Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konspect_HE_1

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

10.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Властивість 1. Визначникнезмінюєтьсяпритранспонуванні.

Доведення. Розглявизначник(1емо.9) ітранспньогдовизначнико(1ванийКожен.10). член визначника( 1.9)маєвигляд:

a1α a2α

anα

(1.11)

утворюють перестанізсимволіввку

1, 2,..., n .

де

другі

індекси

добутку(1 и

.11)іу

Алевсімножни

транспонованому визначнику(

1.10)залишаються

врізнихрядкахрізнихстовпцях,тобто(1

.11)є

також

членом і транспонованоговизн.Н чнивпаки

,кожчлвизначникаен(1єтакож.10)ічленомвизначника

(1Отже.9),визначник.

та транспньогдовизначнико(1ваний.10)

складаютьсязоднихітихжечленів.

Знакчлена(1.11

)визнпарнічаєтьсяпідстюановки

(1.12)

α2

α1

αn

У визначнику(

1.10)першііндексиелементіввказуютьна

номерстовп

другі

– наномеррядка,тому

чика,

члену (1.11) увизначнику(

1.10)відпідстановкаовідає

...

α1

α2

αn

(1.13)

...

Підстановки(

1.12)

та (1.13),взагалікажучи,

різні,алемаютьоднп ,рністькову

томучлен

(1.11) у

визначники (1та.(19).10)

будевхзодитинаковимзнаком.

Отже,визначники(

1.9) і (1.10)єсумами

однаковихчленів,взятиходнаковимизнаками,

тобто рівніміжсобою.

Іздоведеноїластивостівипливає,щобудь

-якетвердженняп ядкиовизначника

є вірнимдляйого

стовпців і навпаки.

Отже,наступнівластивост

івизначможнаформуикаідоводитилишедляюватийого

рядківабо(лишедлястовпців).

Властивість2.

Якщовсіелементидеякогорядкавизначникадорівнюютьнулеві,тоцейвизначник

дорівнюєнулеві.

i − тогорядкавизначникадорівнюютьнулеві.Згідоз ,аченням

Доведення.

Нехайвсіелементи

кожчлвизначенміститьякнодиникаожникелементз

i − тогорядка.Отже,вцьомувипадкувсічлени

визначникадорівнюютьнулеві.

Властивість3.

Приперестановцідвох

рядківвизначниказнаквизначниказмі проюєт. ьсяилежний

Доведення.

j -тийрядк

и, (1 ≤ i ≠ j ≤ n),авсі

Нехайувизначнику(1.9

)переставл еномісцями

i -тийта

інші рядки

залишаютьсянамісці.Отриму

ємовизначник

(1.14):

a11

a12

a1n

( i − тийрядок)

(1.14)

Lj1

Lj 2

Ljn

( j − тийрядок)

Li1

Li 2

Lin

Якщо(

1.11) – членвизначника(

1.9),товсійогомножники

і увизначнику(1

.14)

Ln1

Ln 2

Lnn

залишаються,

очевидно,

врізнихрядкахрізнихстовпцях.

Такимчином

,визначники(

1.9)і (1

.14)

складаються зодних

ітихжечленів.

Членові(

1.11)увизначнику(1

.14)відпідстановкаовідає

(1.15)

α2

αi

α j

α1

αn

Підстановка(1

.15)отримує

ться з( 1.12)здопомогоюоднієїтранспозиціїуверхньомурядку,тобтомає

протилежнупарність.

Звідсивипливає,що

всічленивизначника(

1.9)

входять

увизначник

(1.14)з

протилежнзнаками,тобтовизначники( ми

1.9)та(1 .14)відрізняються

одинвідлишеного

знаком.

Властивість4.

Визначноднакові,щоміститьдварядки,дорівнюєнулеві.

d інехайвідповіделемейогоніти

i − гота

j го

Доведення.

Нехай заданий визначникдорівнюєчислу

рядків рівніміжсобою.

Післяперестановкицихдвохрядківотримуємоновийвизначник,якийвнаслідок

властивостідорівнює3,

−d .Але ,оскільки,

переставляютьсяоднаковірядки

,тонасправді

визначник не

змінюється,тобто

d =− d ,звідки

d = 0 .

Властивість5.

Якщовсіелементидеякрядкапогомножитинадеякечисло

k ,тоісамвизначник

помнаожиться k .

i − горядка.Кожчлевизначникамістить

Доведення.

Нехайна

помноженовсіелементи

рівно

одинелементзцього

i − горядка,тому

кожен член має множник k .Отже,весь

визначпомножик

ено на k .

Властивість 5 формулюють ще йтак:

спільниймножник

,щоміститьсяувсіхелементах

одного рядка,

можзнаквизанестивизначника.

Властивість6.

Визначн,щоміститьдвапропорцкрядки,дорнулевін.й юєі

j − го

Доведення.

