизначника

d

входитьдобутокдеякого

,причомуповизначеногоністю

 

мінора k гопорядку

,розташованогоу

вибранихрядк

ах,тавідпйовідногому

доповняльного мінора,тобто

єдобутком певних

членівцихдвохмінорів.

 

 

Длятого,

щоботрима

ти взятий нами довільний член (1.24)

визначника d зтимзнаком,

з яким він входитьдо

визначника d ,залишаєтьсязамінитидоповняльний

мінор

алгебраїчдопов,щойдоводитьнтеоремуеннямим.

 

 

 

 

 

 

 

 

Утеоріївизнач

 

никівтатеоріїматрицьважливурольвідіграєтеопвизначникемаодобума.трицьку

 

n гопорядоріобуткувизначниківнює

 

Теорема.

Визначникдобуткудвохквадратнихматриць

 

 

 

 

цихматриць:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det ( A B) = det A det B.

Доведення.

Нехай

A

= (a )

,

B = (b )

,

C = A B = (c )

,

t, k 1, 2,..., n

.

 

 

 

 

 

tk

 

 

 

 

tk

 

 

 

 

 

tk

 

 

 

 

{

 

}

 

 

 

Розглянемодопоміжний

 

визначник

 

порядку 2n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

 

L

a1n

0

 

 

 

0

L

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

a2 n

0 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

L

a

0

 

 

 

0

L

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln1

Ln 2

 

L Lnn

L L L L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 0

 

L

0 b11

 

 

b12

L

b1n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

L

0 b21

 

 

b22

L

b2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L0

L0

 

L

b

 

 

b

L

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L1

Ln1

 

 

Ln 2

L Lnn

 

 

 

n

рядків:

Розкладемоцейвизаначник

 

 

 

допомогою

теореми Лапласа заелементамиперших

 

 

 

 

 

L

L

 

 

 

 

 

 

 

L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

 

a12

a1n

 

 

 

b11

b12

b1n

 

 

 

 

 

 

 

= (1)

n(n+1)

a21

 

 

a22

a2 n

 

 

b21

b22

b2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

=

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

 

b

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln1

 

 

Ln 2

L Lnn

 

 

 

Ln1

Ln 2

L Lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=Ldet A

det B.

 

L

 

 

 

 

 

(тутврах,щовано

n(n +1) парнечислодлядовільного

 

 

 

n

 

).

 

 

 

 

 

 

 

Перетворимо тепервизначник

 

 

(незмінюючизначевиз)так,щобняачникауйогоправому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

нижньомукуткузамістьелементівматриці

b11 ,b21 ,...,bn1

 

 

 

 

 

 

 

розміщувалисьнулі

 

. Наприклад,длятого,щв б

 

стовпчикуелементи

 

перетвнулі,виконуємоорилисянаступніперетворевизначнняика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

множимопершийстовпчику

 

 

на b11 ідодаємо

(n +1)–гостовпчика,

потім множимодругийстовпчикна

b21 ідодаємо

(n +1)–гостовпчикаітакдалі.

 

 

Тодів

s томурядку

отримаємоелемент

cs1 = as1b11 + as 2b21 + +

+ asnbn1 елементматриці

 

Виконуючиа

налогічні перетворенняL,якінезмінюютьвеличинизначника

 

 

стовпцяотримаємо, ,щоперетворевизначнабуваєвигляду:нийк

 

L

 

 

 

L

 

 

a11

a12

a1n

c11

c12

 

 

 

 

a21

a22

a2 n

c21

c22

 

 

L

L

 

 

Ln1

Ln 2

L Lnn

Ln1

Ln 2

L

 

=

a

a

L

a

c

c

L

 

1

0

0

0

0

 

 

0

1

L

0

0

0

L

 

 

L

L

 

 

L0

L0

L L1

L0

L0

L

 

 

 

 

L

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 s n) (n +1) –гостовпчик а

C = A B .

,надйого

n + 2,..., 2n

c1n c2 n

L

cnn .

