задачі для інженерів

Остроградського–Гаусса. Дляцьогооточимоциліндргаусовою поверхнею у формі циліндра радіусом rG 2см . При такому виборі замкнутої гаусової поверхні лінії напруженості електричного поля будуть перпендикулярними до неї, а отже формулу для потоку вектора напруженості електричного поля, можна переписати увигляді:

оскільки cos 1. На поверхні однакового радіуса величина напруженості поля E буде постійною, тому її можна винести

зазнакінтегралу.Інтегралпоповерхні dS SG ,де SG 2 rl

S

– площа гаусової поверхні (у нашому випадку – тільки бічна поверхня циліндра, оскільки він нескінченний). Тоді теорема Остроградського – Гаусса перепишеться так:

а різницюпотенціалівміжточками знайдемо,проінтегрувавши

111

або

знаходиться в однорідному електричному полі напруженістю Е 30кВ/ м . Вектор р складає кут 0 60 з напрямком силовихлінійполя.ВизначитироботузовнішніхсилА,якутреба виконати, щобповернути дипольна кут 30 .

Розв’язання

Із початковогоположення диполь можна повернути на кут30 /6 двома способами:за годинниковоюстрілкоюдо кута 1 0 /3 /6 /6 та проти годинникової

стрілки до кута 2 0 /3 /6 /2 (див. рис. 34). У першомувипадкудипольбудеповертатисьпіддієюсилполя.

Томуробота зовнішніхсил будевід’ємною. У другомувипадку поворотможливий тількипіддієюзовнішніхсил.

Отже, елементарна робота при поворотідиполяна кут d

Рис. 34

а повна робота при повороті на кут від 0 до

112

9. Визначити електричну ємність С плоского шаруватого конденсатора, який маєтришари діелектрика:фарфору,ебоніту і слюди завтовшки d1 2 мм , d2 1,5 мм та d3 1,7 мм відповідно, якщоплоща пластин конденсатора S 100cм2.

Розв’язання

Шаруватий конденсатор можна уявити собі як три послідовноз’єднаних конденсатори. Тодіємністьтакоїбатареї можна записати увигляді:

з’єднані в батарею послідовно і підключені до джерела струму з електрорушійноюсилою .Якзмінитьсярізницяпотенціалів U1

113

напластинахпершогоконденсатора,якщопростірміжпластинами другогоконденсатора, невідмикаючи джерела струму, заповнити діелектриком здіелектричною проникністю 7?

Розв’язання

Дозаповненнядругогоконденсатора діелектрикомнапруга на обкладинках обох конденсаторів була однаковою: U1 U2 /2 . Після заповнення другого конденсатора діелектриком його електроємність збільшиться в 7 разів С2 C2 C , а ємність першого не зміниться: С1 C .

Оскільки джерело струму не відмикалося, то різниця потенціалів на батареї конденсаторів залишиться незмінною, вона тільки перерозподілиться між конденсаторами. Різниця потенціалівна першомуконденсаторі:

Підставивши цей вираз уформулу(1), отримаємо:

показуєякзміниласярізницяпотенціалівнапластинахпершого конденсатора.

114

Підставивши значення, отримаємо:

U1 1,75.

U1

Відповідь: напруга на пластинах першого конденсатора збільшилася в 1,75рази.

Задачідлясамостійногорозв’язування

3.1. Визначити силу взаємодії двох точкових зарядів Q1 Q2 1Кл, що знаходяться у вакуумі на відстані r 1м один від одного.

3.2.Дві кульки масою m 0,1г кожна підвішені в одній точці на однакових нитках завдовжки l 20см . Отримавши

однаковийзаряд,кулькирозійшлисятак,щониткиутворилиміж собою кут 60o . Знайти заряд кожної кульки.

3.3.Дві однакові кульки підвішені в одній точці на нитках

однаковоїдовжини.Прицьомуниткиутворюютькут .Кульки занурюють в олію, що має густину 0 8 102 кг/ м3 . Визначити дієлектричну проникність олії, якщо кут між

нитками призануреннікульокзалишаєтьсянезмінним. Густина матеріалу кульок 1,6 103 кг/ м3 .