Нелементхай

i − горядкавизначника

відрізняютьсявідповіднихелементів

рядка (i ≠ j )однимітимжемножником

k .Винцейспільнийсемомнз жник

i − горядка

за знак

визначника.Отр маємодвомаодчнакрядик,ок,вийаминасліимивластивостідо4, рівнюєк

нулеві.

i − горядкавизначника

n − гопорядкузображеновигляді

Властивість7.

Якщовсіелементи

суми

двох оданків:

ai j

= bi j + ci j ,

j = 1,K , n ,

товизначникдорівнюєсуміохизначни,уякихвсіряд,кріміви

i − го,

—такі ж,які

заданому

визначнику,а i − ийрядокв

першому доданку складаєтьсязелементів

bi j , авдругому

– ізелементів

ci j .

Доведення.

Кожен член заданоговизначможназаписатика

увигляді :

a1α

a2α

aiα

anα

= a1α

a2α

(biα

+ ciα

)

La1α1 aL2α2

biαi anαn

La1α1 a2α2

ciαLi

a12

bi1L ci1

bi 2 L ci 2

bin L cin

Отже,

Ln1

Ln 2

Lnn

L11

Ki1

Ki 2

K Kin

Ki1

Ki 2

Kn1

Kn 2

K Knn

Kn1

Kn 2

Зазначимо,щовластивістьпоширюється7 навипадок,коликожелемент

сумоюнедвох,а

m доданків (m ≥ 3).

anαn = anαn .

a1n

cin .

ann

i − горядка визначникає

Означення. i − тийрядоквизначникає лінійноюкомбінацією йогорядківзномерами

j , j ,..., j

1 ≤ l ≤ n, 1 ≤ j<

j < ...< j< n

,якоженщоелементцьогорядкаєлінійноюкомбінацією

1 2

(

)

відпоелеменрядківвказанихідних,тобто

ais

= k1aj

s + k2aj s + ... + kl aj

s ,≤1

i≤, s

l ,

Властивість8.

Якщоодинізрядківвизначникаєлінійною

комбінацієюінших

його рядків,товизначник

дорівнюєнулеві.

i -ийрядок

Доведення.

Нехай,наприклад,

визначника

єлінійноюкомбінацією

іншихрядків,

1 ≤ s ≤ n −1. Тодікожен

елемент i − горядкаєсумою

доданків,

тому,використовуючи

властивість 7,

заданий визначник є сумою визначників,

у кожномузяких

i − ийрядокпропдорційний

одногоз

інших

рядків.Згідно

властивістю 6,у

сі такі визначникидорівнюютьнулеві

.Отже,

заданийвизначник

також

дорівнюєнулеві.

Властивість9.

Визначникнезмін

иться,якщодоелементіводнзйогорядківдода

ти відповідні

елементиіншогорядка,помнонаоднейтжчисло.ені

i − горядкавизначника

d додамо

j − ийрядок,

i ≠ j,помноженийначисло

k .У

Доведення.

До

новомувизначнику

кожен елемент i − горядка

маєвигляд

+ ka

{

}

, s

1, 2,

, n . Завластивістюцей7

визначник є сумдвохизначю,одиізякихзбігаєтьсяників

d ,а

інший

міститьдвапропорційнірядки,

тобто, завластиввін6дорістювнює

нулеві.

Наслідок.

Визначникнезміниться,якщододеякого

йогорядкадодатилінійнукомбінаціюінших

рядків.

Тема5Мінорита. алгебраїчнідоповнення.ТеоремаЛапл са

Обчвислзначбезпосередньояиків

заозначеннямєдоситьскладним,оскількипотрібно

виписувативсі

членів,визнач

атиїхзнакиіт.д.Існуютьпростішісп бчисленсобивизначників,котрія

базуютьсянатому,щовизначник

n − гопорядкуможнавиразитичерезвизначни,порядкиякихменшініж

n .

порядку n .Нехай k − натурачисло,якезадовьнеумольняєву

1 ≤ k ≤ n −1.

Розглявизначникемо

Увизначнику

виберемо k

рядківта

k стовпців.Елементи,щостоятьнаперетиніцихрядківсто,

пців

утворюютьматрицюпорядку

k .Визнцієїманазиваєтьсячнтр цік

мінором k − гопорядку

визначника d .

Увизначнику

d n − гопорядкувізьмемомінор

M k − гопорядку.Виктірядкеітістовпціл,наимо

перетиніяких

знаходиться цеймінор.Залиши

тьсямінор

M ʹ

порядку n − k , який називається доповняльним

мінором длямінора

M . Навпаки,

якщо викреслити тірядкиістовпці,якихрозташованіелементимінора

M ʹ ,тозалишиться,очевидно,мінор

M .О тже, мовайдепро

парувзаємнодоповмівизначникаорівяльних

Якщожмінор

k − гопорядку

M розташврядкахнованиймерами

i1 , i2

,ik

тавстовпцяхз

номерами j1 ,

j2 ,

, jk ,то алгебраїчнимдоповненням

мінора M назвемойогодопмівноряльний

M ʹ ,

взятийізнакомплюсабомінус,взалежнвідтог,парначиості

непарна суманомерів

усіхрядків та стовпців,

у якихрозташмінорваний K

M ,тобтосума

SM = i1 + i2 + + ik + j1 + j2 + + jk .