0

0

L

0

Останвизначникрозкладемоій

а допомогою теореми Лапласа заелементамиостанніх

n стовпчиків:

17

 

 

c11

c12

L

c1n

 

 

 

 

= (− 1)

n

SM c21

c22

c2 n

(

1)

n+SM

det C,

 

(− =1)−

 

L

 

 

M

(

)

((

)

L

c

)

 

 

 

 

 

 

 

 

c

c

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln1

Ln 2

Lnn

 

 

 

 

 

 

де S

= 1+ 2 +...+ n +

 

n +1 +(n + 2)+...+ 2n = n(2n +1).

 

 

 

Отже,

n + SM = 2n(n +1)

парнечисло,тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= det C = det= ( A B)

det A det B ,

 

щойпотрібнобулодовести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оберненаматриця

 

 

 

 

Тема7 .Обернематиця.Рангматриці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

невиродженою,якщоїївизначни

 

 

 

 

Квадрматрицян зиваєтьсятна

 

 

 

 

квідміннийнуля.

Упротилежному

випадку такаматрицяназивається

 

 

виродженою.

 

A ,якщовиконуєтьсяумова

 

 

Матриця A1 називаєтьсяоберненоюдоматриці

 

 

A =A1 A1 A E ,де

 

 

 

 

 

 

 

1

0

L

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E =

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L0

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L0

L

L1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

одиничнаматриця.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Дляіснуваноберматриціненоїя

A1 доматриці A необхіднодосить,щобматриця

невиродженою.

 

Необхідність.

Нехайоберненаматриця

A1 існує,тоді

визначникадобуткудвохматрицьодержимо,що

Нехай det A ≠ 0 .Доведемо,що

det A det

Достатність.

 

де Ai j – алгебраїчнідоповненняелементів

ai j визнматрицічнка

A =A1 E .Застосувавшиправилознаходження

A1 = det E =1.Отже,

det A ≠ 0 .

 

 

 

 

 

 

A11

A21

L

An1

 

 

 

1

 

A22

An 2

 

 

 

1

A12

 

 

A

 

=

det A

 

A

L

A

 

,

 

 

 

 

A

L

 

 

 

 

 

 

L1n

L2n

 

 

 

 

 

 

 

L Lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

a

a

...

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

22

...

2 n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

...

a

 

Матриця

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

n1

n 2

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11

A21

An1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A12

 

A22

An 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

=

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

A

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1n

 

L2 n

L Lnn

 

 

 

 

 

 

 

називається

приєднаноюдляматриці

 

L

A

. Скориставшисьпопереднімитеоремами,

 

 

 

 

безпосередньознаходим,

A A

1

і

A

1

 

 

дорівнюютьматриці,якоївсіелементиголовноїдіагон

 

 

 

 

 

щод бутки

 

 

 

A матриць(1і(1.26).27)

 

 

 

E .

 

дорівнюютьоди,авсіедіагональніиціелементи

 

 

 

 

 

 

 

– нулеві.Отже,

A =A1

A1

A

 

Покажемо,що

 

 

 

 

A1

 

– єдинаоберненаматрицядоматриці

A .Нехай

A'

– щеоднаоберненамат

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A була

(1.26)

(1.27)

алі

риця.

1

1

E

1

(

'

)

(

1

)

'

'

'

A

= A

=A

 

A A =

 

A

A A=

E A

=A .

Обчисленоберненоїматрицізадопомогоюелементарнихя

 

 

 

 

 

перетворень

18

Знаходженняоберненоїматриці

A1

задопомогоюалгебраїчдоповформула( н(1приеньих.26))

 

n го

великомузначенні

 

 

n пов’язанегроміздкимиобчисленнями

– потрібнообчислитиодв значник

порядкута

n2

визначників

(n 1) гопорядку,щочастобуваєскладносить.Томувтакихвипадках

 

 

матрицю A1 обчислюютьзадопомогоюелементретвореньа.рнтрицьх

 

 

 

Означення.

Елемпентарнимиретвомат еннямииці

називаютакіперетьворення

:

1) множеннядовільнрядкаст( )матриціовпцягонавідмінненулячисло;

 

 

 

 

2) дододавання

 

ногорядкастовпця( )їїіншогорядкастовпця( ),помнадовільнеженогоненульве

 

 

число;

 

 

 

 

 

 

 

3) змінамісцямидовільнихдвохрядківстовпців( )матриці.

