Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2016

Размер:

440 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

3.22.	∫					dx							.					x		2	2
																					2

												2
		x	4	(	x		3	+		1		2			3.24.	∫		2			dx.
			4				3								3.24.	∫		2			dx.
																x			+ 4
		(								)	)					x			+ 4
		(		−		4x			5	)	dx								dx
3.23. ∫		1		−		4x			5		dx				3.25.	∫			dx			.
														.
																	x4 + x2 +1
		1 + x + x5										)	2				x4 + x2 +1
		(										)

ІРАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ Завдання №1. Знайти інтеграли:


1.1. ∫		xdx				.
	4 x	3
		(4 − x)
1.2. 3	x +1		dx.

	x −1
1.3. ∫	x −1 −				x +1		dx.
	x −1 +
					x +1
1.4. ∫	x +1			+1	dx.
	x +1			−1

1.5.∫11 +−22 xx dx.

1.6.∫1 +xdxx .

1.7. ∫

(x −7)

(x −5)

1.8. 5

dx .

x +1 x3

1.9. ∫x

x −1

dx.

x +1

1.10. ∫

x + 2

xdx.

x +

1.11.∫4 x −2xdx.

1.12.∫3x +dx3 x2 .

1.13. ∫	x + 4	dx.

	x

Завдання №2. Знайти інтеграли:

1.14. ∫

x −

1.15. ∫

+ 2

1.16. ∫

(6 x +12 x5 )3

1.17. ∫

+ 4x +1 −

2x +1

1.18. ∫

dx.

1.19. ∫

1.20. ∫

1.21. ∫

xdx

+ x

1.22. ∫

+ 4

1.23. ∫

1.24. ∫

x +

x + 3 x2

dx.

x +

1.25. ∫

1 − 6 1 + x

dx.

+ x + 3 (1 + x)

2.1. ∫		x3dx		.	2.2. ∫		x4dx	.
2.1. ∫	1	+ 2x − x	2	.	2.2. ∫	x	2	.
	1	+ 2x − x				x	+ 4x +5
					20

2.3.∫ xx62dx+1.

2.4.∫ xx82dx−1.

2.5. ∫

x > 0.

−2x +1

2.6. ∫

, x > −1.

(x +

+ x +1

2.7. ∫

, x > 0.

1 + 2x +

2.8. ∫

− x) 3 +

2x − x

2.9. ∫

1 − x + x2

dx.

1 + x − x

2.10. ∫

2x2 −3x

dx.

x −2x +5

2.11. ∫

x3dx

+ x +1

2.12.∫x3 + 2x2 + x −1 dx.

x2 + 2x −1

2.13.∫x3 −6x2 +11x −6 dx.

x2 + 4x +3

2.14. ∫ 3 −4x + 4x2 dx.

Завдання №3. Знайти інтеграли:

	∫		−1					1 −1
3.1.		x		3			− x		dx.
					1			6
	∫		1				1 −2
3.2.		x2				+ x3			dx.
				1
	∫		−2					1 −3
3.3.		x		3			+ x		dx.
					1			3
	∫	x−		1				1 −10
3.4.				2	1 + x4				dx.

3.5. ∫x2 3 (x +1)2 dx.

2.15. ∫x

x2 + 2x + 2dx.

2.16. ∫x2

x2 + 4dx.

2.17. ∫

−

− x +1

2.18. ∫

+ 2x +

2.19. ∫

1 −

2x − x

2.20. ∫

(1 +

x2 + x )2

2.21. ∫

1 + x

2.22. ∫

x2 +3x + 2 − x

dx.

+3x + 2 + x

2.23.∫x2 dxx2 −1.

2.24.∫x3 dx1 − x2 .

2.25. ∫x4 4 − x2 dx.

3.6.∫3 1dx+ x3 .

3.7.∫3 1 +x4 x dx.

3.8. ∫	3	xdx		.

	1 + 3 x
3.9. ∫		xdx				.
	1
		+ 3 x2
3.10. ∫		dx					.
	x	6 6	+		1
		x

3.11. ∫		dx		.
	x2 3	(2 + x3 )	5

3.12. ∫x3 3 dx2 − x3 .

3.13.∫3 1dx+ x3 .

3.14.∫3 x − x3 dx.

3.15.∫x 3 dxx2 +1.

31 + x3

3.16.∫ x2 dx.

3.17.∫x5 3 (1 + x3 )2 dx.