число

Отже,алгебраїчдоповдлямінораеннямим

M є

AM = (−1)

M ʹ.

Теорема. Добутокдовільногомінора

k − гопорядкунайогоалгебраїчне

доповнення

визначнику

n − гопорядку (1 ≤ k ≤ n −1) — цеалгебрсум,доданкияа,коїчотримуютьсяїріпісля

множеннячленівмінора

M навз ятіізнаком

(−1)SM членидоповміняльногоора

M ʹ ,єчленамивизначника

d ,причомуїхзнакивційсумізбігаютьсятимизнакаякими, вонвходятьувизначник.

M розташуліверхомувакнткуьомуий

Доведення.

Доведенняпочнемоз

тоговипадку,колимінор

визначника:

a11

a1k

a1,k +1

a1n

Kk1

Kkk

Kk ,k +1

K Kkn

d =

ak +1,1

ak +1,k

ak +1,k +1

ak +1,n

M ʹ

Kn1

K Knk

Kn,k +1

Knn

Тодімінор

визначника.

Прицьомуч

исло

єпарним:

займе правий нижній кут

=1+ 2

+ k +1+ 2

AM = M

+ k

(

)

Отже,алгебраїчдоповміненнямимора

M єсаммінор

M ʹ :

ʹ.

Розгляндовічлеьнмоий

a1α1 a2α2 K akαk

мінора M ; вінмаєз

нак (−1) l ,де

l – кількістьінверсій

у підстановці

α1

α2

αk

Довільнийчлен

ak +1,βk +1 ak +2,βk +2 K anβn

мінора M ʹ

маєвцьомумінорізнак

(−1) lʹ ,де

lʹ – кількістьінвпідстановціерсій

AM у

(1.16)

(1.17)

	k +1	k + 2	K	n
		βk +2		.
	βk +1	βk +2		βn
Перемножуючи члени(	1.16) та (1.17),отримаєдобутокелементів		K

a1α

a2α

akα

ak +1,β

ak +2,β

k +2

anβ

k +1

які розташованірізнихрядках

ихстовпцях

изначника.Отже, (1.18

визначника

M M ʹ

)єчленомK

члена(1.18

)вдобутку

збігаєтьсядобутком

знаків

членів(

1.16)

та

(−1) l (−1) lʹ = ( 1−) l +lʹ . Такий жезнакмаєчлен(

1.18) у визначнику d , оскввизнількипарністючається

підстановки

(1.18)

d .Знак

(1.17), тобто

1 2	K	k k +1 k + 2	K	n	,

α1 α2		αk βk +1 βk +2		βn
	K		K

склазіндексівцьогоеноїчлена.Оскількиномердовільногостовпця
стовпця	M ʹ ,точисл	а α1 ,α2 ,...,αk неутворюютьінверзчисламиій
частковийвипадоктеореми.
Розглянемозагальнийвипадок			,тобтоприпустимо	що мінор
i1 ,i2 ,K ,ik	та довільних стовпцяхзномерами		j1 , j2 ,K ,	jk ,причому

Mмезаншийомердовільного

βk +1 , βk +2 ,..., βn . Цимдоведено

M розташованийу

рядкахзномерами

1 ≤ i1 <i2 < < ik ≤ n ,

1 ≤ j1 < j2 < < jk ≤ n.

Переставимо послірятадкиовно

мінор

приць омудоповмі.норяльний

стовпцітак,щоб

перемістити

K M у лівийверхнійкут,незмінив

ши

Длятого,щрядокб

i1 переміститинапершемісце,потрібновиконати

i1 −1 перестановкусусідніх

рядків.Длятого,щрядок

i2 переставитинадругемісце,н обхідно

виконати

i2 − 2 перестановкисусідніх

ряіт.д.ків

Отже,длятого,щмінорб

M розташувавсяперших

k рядках,потрібновиконати

(

i −1 +

i − 2+ +

i− k=

)

( 2

)

( k

)

i + i + + i

)

− (1 +2 + +k )

(

транспозиційрядків.Теперпосл

ідовнопереставимостовпцівизначникаK

( j1 + j2 +

+ jk )− (1+ 2+ + k )

разів.Отримаємоновийвизначник

, у якомумінор

займелівийверхнійкут.Мінор

правий

займе K

нижнійкут,бопереставляли

сь лишесусірядніки

та стовпці.Длятакрозташувгомінорання

M доведено,

що кожчлдобуткуен

M M ʹ

є членом визначника d ʹ . Алевизначник

d ʹ отриманоз

d шляхом

i +i + +i − 1+ 2+ + k +

(

)

(

)

+( j1

+ j2 K

+ jk )− (1 +2K

+k ) =

= SMK− 2(1+ 2+ + kK)

транспозиційрядківсто,томучленипців

визначника

ʹ відрізняютьсявідповідчленіввизначникаих

d лишезнаком

(−1)SM −2(1+2+K +k ) = ( 1)SM ,

Тобто d = (−1)SM d ʹ.Але

(−1)SM M ʹ =AM

алгебраїчнедоповненнямінора

M увизначнику

d .Отже,член

добутку M A єтакожчленомвизначника

d .Теоремадоведена.

n − гопорядкудообчисленвизначниківя

Теорема1до.11звобчестиоляєвизначникасленя

(n −1) −гопорядку.