 

 

 

 

Теорема.

Кожнуневироджматрицюелемеперетвореннямиутарниїїрядківстовпців( ) ожнаи

 

 

 

перетворитиодини

 

чнуматрицю.

 

 

 

Теорема.

 

Якщодеякийланцюжокелементарних

перетворень тількирядківтільки(стовпців)

 

переводитьневирокваматрицюратнужену

 

A водиничнуматрицю

E ,тоцейжеланцюжок

перетвореньпереводи

 

 

тьодиничнуматрицю

E вматрицю A1 .

 

 

Напідставітеоремисформулюємо

правилообчислеоберненоїматрицізадопомогоюняелементарних

 

 

перетворень.

 

 

 

 

 

A n гопорядку,пот ібноямокутну

1. Длязнаходженняматриці,оберненоїдоквадратноїматриці

 

матрицю

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

1

 

0

 

 

11

L

1n

L L

L

 

 

Ln1

Lnn

 

( A | En ) =

 

L

 

 

L

 

 

 

a

 

a

0

 

1

 

розміру

n × 2n

задопомогоюелементарнихретворень

 

 

L

 

 

 

рядків

звестидовигляду

 

 

 

 

 

 

 

L

 

цьомуматриця

C будеоб дорненоюматриці

A :

A1 = C .

 

 

2. Длязнаходженняматриці

A1 ,оберненоїдоквадратноїматриці

 

L

 

 

прямокутнуматрицю

 

 

 

 

 

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

A

=

 

Ln1

L Lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En

 

1

L

0

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

L0

L

L1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(En | C ).Отримана при

n гопорядку A ,потрібно

розміру 2n × n задопомогоюелементарнихретворень

стовпців звестидовигляду

En

.Отриманапри

 

 

 

C

цьомуматриця

C будеоб дорненоюматриці

A .

 

 

 

n 4 .

 

 

 

Цимметдокцільнодристуватисямвипадку,колирозматриціірність

 

 

 

 

Поняттялінійноїзалежнрядківстовпців( )матрицісті.Рангматриці

Нехай A прямокутнаматрицярозмірності

 

s × n :

 

 

 

 

a11

a12 ...

 

 

A =

a

a ...

 

 

21

22

 

 

 

... ... ...

 

 

 

 

as 2 ...

Коженрядокматриці

A можнарозумітиякматррозмірностіцю

as1

 

 

такихматриць:

A1 = (a11 a12 ... a1n ),

A2 = (a21 a22 ... a2n ), …,

додтмножитиаватиїхнач .Урслацюхувавшивластивість,наведемоозначенлінійзаленоя

 

 

 

матриці A .

 

 

 

 

a1n a2 n .

...

asn

1× n .Отже,матриці

A відповідає s

As = (as1 as 2 ... asn ). Вказаніматриціможна

жнихрядків

Означення.

Рядкиматриці

A називають лінійнозалежн

ими,якщоіснуютьчисла

α1 ,α2 ,...,αs , невсі

рівнінулю,такі,щосправджуєтьсярівність

 

α1 A1 +α2 A2 +... +αs As

= O,

 

 

 

 

(1.28)

19

де O = (0, 0,..., 0) нульоваматрицярозмірності

 

 

 

1× n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо,що(1еквівален.28)рівностнеям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α a

+α a

+... +α

a

= 0,

j 1,..., n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 j

 

2 2 j

 

 

 

 

s sj

 

 

{

}

 

 

 

Рядкиматриці

 

 

A ,якінеєлінійзалежними, оазивают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ьсялінійноезалежн.Інакше,рядкими

 

 

A1 , A2 ,..., As називаютьсялі ійноезалежними,якщорівність(1можлива.28)лишеувипадку,коливсіч сла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1 ,α2 ,...,αs дорівнюютьнулеві.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема.

Длятого,щобрядки

 

 

A1 , A2 ,..., As

були лінійнозал,необхідножнідосить,щободинізцих

 

 

 

 

рядківбувлінійноюкомбінаціншихрядк. ієюв

 

 

 

 

 

 

 

A1 , A2 ,..., As

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.Необхідність.