3.18.∫x11 dx1 + x4 .

3.19. ∫			1 − x4
							dx.
			x5
	∫		−1						1 −1
3.20.		x 3				− x				dx.
				1					6
	∫		1					1 −2
3.21.		x			+ x3					dx.
			2 1
	∫		−2						1 −3
3.22.		x 3				+ x				dx.
				1					3
			1						1 −10
3.23.	∫	x−2		1 + x4						dx.

3.24. ∫x2 3 (x +1)2 dx.
3.25. ∫		3 1 +			4	x		dx.
				x

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Завдання №1. Знайти інтеграли:

1.1. ∫sh3 x ch 2x dx.

1.13. ∫cos2 3xsin xdx.

1.2. ∫sh4 x ch

dx.

1.14. ∫cos3 x cos 2xdx.

3 2

1.3. ∫sh

x ch

1.15. ∫cos5 2xsin7 2xdx.

x dx.

1.16. ∫cos3 xsin8 xdx.

1.4. ∫ch

x sh x dx.

1.17. ∫sin3 x cos4 xdx.

1.5. ∫sin

xcos

xdx.

1.18. ∫cos3 xdx.

1.6. ∫cos

3xdx.

1.19. ∫sh3 x ch4 x dx.

1.7. ∫sin

4xdx.

1.20. ∫sh4 x ch4 x dx.

1.8. ∫sin

xcos

xdx.

1.21. ∫sin4 xcos5 xdx.

1.9. ∫sincos23 xx dx.

1.22. ∫cos3 xsin5 xdx.

1.10. ∫

sin 3x

dx.

1.23. ∫sin2 6xsin2 3xdx.

cos x

cos3x

1.24. ∫sin2 xcos2 3xdx.

1.11. ∫sin5 x dx.

1.25. ∫

1 −sin x

dx.

1.12. ∫

cos

dx.

cos x

sin 4x

sh3 x

Завдання №2. Знайти інтеграли:

2.1. ∫sincosx2cosxdx3x .

cos3xdx 2.2. ∫ cos4 x .

2.3. ∫shch63xx dx.

ch 3x

2.4. ∫ sh3 x dx.

2.5. ∫cos3 x .

2.6. ∫sincos4 xx dx. 2.7. ∫sin2 xdxcos3 x .

cos4 x 2.8. ∫sin3 x dx.

2.9. ∫sh xdxch2 x . 2.10. ∫sh3 xdxch2 x . 2.11. ∫chdx5 x .

sh4 x

2.12. ∫ch3 x dx.

cos3 x

2.13. ∫sin5 x dx.

Завдання №3. Знайти інтеграли:

3.1. ∫	dx			.
	tg2 x + 4tg x
3.2. ∫	th x dx
		.
	(th x + 2)2
3.3. ∫	dx		.
	sin x +cos x

3.4. ∫	dx					.

	3 cos x +sin x
3.5. ∫	dx				.
	sh x + 2ch x

cos5 x

2.14. ∫sin3 x dx. 2.15. ∫sin xdxcos3 x . 2.16. ∫sin2 xdxcos4 x .

2.17. ∫sin4 x .

sin4 x 2.18. ∫cos10 x dx.

2.19. ∫tg5 x dx. 2.20. ∫tg6 x dx.

2.21. ∫sincosx2cos3xdxx .

cos3xdx 2.22. ∫ cos4 x .

2.23. ∫shch63xx dx. 2.24. ∫ch 3x dx. 2.25. ∫sincos4 xx dx.

3.6. ∫			dx	.
3.6. ∫		2sh x −ch x		.
		2sh x −ch x
3.7. ∫			sin 2xdx		.
3.7. ∫	sin4 x +cos4 x				.
3.8. ∫			dx			, a2		+b2	≠ 0.
3.8. ∫		a cos x +bsin x				, a2		+b2	≠ 0.
		a cos x +bsin x
3.9. ∫				dx						.
3.9. ∫		2cos2 x +sin xcos x +sin2 x								.
3.10. ∫			dx				.
3.10. ∫			cos 2x −sin 2x				.
			cos 2x −sin 2x

ex +e3x

3.11. ∫

3.19. ∫

3cos x +7sin x

5cos x + 2sin x dx.

4cos2 x −2sin 2x +sin2 x

3.12. ∫

3.20. ∫

2 .

5 +cos2 x

2 +sin 2x +cos 2x

3.13. ∫

3.21. ∫

2 +cos 4x

dx.