Означення.

Якщо

ai j –

елемевизначникат

d ,томіноромцьогоеленазиваютьентамінор

(n −1) −гопорядку,щоотримуєтьсяз

d післявикреслювання

i − горядката

j − гостовпця.Алгебраїчним

доповненнямеле

мента ai j

називаєтьсячисло:

Ai j = (−1) i+ j Mi

j .

Добуток ai j

Ai j єсумоюдекічленіввизначникаькох

d (взятихтимижзнаками,якимивонвходять

в d )Кількість. ци

хчленівдорк лькостівнюєчленів

M i

j ,тобто

(n −1)!.

Вибираємодовільний

i − ийрядоквизначника

d ірозглянемодобутки:

ai1 Ai1 , ai 2 Ai 2 ,L , ain

Ain .

(1.19)

Жодчленвизначника

d невходить

до складу двохрізнихчисел(

1.19),бо,наприклад,всічлениз

ai1 Ai1 містятьз

i − горядкаелемент

ai1 ,атомувідрізняютьсячленів

ai 2 Ai 2 іт.д.З

іншого боку, таких

членів,щовхоусідобуткиять(

1.19), є

(n −1)!n = n!,тобтов(

1.19)містятьсявсічленивизначника

d .

Отже,доведенотвердження

провизначниказклад

d за i − тимрядком.

Теорема. Визначник d дорівнюєсумідобутківусіхелементівдовільногойогорядканаїхніалгебраїчні

доповнення:

d = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +

+ ain Ain ,≤ 1≤ i

(1.20)

Аналогічнийрозкладмотриматижнадовільнимстовпц

визначника

ем

d = a1 j A1 j + a2 j A2 j

+K + anj Anj ,≤1

≤j

(1.21)

Розкл(1та.(120)дамизручно.21)користуватися,колидеякомурядкучи(стовпці)визначникавсі

елеме,крімодного,дорівнюютьтинулеві.Тодвизначдорівнюєдобуткунеик

n − гопорязводитьобчисленнякуодного

нульовелементанайого

алгебраїчнедоповнення,тобтообчисленвизначникая

визначника (n −1) −гопорядку.Зазначимо,щовикористовуючивластивістьвизначн9 ,бу ків

дь-який

визначможзвестидотаконик,вглядуякомудовільниййогорядстовпець( )міститимекнебільшніж

одинне елементульовий.

визначника n − гопорядкунаалгебраїчнідоповне

Теорема. Сумадобутківелементів

одногорядка

ння

відповіднихелементівіншого

рядкацьоговизначника

дорівнюєнулеві

ai1 Aj1

+ a

+ + ain Ajn = 0, 1 ≤i, j ≤n, i ≠j .

Доведення.

Нехайзадановизначник

i 2

j 2

dKn − гопорядку .Розглянемоіншийвизначник

n − гопорядку

d1 ,уякомувідповіделеменіти

i − го та

j − го

рядківрівні.Згідноз ластивизначників4 відорівнюєстю

нулеві.Розкладемо

d1 заелементами

j − го рядкаелементи( якогозбігаютьсяелементами

i − го

рядка).

Прицьомузауважимо,щоалгебраїчнідоповненняелементів

j − го

рядкавизначника

d1 такіж,як

алгебраїчнідопов

нення Aj1 , Aj 2 ,..., Ajn

елементів

j − го рядкаувизначнику

d ,тобто

щойпотрібнобулодовести.

= ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 +K + ain Ajn

= 0,

Зауваження.

Аналогічнетвердженняправильнейдлястовпціввизначника:

умадобутк

елементів

одного стовпця визначника n − гопорядкунаалгебраїчнідоповненвідповіднихелементівшогоя

стовпця

цьоговизначникадорівнюєнулеві:

a1k A1s + a2k A2s + + ank Ans = 0, 1 ≤k, s ≤n, k ≠s.

значникиметричні

Тема6Трикутні. такососв

Означення.

Визначник

n − гопорядку,

n ≥ 2 ,називаєтьсятри, квсіутнелемещовизмначникати

на(підбо)головндіагоналрівнюнулеві. юють

Нап,триквизначникиутнілад,всіелементиякихпідголовноюдіагоналлю

дорівнюютьнулеві,

обчислюютьсязаформулою:

		a11	a12	a13	L
		0	a22	a23	L
	dn :=	0	0	a33	L
	dn :=	0	0	a33	L
		L0	L0	L0	L
		dn		стовпця:
Спра,розкладемовдіизначник		dn	заелементамипершогоL

a1,n−1	a1n
a2,n−1	a2 n	n
a3,n−1	a3n	= ∏ai i .
L0		i =1
	a
	Lnn

a22

a23

a2 n

1+1

a33

a3n

a11dn−1.