3.4.Дано дві кульки масою m 1г кожна. Який заряд Q потрібнонадатикожнійкульці,щобсилавзаємноговідштовхування зрівноважиласилувзаємногопритяганнязазакономвсесвітнього тяжіння? Кульки вважати матеріальними точками.

3.5.У вершинах квадрата знаходяться однакові заряди по 0,3нКл кожний.Якийвід’ємнийзарядтребарозміститивцентрі

квадрата,щобсилапритяганнязрівноважиласилувідштовхування? 3.6*. У вершинах правильного шестикутника зі стороною a 10cм розміщені точкові заряди Q , 2Q, 3Q , 4Q, 5Q , 6Q

(Q 0,1 мкКл). Визначити силу F , яка діятимена заряд, який знаходитьсяуплощинішестикутникаірівновіддаленийвідйого вершин.

3.7. Два додатні точкові заряди Q і 4Q закріплені на відстані l 60см один від одного. Визначити, в якій точці на прямій, яка проходитьчереззаряди, потрібнорозмістити третій заряд Q1 так, щоб він знаходився у рівновазі. Вказати, який

115

знак повинен мати цей заряд для того, щоб рівновага була стійкою, якщопереміщенняможливетільки вздовжпрямої, яка проходить через закріпленізаряди.

3.8. Відстань між двома вільними зарядами l 60см . Величина першого з них Q1 180нКл , а другого – Q2 720 нКл .Визначититочкунапрямій,яказ’єднуєцізаряди, в якій потрібно розмістити третій заряд Q3 так, щоб система знаходилася в рівновазі. Визначити величину і знак заряду. Стійкою чи нестійкою буде рівновага?

3.9. Три однакових заряди величиною 1нКл кожен розміщені у вершинах рівностороннього трикутника. Який від’ємнийзарядтребарозміститиуцентрітрикутника,щобйого притягання зрівноважило сили взаємного відштовхування зарядів? Чи буде ця рівновага стійкою?

3.10*.У вершинахправильногоп’ятикутника знаходяться однакові заряди по 0,3нКл . Який від’ємний заряд Q1 треба розмістити в центрі п’ятикутника, щоб сила взаємного відштовхування додатних зарядів зрівноважилася силою притяганнявід’ємного?

3.11.Тонкий стержень завдовжки l 10см рівномірно заряджений злінійноюгустиною 1нКл/ м .Напродовженні стержня на відстані 20 см від його найближчого кінця знаходиться точковий заряд Q 100нКл. Визначити силу взаємодії зарядженого стержня і точкового заряду.

3.12.Тонкий довгий стержень рівномірно заряджений з лінійноюгустиною 10 мкКл/ м.Напродовженніосістержня на відстані 20 см від найближчого його кінця знаходиться точковий заряд Q 10нКл . Визначити силу взаємодії зарядженого стержня і точкового заряду.

3.13.Тонкийдужедовгийстерженьрівномірнозарядженийз лінійною густиною 10 мкКл/ м. На перпендикулярі до осі стержня,встановленомузйогокінця,знаходитьсяточковийзаряд Q 10нКл. Відстань від заряду до кінця стержня a 20см. Знайтисилу F взаємодіїзарядженогостержняіточковогозаряду.

3.14.Тонке кільце радіусом R 10см рівномірно заряджене з лінійною густиною 1мкКл/ м. Визначити у

116

скільки разів зміниться сила F, що діє на точковий заряд, розміщений на перпендикулярі доплощини кільця на відстані 20 см від його центра, якщо відстань збільшиться до 2 м?

3.15*. Тонке півкільце радіусом 10 см рівномірно заряджене з лінійною густиною 1мкКл/ м. У центрі кривизни півкільця знаходиться заряд q 20нКл. Визначити силувзаємодіїзарядуіпівкільця.

3.16.Дротяне кільце радіусом R 10см заряджене від’ємнимзарядом q 5нКл. 1). Знайти силузякоюкільцедіє

на заряд q1 1нКл, що розміщений в точці А, яка знаходиться на осі кільця на відстані l від його центра (l = 0; 0,1 м; 2 м). Намалювати графік залежності F F l .