 

Нехайрядки

 

лінійнозалежні,тобтосправджуєтьсярівність

 

 

(1у.якій28),хочабоднезчисел

 

 

 

 

 

α1 ,α2 ,...,αs відмінненуля.

 

 

 

Припустимо,що

α1

0.Тоді,поділивши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

α

3

 

 

α

s

 

 

 

 

 

 

(1на.28)

α

1

таввівшипозначення

λ = − =2−, λ= −

 

 

,..., λ

 

 

,запи -шемо(1увигляді.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

α1

3

 

α1

s

 

α1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

= λ2 A2 + λ3 A3 ... +αs As .

(1.29)

Це іозначає,щорядок

 

 

 

A1

єлінійноюкомбінацієюрядків

 

 

 

 

 

 

A2 ,..., As .

 

 

 

 

 

Достатність.

Нехайодинізрядків(априклад

 

 

 

 

 

 

 

A1 )єлінійноюкомбінаціншихрядків.Тодією

 

 

 

знайдутьсячисла

 

 

 

λ2 , λ3 ,..., λs

такі,щосправджуєтьсярівність(1Алецю.29)рівністьможназаписати. у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) A1 + λ2 A2 + λ3 A3...+αs As

= O.

 

 

 

 

Зостанньогоспіввипливаєідношлінійназалрядківенняжність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 , A2 ,..., As ,оскількисередчисел

(1), λ2 , λ3 ,..., λs

одне відмінненуля..Теоремадоведена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зазначимо,щоувсіхвищееденихміркуванняхте«ядкимін»можназамінититерміномстовпці« »,

 

A якматрицюрозмірності

 

 

 

 

s ×1.

 

 

 

 

розуміючиприцьостовпецьматриці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Означення.

Рангомматриці

A називаєтмаксимальезалежнихкілїїлікістьсянійстовпців.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виберемоуматриці

 

 

A

k

рядківта

k

стовпців,де

 

k min{s, n}.Елементиматриці

A ,які

розміщуютьсянаперетиніцихрядктастовпців,утворюютьквадратнуматрицю

 

 

 

 

 

A . Насцікавитьнайвищийпорядоквідмінногонуля

 

k гопорядку,визначник

якоїназивають

 

мінором

k гопорядкум

 

атриці

 

 

 

 

мінораматриці

 

 

A . Якщовсім порядкуни

 

 

 

k

матриці A дорівнюютьнулеві,то,застосувавшите

 

орему

Лапласадляобчисленнямінорівбільшвисп цієїрядківкихматриціотримаємо,щовсівонитакожбудуть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнюватинулеві.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тео.п(рангматриціемао).

 

 

Найвищийпорядоквідмінногонулямінораматдориціангуівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цієїматриці.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

Нехай

найвищийпорядоквідмінногонулямінораматриціDАдорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r.

Переміщуючимісцярядкстовпціматриці,досятого,щцейаємомінорбзай

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ме

місцеулівому

верхньомукуткуматриціА.Очевидно,щоздійсненіпереміщеннязберігаютьрангматриці.Матри

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

цяАнабуде

вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

 

 

a1r

 

a1, r +1

 

 

a1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

a

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

Lr1

 

L

 

Lr r

 

Lr , r +1

 

 

Lr n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ar +1,1

 

ar +1, r

 

ar +1, r +1

 

L

 

ar +1, n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ls1

 

Ls r

 

Ls , r +1

 

 

Ls n

 

 

 

Оскільки D 0,топерші

r стовпцівматриці

 

 

АLлінійноезалеякщо( бмівказанимижністовпцями L

 

 

 

 

існувала

лінійназалежність,то

 

 

внаслідоквідповіднихвластивостейвизначника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виконуваласьбрі

вність D=0).

Доведемо,щок жний

 

 

l –ийстовпчматрикці

 

 

 

 

A , r <≤ l n ,єлінійноюкомбінацієюперших

 

r стовпців.

Нехай i :

1 i s .Будуємовизначник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]