= a11 (−1)

Lnn

Визначник dn−1 євизначником (n −1) −гопорядкуімаєтакужструктуру,щой

dn .Отже,

= a d

n−1

= a a

(

−1

1+1 d

= a a d

n−2

11 22

)

n−2 11 22

Міркуючианалогічноодержимо,що

Трикутнівизначники,всіелементиякихпідпобдічнагдоналрівнюнулюе ютьdn = a11a22 K an−2,n−2

an−1,n−1

an−1,n

ai i .

= ∏i =1

ann

ві,обчислюютьсяза

a11

a12

a1,n−2

a1,n−1

a1n

a21

a22

a2,n−2

a2,n−1

n(n−1)

формулою:

a31

a32

a3,n−2

= (−1)

∏ai ,n−i 1. (1.22)

Ln1

i =1

((1пропонує.22)читачдовсаемостиві). стійно

Означення.

Визначник n − порядкуназиваєтьсякососиметричнсиметричні,якщойогоелемент,

відносноголовноїдіагоналі		,відрізняютьсяодинодноголишезнаком,тобтоякщ
Знаведеногоозначенвипливає,щодлявсіхняомерів
діагональніелементикососв метричнзначнидорівнюютьнулеві.Отже,коа сгосизначникметричний
маєвигляд:			0	a12	a13


			−a12	0	a23
		d =	−a13	−a23	0
		d =
			−a	−a	−a
			L1,n−1	L2,n−1	L3,n−1
			−a1n	−a2 n	−a3n
Теорема.	Довільнийкосос значнмепорядкутрдорівнюєиногочнийнулеві.
Доведення.		Розглянемокососиметричн		ийвизначник
цьоговизначислоачника		−1,отримаємовизначник,транспонованийдо
віндорівнює d .Врахувавшитепервластивістьзнайдемо5 ,що
принепарномузначенні		n ,тобто d = 0 .
ТеоремаЛапл.	са	Узагальнившитвердженпровиззклзанрачникадястовпцемдком( ),доведемо
теопроемувизначниказклдекільрядст( оа)впцями. иа				d
ТеоремаЛапласа( ).		Нехайувизначнику		d	порядку
Тодівизначник	d дорівнюєалгебраїчнійсумідобутківвсіхможливихмінорів

вибранихрядках,навідповідніїмалгебраїчнідоповнення.

ai j = −aj i (1 ≤ i, j ≤ n) .

i	виконуєтьсяумова			ai i = −ai i ,тобто	ai i = 0 –
L	a1,n−1	a1n
	a1,n−1	a1n
	a2,n−1	a2 n
L	a3,n−1	a3n	.	(1.23)
L	L0	aLn−1,n	.	(1.23)
L	L0	aLn−1,n
L	−an−1,n	0
L d
L d	вигляду(1Помножуючи.23)кожнийрядок.
		d ,тобтовнаслідоквластивості1,
	(−1)n d = d .Звідсивжевипливає,що				−=d d

n вибрано k рядківабо(	k стовпців),	1 ≤ k ≤ n .
k − гопорядку,якім стяться

Доведення.

Нехайувизначнику

вибранорядкиз

номерами

i1 ,i2 ,...,ik ,причому

1 ≤ i1 < i2 <

< ik ≤ n .Внаслідок

теореми 1.11, добутокдовільногомінора

k − гопо,розташованогоядку

цихрядках

,Kна відпйоамувідне

лгебраїчдоповнення

складаєтьсяздеякоїкількостічленіввизначника

d ,

взятихтимижзнаками,якимивонвходятьускладвизн.Тачкимчника

ином,теоремубудедоведено,

колимипокажемо,що ли

M перебігаєвсім нори

k − гопо,розташованіядкувибранихрядка,томи

отримаємовсічленивизначника,

причому жодзнихнезустрін

чаєтьсядвічі.

Нехай

a1α a2α

anα

−

(1.24)

довічленвизначникаьий

d . Розглянемоокремодобуттих к

елементів із(1якіналежать.24),довибраних

рядківзномерами

i1 ,i2 ,K ,ik ,тобтодобуток

вигляду

ai1 ,αi1 ai2 ,αi2

aik ,αik .

(1.25)

Всі k множниківудобутку(1вибрано.25)з

k різнихстовпцівномерами

αi1

,αiL2 , ,αik

.Ціномеристовпців

повизнаністю

чаютьсячленом(1Якщопозначити.24)символом.

мінор

−

гопорядку,який

розміщуєтьсянаперетиністовпцівномерами

,адобуток

αi1

,αi2 , ,αik

тарядківзномерами

i1 ,i2 ,

,ik ,тодобут

ок

(1єодним.25)ізчленівмінора

сіх тих елементів з(1.24) , які не увійшли(1.25),

– членом

M ʹ .