3.17.Відстаньміждвома точковими зарядами Q1 8нКл

іQ2 5,3нКл дорівнює 40 см. Вирахувати напруженість електричного поля в точці, яка лежить посередині між двома зарядами. Чому дорівнюватиме напруженість, якщо другий заряд буде додатним?

3.18.Електричне поле створене двома точковими

зарядами в Q1 40нКл та Q2 10нКл , які знаходяться на відстані 8 см один від одного. Визначити напруженість електричного поля Е в точці, яка відділена від першого з них на 12 см, а від другого на 10 см.

3.19.Відстань між двома додатними точковими зарядами

Q1 9Q і Q2 Q дорівнює8см. Наякій відстаніrвідпершого заряду знаходиться точка, в якій напруженість поля зарядів E 0? Де б знаходилась ця точка, якби другий заряд був від’ємним?

3.20.Два точкових заряди Q1 2Q і Q2 Q знаходяться навідстаніdодинвідодного.Знайтиположенняточкинапрямій,

яка проходитьчерезцізаряди, в якій напруженістьполя E 0.

3.21.Відстань між зарядами диполя дорівнює 12 см. Знайти напруженість поля Е і потенціал поля в точці, рівновіддаленій від обох зарядів на відстань 8 см.

3.22.Тонкекільце радіусом R 8см рівномірнозаряджене

злінійною густиною 10нКл/ м. Яка напруженість поля в точці,рівновіддаленійвідусіхточоккільцянавідстань r 10см?

117

3.23* . На металевій сферірадіусом R 10см знаходиться заряд Q 1нКл . Визначити напруженість Е електричного поля в таких точках: 1) на відстані r1 8см від центра сфери; 2) на поверхнісфери r2 R;3)навідстані r3 15см відцентрасфери.

3.24*. Дротяне кільце радіусом R 10см заряджене від’ємнимзарядом Q 5нКл.Знайтинапруженістьелектричного полянаосікільцянавідстані L 10см відйогоцентра.

3.25*. Дві концентричні металеві заряджені сфери радіусами R1 6см і R2 10см заряджені відповідно зарядамиQ1 1нКл і Q2 0,5нКл. Знайти напруженості Е полявточках, якізнаходятьсянавідстанях r1 5см; r2 9см; r3 15см відцентрасфер.Побудуватиграфікзалежності E(r).

3.26.Тонкекільцерадіусом R 10см рівномірнозаряджене

злінійноюгустиною 1мкКл/ м.Визначитинапруженістьполя Евточці, розміщенійнаперпендикулярідокільцянавідстані20 смвідйогоцентра.Ускількиразівзмінитьсянапруженістьполя, якщо відстань збільшиться до 2м?

3.27.Поверхнева густина заряду рівномірно зарядженої півсфери 1нКл / м2 . Знайти напруженість Е електричного поля в геометричномуцентрі півсфери.

3.28.Нескінченна пряма нитка рівномірно заряджена з лінійною густиною 1 1мкКл / м. На одній осі з ниткою

розміщене кільце, заряджене з лінійною густиною2 10нКл/ м . Визначити силу F, яка розтягує кільце. Взаємодією між окремими елементами кільця не враховувати.

3.29.Дуже довга тонка пряма дротина, рівномірно заряджена по довжині. Розрахувати лінійну густину заряду, якщо напруженість Е поля на відстані a 0,5 м від дротини напроти їїсередини дорівнює200В/м.

3.30.Відстань між двома довгими тонкими дротинами, розміщеними паралельноодна одній, дорівнює16см. Дротини рівномірно заряджені різнойменними зарядами з лінійною густиною 150 мкКл/ м . Яка напруженість поля Е в точці, віддаленій на a 10cм як від першоїтак і від другоїдротини?

3.31.Прямий металевий стержень діаметром 5 см і довжиною 4 м має рівномірнорозподілений пойогоповерхні

118

заряд Q 500нКл. Визначити напруженість Е поля в точці, яка знаходиться навпроти середини стержня на відстані

a1cм від йогоповерхні.

