integral

3

2

1

x

=

2 ln (x

+ 2)+

arctg

−2ln

x −1

+c .

2

2

1

=

1

=

A

+

Bx2 +C

,

x6 +1

(x2 +1)(x4 − x2 +1)

(x2 +1)

(x4 − x2 +1)

x4

0 = A + B

x2

0 = −A + B +C

x0 1 = A +C

Звідки A =

1

, B = −

1 , C =

2 тому

3

3

3

−x2 + 2

1

1

1

=

=

+

. А зараз вже розкладемо

x6 +1

(x2 +1)(x4 − x2 +1)

3(x2 +1)

3(x4 − x2 +1)

останній дріб на два:

−x2 + 2

=

Ax + B

+

Cx + D

=

(

x4

− x2 +

)

3

x2

+ 3x +1 x2 − 3x +1

1

=

3(Ax + B)(x2 −

3x +1)+3(Cx + D)(x2 +

3x +1)

. Отримали систему з

3

(

)

x4 − x2 +1

чотирьох рівнянь

x3

0 =3A +3C

x2 −1 = −3 3A +3B +3 3C +3D

,

x1 0 =3A −3 3B +3C +

3 3D

x0

2 =3B +3D

Яка дає

A = −C =

1

;

B = D = 1 , тобто

3

2

3

1

1

1

x + 2 33

1

x − 2 33

=

+

−

.

x6 +1

3(x2 +1)

2 3

x2 + 3x +1

2 3

x2 − 3x +1

більш прості вирази. Спочатку перетворимо підінтегральну функцію:

1

=

(x4 +1)+(1 − x4 )

=

x4 +1

+

1 − x4

=

(

)

(

)

x6 +1

2

(

)

2

x6 +

x6

x6 +1

1 2

+1

=

(x4 − x2 +1)+ x2

+

(1 − x2 )(1 + x2 )

=

(

x

2

)(

)

(

x4 − x2 +

)(

)

2

+1 x4

− x2 +1 2

1 1 + x2

=

1

+

x

2

−

x

2 −1

.

(

2

)

(

6

)

(

4

2

)

2 x

+1 2 x

+1 2 x

− x

+1

−x2 +1

=

Ax + B

+

Cx + D

. Чисельники дають рівняння

(

2

x

4

− x

2

)

x

2

+ 3x

+1 x

2

− 3x +1

+1

−

x2

+

1

≡(Ax + B)(x2 − 3x +1)+(Cx + D)(x2 + 3x +1).

2

2

x3

0 = A +C

x2 −1 2 = − 3A + B + 3C + D

.

x1 0 = A − 3B +C + 3D

x0 1 2 = B + D

Звідси A = −C =

1

; B = D =

1

, тому

3

4

2

3

3

1

1

x2

1

x +

1

x −

.

=

+

+

2

−

2

x6 +1

(x2 +1)

(x6 +

1)

2

2

2 3 x2

+ 3x +1 2 3 x2

− 3x +1

Інтегруючи цю рівність, маємо:

∫

dx

1

1

3

1

x2 + 3x +1

=

2 arctg x +

6 arctg x

+

ln

+c.

x6 +1

4

3

x2 −

3x +1

11. Знайти інтеграл: ∫

2 +

x +1

dx.

(x +1)2 −

x +1

Розв’язання. Скористаємося заміною змінних. Покладемо:

2

2 + x +1

(2 +t )2t

4 + 2t

x +1 =t, x =t

−1, dx = 2tdt. Тоді ∫

dx = ∫

t4 −t

dt = ∫ t3 −1 dt.

(x +1)2 −

x +1

Розглянемо дріб:

4 + 2t

=

4

+ 2t

.

t3 −1

(t

−

1)

(

t

2

+

t

+

)

1

4

+ 2t

=

A

+

Bt +C

.

(

)

−

2 +

+

t

−1 t2

+t +1

(t

1)

t

t

1

(

)

+ Bt (t

−1)+C (t −1).

2t + 4 =

A

t2 +t +1

t2

0 = A + B

t

2

= A − B +C .

1

4

= A −C

Ця система має розв’язок : A = 2,

B = −2,

C = −2 .

Отже,

4t + 2t2

2

2t + 2

2dt

2t + 2

4

dt =

−

dt =

−

dt =

∫ t

−t

∫

t

2

+t +

∫t −1

∫t

2

+t

+

1

t −1

1

1

2dt

2t +1

dt

−ln (t

2

+t +1)−

1

t + 2

= ∫

− ∫

dt − ∫

= 2ln

t −1

arctg

+c =

t −1

t2 +t +1

t2 +t +1

3

3

2

2

= 2ln

x +1 −1

−ln (x +

x +1 + 2)−

2

arctg 1 + 2

x +1

+c .

3

3

12. Знайти інтеграл: ∫x3

x2 −1dx.

Розв’язання. Оскільки ∫x3

1

x2 −1dx = ∫x3 (x2 −1)2 dx. Даний інтеграл запишемо у

вигляді диференціального бінома: ∫xm (axn +b)p dx, де a,b −дійсні;

m, n, p −раціональні числа, a ≠ 0,b ≠ 0, n ≠ 0, p ≠ 0.

В нашому випадку:

a =1,b = −1, m =3, n = 2, p =

1

. Так як:

m +1

=

3 +1

= 2 −ціле число, то,

2

n

2

застосовуючи підстановку Чебишева: axn +b =ts , s −знаменник дробу p ,

(

)

1

(

)

1

(

)

1

знаходимо: x2 −1 =t2 t =

2

, x =

t2

+

2 , dx =t

t2

−2 dt.

x2 −1

1

+1

Отже,

1

5

3

5

3

(t2 +1)dt = ∫(t4 +t

2 )dt = t

+ t

∫x3 (x2 −1)2 dx = ∫t2

+c =

1

(x2 −1)2 + 1 (x2

−1)2 + c.

5

3

5

3

13. Знайти інтеграл: ∫3 1 + 4

xdx.

1

∫

3 1

∫

1 3

Розв’язання. Маємо

+ 4

xdx =

dx. диференціальний біном:

1

+ x4

∫xm (axn +b)p dx, де a =b =1, m = 0, n =

1

, p =

1

. Оскільки:

m +1

=

0 +1

= 4 −ціле

4

3

n

1

4

1

1

1

+1 =t3

3

−1)

4

, dx =12t2 (t3 −1)

3

dt.

p , маємо 1 x4

, знаходимо: t = 1

+ x4

, x =(t3

Отже, ∫3 1 + 4

xdx = ∫t 12t2 (t3 −1)3 dt = ∫12t3 (t3 −1)3 dt =

= ∫(12t12 −36t9 +36t6 −12t3 )dt =12t13

− 36t10

+ 36t7 −12t4

+c =

13

10

7

4

13

10

7

4

=

12

1

3

−18

1

3

+ 36

1

3

−

1

3

+c.

1 + x4

1 + x4

1 + x4

3 1

+ x4