відпйовідногому

доповмінораяльного

Такимчином	,	кожний членвизначника			d	входитьдобутокдеякого		,причомуповизначеногоністю
мінора k − гопорядку		,розташованогоу		вибранихрядк			ах,тавідпйовідногому	доповняльного мінора,тобто
єдобутком певних		членівцихдвохмінорів.				Длятого,	щоботрима	ти взятий нами довільний член (1.24)
визначника d зтимзнаком,			з яким він входитьдо			визначника d ,залишаєтьсязамінитидоповняльний			мінор
алгебраїчдопов,щойдоводитьнтеоремуеннямим.
Утеоріївизнач		никівтатеоріїматрицьважливурольвідіграєтеопвизначникемаодобума.трицьку					n − гопорядоріобуткувизначниківнює
Теорема.	Визначникдобуткудвохквадратнихматриць						n − гопорядоріобуткувизначниківнює
цихматриць:

det ( A B) = det A det B.

Доведення.

Нехай

= (a )

B = (b )

C = A B = (c )

t, k 1, 2,..., n

{

}

Розглянемодопоміжний

визначник

порядку 2n :

a11

a12

a1n

a21

a22

a2 n

0 0

Ln1

Ln 2

L Lnn

L L L L

−1 0

0 b11

b12

b1n

0 −1

0 b21

b22

b2 n

−

L L1

Ln1

Ln 2

L Lnn

рядків:

Розкладемоцейвизаначник

допомогою

теореми Лапласа заелементамиперших

a11

a12

a1n

b11

b12

b1n

= (− 1)

n(n+1)

a21

a22

a2 n

b21

b22

b2 n

Ln1

Ln 2

L Lnn

Ln1

Ln 2

L Lnn

=Ldet A

det B.

(тутврах,щовано

n(n +1) − парнечислодлядовільного

Перетворимо тепервизначник

(незмінюючизначевиз)так,щобняачникауйогоправому

•

n +1

нижньомукуткузамістьелементівматриці

b11 ,b21 ,...,bn1

розміщувалисьнулі

. Наприклад,длятого,щв б

стовпчикуелементи

перетвнулі,виконуємоорилисянаступніперетворевизначнняика

множимопершийстовпчику

на b11 ідодаємо

(n +1)–гостовпчика,

потім множимодругийстовпчикна

b21 ідодаємо	(n +1)–гостовпчикаітакдалі.				Тодів	s − томурядку
отримаємоелемент	cs1 = as1b11 + as 2b21 + +		+ asnbn1 − елементматриці
Виконуючиа	налогічні перетворенняL,якінезмінюютьвеличинизначника
стовпцяотримаємо, ,щоперетворевизначнабуваєвигляду:нийк				L				L
		a11	a12		a1n	c11	c12
		a11	a12		a1n	c11	c12
		a21	a22		a2 n	c21	c22
		a21	a22	L	a2 n	c21	c22	L
		Ln1	Ln 2	L Lnn		Ln1	Ln 2	L
	=	a	a	L	a	c	c	L
	=	−1	0	L	0	0	0	L
		0	−1	L	0	0	0	L
		0	−1	L	0	0	0	L
		L0	L0	L L1		L0	L0	L
				L	−			L
					−

(1 ≤ s ≤ n) (n +1) –гостовпчик а

C = A B .

,надйого

n + 2,..., 2n

c1n c2 n

cnn .

Останвизначникрозкладемоій

а допомогою теореми Лапласа заелементамиостанніх

n стовпчиків:

		c11	c12	L	c1n
= (− 1)	n	SM c21	c22	L	c2 n	(	1)	n+SM	det C,
= (− 1)		(− =1)−		L		(	1)		det C,

(

)

((

)

Ln1

Ln 2

Lnn

де S

= 1+ 2 +...+ n +

n +1 +(n + 2)+...+ 2n = n(2n +1).

Отже,

n + SM = 2n(n +1)

парнечисло,тобто

= det C = det= ( A B)

det A det B ,

щойпотрібнобулодовести.

Оберненаматриця

Тема7 .Обернематиця.Рангматриці

невиродженою,якщоїївизначни

Квадрматрицян зиваєтьсятна

квідміннийнуля.

Упротилежному

випадку такаматрицяназивається

виродженою.

A ,якщовиконуєтьсяумова

Матриця A−1 називаєтьсяоберненоюдоматриці

A =A−1 A−1 A E ,де

E =

−

одиничнаматриця.

Теорема. Дляіснуваноберматриціненоїя	A−1 доматриці A необхіднодосить,щобматриця
невиродженою.

Необхідність.	Нехайоберненаматриця	A−1 існує,тоді
визначникадобуткудвохматрицьодержимо,що	Нехай det A ≠ 0 .Доведемо,що	det A det
Достатність.	Нехай det A ≠ 0 .Доведемо,що

де Ai j – алгебраїчнідоповненняелементів

ai j визнматрицічнка

A =A−1 E .Застосувавшиправилознаходження

A−1 = det E =1.Отже,						det A ≠ 0 .
				A11	A21	L	An1
		1			A22		An 2
	−1	1		A12	A22		An 2
A		=	det A		A	L	A	,
				A	A	L	A
				L1n	L2n	L
				L1n	L2n	L Lnn

a11

a12

...

a1n

A =

...