3.32.Нескінченно довга тонкостінна металева трубка

радіусом R 2см заряджена рівномірно розподіленим її поверхнею зарядом ( 1нКл/ м2 ). Визначити напруженість

Е поля в точках, які знаходяться на відстанях r1 1см ; і r2 3см від осі трубки. Побудувати графік залежності E(r).

3.33. Дві довгі тонкостінні коаксіальні трубки радіусами R1 2см і R2 4см мають рівномірнорозподіленіподовжині заряди злінійними густинами 1 1нКл / м і 2 0,5нКл/ м. Простір між трубками заповнили ебонітом. Визначити напруженість поля Е в точках, які знаходяться на відстанях r1 1см ; r2 3см; r3 5см відосітрубок. Побудувати графік залежності E(r).

3.34*. Тонкий стержень завдовжки 12 см заряджений з лінійною густиною 200нКл/ м . Знайти напруженість Е електричногополя вточці, яка знаходиться на відстані 5смвід стержнянавпроти йогосередини.

3.35*. Електричне поле створене зарядом тонкого рівномірно зарядженого стержня, зігнутого по трьох сторонах квадрата(рис.35).Довжинаасторониквадратадорівнює20см. Лінійна густина заряду 500нКл/ м . Визначити напруженість Е поля в точці А, яка знаходиться посередині четвертої сторони квадрата.

3.36. Довгий циліндр радіусом R 6см має рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною40нКл/ м.ВизначитинапруженістьЕі

зміщенняDелектричногополявточках,що знаходяться від осі циліндра на відстанях

r1 1см ; r2 4см ; r3 7см . Усі точки

рівновіддаленівідкінцівциліндра.

3.37. Тонка нескінченна нитка зігнута підкутом90 .Нитка зарядженарівномірно

розподіленимзарядомзлінійноюгустиною

Рис. 35

1мкКл/ м. Визначити силу F, яка діє

119

на точковий заряд Q 0,1мкКл, розміщений на продовженні однієїізсторін івіддалений від вершини на a 50см.

3.38.Дватонкихстержнядовжинами l1 12см і l2 16см заряджені з лінійною густиною 400нКл/ м утворюють прямийкут.ЗнайтинапруженістьполяЕвточціА,щознаходиться на відстані l2 від першого з них іна відстані l1 від другого.

3.39.Довгий металевий циліндр радіусом R 2см має рівномірно розподілений по поверхні заряд з густиною

10нКл/ м2 . Визначити напруженість Е і зміщення D електричного поля в точках, що знаходяться на відстанях

r1 1см ; r2 3см відосіциліндра.Обидвіточкирівновіддалені відкінцівциліндра.

3.40.Нескінченна площина заряджена рівномірно з поверхневою густиною 4 нКл/ м2 . Визначити значення і напрямокградієнта потенціалуелектричногополя, створеного цієюплощиною.

3.41.Електричне поле створене двома нескінченими пластинами, які заряджені однаково з поверхневою густиною

1нКл/ м2 . Визначити напруженість Е поля: 1) між пластинами; 2) поза пластинами. Побудувати графік зміни напруженостівздовжлінії, перпендикулярноїдопластин.

3.42.Електричне поле створене двома нескінченними паралельними пластинами, які заряджені рівномірно розподіленими зарядами з поверхневими густинами

1 1нКл/ м2 і 2 3нКл/ м2 . Визначити напруженість поля Е: 1) між пластинами; 2) поза пластинами. Побудувати графік зміни напруженостівздовжлінії, перпендикулярноїдопластин.

3.43.Електричне поле створене двома рівномірно

зарядженими нескінченними паралельними пластинами. Поверхнева густина зарядів 1 2нКл/ м2 і 2 5нКл/ м2 відповідно.ВизначитинапруженістьполяЕ:1)міжпластинами; 2) поза пластинами. Побудувати графік зміни напруженості вздовжлінії,перпендикулярноїдопластин.

3.44.Дві нескінченні паралельні пластини заряджені рівномірнозповерхневими густинами заряду 1 10нКл/ м2 і

2 30нКл/ м2 . Визначити силу, з якою взаємодіють пластини,розраховануна 1м2 площі.

120