2 n .

...

Матриця

n 2

A11

A21

An1

A12

A22

An 2

L1n

L2 n

L Lnn

називається

приєднаноюдляматриці

. Скориставшисьпопереднімитеоремами,

безпосередньознаходим,

A A

−1

дорівнюютьматриці,якоївсіелементиголовноїдіагон

щод бутки

A матриць(1і(1.26).27)

E .

дорівнюютьоди,авсіедіагональніиціелементи

– нулеві.Отже,

A =A−1

A−1

Покажемо,що

A−1

– єдинаоберненаматрицядоматриці

A .Нехай

– щеоднаоберненамат

Тоді

A була

(1.26)

(1.27)

алі

риця.

−1

(

)

(

−1

)

= A

A A =

A A=

E A

=A .

Обчисленоберненоїматрицізадопомогоюелементарнихя

перетворень

Знаходженняоберненоїматриці				A−1	задопомогоюалгебраїчдоповформула( н(1приеньих.26))		n − го
великомузначенні			n пов’язанегроміздкимиобчисленнями		– потрібнообчислитиодв значник		n − го
порядкута	n2	визначників		(n −1) −гопорядку,щочастобуваєскладносить.Томувтакихвипадках
матрицю A−1 обчислюютьзадопомогоюелементретвореньа.рнтрицьх
Означення.			Елемпентарнимиретвомат еннямииці		називаютакіперетьворення		:
1) множеннядовільнрядкаст( )матриціовпцягонавідмінненулячисло;
2) дододавання			ногорядкастовпця( )їїіншогорядкастовпця( ),помнадовільнеженогоненульве
число;
3) змінамісцямидовільнихдвохрядківстовпців( )матриці.
Теорема.		Кожнуневироджматрицюелемеперетвореннямиутарниїїрядківстовпців( ) ожнаи
перетворитиодини			чнуматрицю.
Теорема.			Якщодеякийланцюжокелементарних		перетворень тількирядківтільки(стовпців)
переводитьневирокваматрицюратнужену					A водиничнуматрицю	E ,тоцейжеланцюжок
перетвореньпереводи			тьодиничнуматрицю		E вматрицю A−1 .
Напідставітеоремисформулюємо				правилообчислеоберненоїматрицізадопомогоюняелементарних
перетворень.						A n − гопорядку,пот ібноямокутну
1. Длязнаходженняматриці,оберненоїдоквадратноїматриці						A n − гопорядку,пот ібноямокутну
матрицю

	a		a	1		0
	11	L	1n	L L		L
	Ln1	L	Lnn	L L		L
( A \| En ) =		L			L
	a		a	0		1

розміру	n × 2n	задопомогоюелементарнихретворень			L			рядків	звестидовигляду
	n × 2n				L			рядків	L
цьомуматриця		C будеоб дорненоюматриці	A :		A−1 = C .
2. Длязнаходженняматриці			A−1 ,оберненоїдоквадратноїматриці					L
прямокутнуматрицю									a1n

						a11

						a			a
				A	=		Ln1	L Lnn
					=
			En				1	L	0
			En				1	L	0
							L0	L	L1
								L
								L

(En | C ).Отримана при

n − гопорядку A ,потрібно

розміру 2n × n задопомогоюелементарнихретворень		стовпців звестидовигляду	En		.Отриманапри

				C
цьомуматриця	C будеоб дорненоюматриці	A .
			n ≥ 4 .
Цимметдокцільнодристуватисямвипадку,колирозматриціірність

Поняттялінійноїзалежнрядківстовпців( )матрицісті.Рангматриці

Нехай A − прямокутнаматрицярозмірності			s × n :
			a11	a12 ...
		A =	a	a ...
		A =	21	22
			... ... ...
				as 2 ...
Коженрядокматриці	A можнарозумітиякматррозмірностіцю		as1	as 2 ...
Коженрядокматриці	A можнарозумітиякматррозмірностіцю
такихматриць:	A1 = (a11 a12 ... a1n ),	A2 = (a21 a22 ... a2n ), …,
додтмножитиаватиїхнач .Урслацюхувавшивластивість,наведемоозначенлінійзаленоя
матриці A .

a1n a2 n .

...

asn

1× n .Отже,матриці

A відповідає s

As = (as1 as 2 ... asn ). Вказаніматриціможна

жнихрядків

Означення.	Рядкиматриці	A називають лінійнозалежн	ими,якщоіснуютьчисла	α1 ,α2 ,...,αs , невсі
рівнінулю,такі,щосправджуєтьсярівність			α1 A1 +α2 A2 +... +αs As	= O,
			α1 A1 +α2 A2 +... +αs As	= O,	(1.28)

де O = (0, 0,..., 0) −нульоваматрицярозмірності

1× n .

Зауважимо,що(1еквівален.28)рівностнеям

α a

+α a

+... +α

= 0,

j 1,..., n .

1 j

2 2 j

s sj

{

}

Рядкиматриці

A ,якінеєлінійзалежними, оазивают

ьсялінійноезалежн.Інакше,рядкими

A1 , A2 ,..., As називаютьсялі ійноезалежними,якщорівність(1можлива.28)лишеувипадку,коливсіч сла

α1 ,α2 ,...,αs дорівнюютьнулеві.

Теорема.

Длятого,щобрядки

A1 , A2 ,..., As

були лінійнозал,необхідножнідосить,щободинізцих

рядківбувлінійноюкомбінаціншихрядк. ієюв

A1 , A2 ,..., As

Доведення.Необхідність.

Нехайрядки

лінійнозалежні,тобтосправджуєтьсярівність

(1у.якій28),хочабоднезчисел

α1 ,α2 ,...,αs відмінненуля.

Припустимо,що

α1

≠ 0.Тоді,поділивши

(1на.28)

таввівшипозначення

λ = − =2−, λ= −

,..., λ

,запи -шемо(1увигляді.28)

α1

= λ2 A2 + λ3 A3 ... +αs As .

(1.29)

Це іозначає,щорядок

єлінійноюкомбінацієюрядків

A2 ,..., As .

Достатність.

Нехайодинізрядків(априклад

A1 )єлінійноюкомбінаціншихрядків.Тодією

знайдутьсячисла

λ2 , λ3 ,..., λs

такі,щосправджуєтьсярівність(1Алецю.29)рівністьможназаписати. у

вигляді

(−1) A1 + λ2 A2 + λ3 A3...+αs As

= O.

Зостанньогоспіввипливаєідношлінійназалрядківенняжність

A1 , A2 ,..., As ,оскількисередчисел

(−1), λ2 , λ3 ,..., λs

одне відмінненуля..Теоремадоведена.

Зазначимо,щоувсіхвищееденихміркуванняхте«ядкимін»можназамінититерміномстовпці« »,

A якматрицюрозмірності

s ×1.

розуміючиприцьостовпецьматриці

Означення.

Рангомматриці

A називаєтмаксимальезалежнихкілїїлікістьсянійстовпців.

Виберемоуматриці

рядківта

стовпців,де

k ≤ min{s, n}.Елементиматриці

A ,які

розміщуютьсянаперетиніцихрядктастовпців,утворюютьквадратнуматрицю

A . Насцікавитьнайвищийпорядоквідмінногонуля

k − гопорядку,визначник

якоїназивають

мінором

k − гопорядкум

атриці

мінораматриці

A . Якщовсім порядкуни

матриці A дорівнюютьнулеві,то,застосувавшите

орему

Лапласадляобчисленнямінорівбільшвисп цієїрядківкихматриціотримаємо,щовсівонитакожбудуть

дорівнюватинулеві.

Тео.п(рангматриціемао).

Найвищийпорядоквідмінногонулямінораматдориціангуівнює

цієїматриці.

Доведення.

Нехай

найвищийпорядоквідмінногонулямінораматриціDАдорівнює

Переміщуючимісцярядкстовпціматриці,досятого,щцейаємомінорбзай

ме

місцеулівому

верхньомукуткуматриціА.Очевидно,щоздійсненіпереміщеннязберігаютьрангматриці.Матри

цяАнабуде

вигляду

a11

a1r

a1, r +1

a1 n

Lr1

Lr r

Lr , r +1

Lr n

= ar +1,1

ar +1, r

ar +1, r +1

ar +1, n .

Ls1

Ls r

Ls , r +1

Ls n

Оскільки D ≠ 0,топерші

r стовпцівматриці

АLлінійноезалеякщо( бмівказанимижністовпцями L

існувала

лінійназалежність,то

внаслідоквідповіднихвластивостейвизначника

виконуваласьбрі

вність D=0).

Доведемо,щок жний

l –ийстовпчматрикці

A , r <≤ l n ,єлінійноюкомбінацієюперших

r стовпців.

Нехай i :

1 ≤ i ≤ s .Будуємовизначник

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.08.20191.32 Mб22Kinematika.doc
#
18.08.201945.06 Кб3Klasifikatsiya_vidiv_turizmu_2.doc
#
10.09.201982.46 Кб8Konfliktologiya_ta_teoriya_peregovoriv.docx
#
26.11.201977.32 Кб1Konflikt_i_vlada.docx
#
23.02.20161.39 Mб26konovalchuk.pdf
#
23.02.201610.07 Mб5Konspect_HE_1.1.pdf
#
05.11.2018517.12 Кб3Konstitutsiyne_pravo_Ukrayini_KNYeU.doc
#
13.08.20191.21 Mб14Konstr_11_1_A4.doc
#
13.08.20193.31 Mб18Konstr_11_2_A4.doc
#
23.02.2016463.36 Кб9konstr_chastina_-_kopia (1).doc
#
13.08.20193.78 Mб8Konstr_Lab_A4_09.doc