2 +3sin 2x −4cos2 x

5 + 4cos 4x

3.14. ∫

cos xdx

3.22. ∫

3sin x + 2cos x +1

dx.

sin x +3sin2 x

sin3 x +cos3 x

3.15. ∫

cos xdx

3.23. ∫

3sin x + 2cos x +1

dx.

sin x +sin 2x

sin3 x +cos3 x

3.16. ∫

3.24. ∫

(1 +cos x)

dx.

10ch2 x −2sh 2x −1

3.17. ∫

1 +sin x

3.25. ∫1sin+tg2xx dx.

4 +3sh2 x

3.18. ∫1 −6sh 2x −37ch2 x .

ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ФУНКЦІЇ Завдання №1. Знайти інтеграли:

1.1.∫x arctg x dx.

1+ x2

1.2.∫x 1 − x2 arccos xdx.

1.3.∫ xarctg xdx.

1.4. ∫arcsin xdx.

1.5.∫x7arctg xdx.

1.6.∫xarccos(5x −2)dx.

1.7.∫x arctg (x +1)dx.

1.8.∫arctg x 1−1 dx.

1.9.∫(xlnxx)2 dx.

1.10. ∫ln ( 1 + x + 1 − x )dx. 1.11. ∫ex ln (1 +e−x )dx.

1.12. ∫ln (1 − x + x2 )dx. 1.13. ∫1 −e2 x +e4 x dx.

1.14. ∫ dx . 2 −ex −e2 x

1.15. ∫1 +ex +e2 x +e3x . 1.16. ∫(exdx−1)4 .

1.17. ∫(ex−1 +1)2 −(ex+1 +1)2 .

1.18. ∫

2 x

1.19. ∫ e2 x

+ 4ex

−1dx.

1.20. ∫

1 −e

1.21. ∫

dx.

− x

1 − x

1.22. ∫

(x +

x2 +1)

dx.

(

)

1.23. ∫

xln

(

− x

)

−1

cos2 x

1.24. ∫	ln	x +	x2 −1
				dx.
		x2		dx.

Завдання №2. Знайти інтеграли:

2.1.∫ xarcsin xdx .

(x2 −1) 1 − x2

2.2.∫(1 + x2 )arcsin x dx.

x2 1 − x2

2.3. ∫	x arcsin					1 − xdx.
2.4. ∫	arcsin x			dx.
2.4. ∫				dx.
	1 − x
2.5. ∫arcsin(x −1)2x dx.
2.6. ∫	x3 arccos x					dx.
2.6. ∫	1 − x	2				dx.
	1 − x
2.7. ∫arccos					x			dx.
2.7. ∫arccos			x		+		1	dx.
2.8. ∫	x2 arccos(x							x )	dx.
2.8. ∫	1 − x3				)	2			dx.
	(				)
2.9. ∫cos x arctg							sin xdx.

2.10. ∫arcsin tg x dx. 2.11. ∫ex arcsin exdx. 2.12. ∫sh x arcsin exdx. 2.13. ∫sh x arctg sh xdx.

ln (1 − x2 ) 1.25. ∫ 1 − x dx.

2.14. ∫		earctg x						dx.
	(	2					2
		+ x	)	1	+ x
	1
2.15. ∫	arctg			ex		dx.
	x		)	x
	(	+e		e
	1

2.16.∫x arctg x ln (1 + x2 )dx.

2.17.∫e−x arcsin exdx.

2.18.∫earcsin xdx.

2.19.∫(2x +1)earctg xdx.

2.20.∫x(1 + x2 )−32 earctg xdx.

2.21. ∫

xcos x −sin x

dx.

2.22. ∫

sin x −cos x

dx.

sin2 x

2.23. ∫

ln x −1

dx.

ln2 x

2.24. ∫

ln xdx

(ln x +1)2

∫

x −1

2.25.

dx.

Приклади розв’язання задач

∫ xdx

1. Знайти інтеграл: x4 +6x2 +5 .

Розв'язання. Знаменник містить квадратний тричлен відносно змінної x2 , а в

чисельнику якщо множник x внести під знак диференціала, теж отримаємо x2 , тому відносно цієї змінної і будемо обчислювати інтеграл.

Перший метод ∫

xdx

= ∫

xdx

∫

dx2

= 2

x4 +6x2 +5

(x4 +6x2 +9)−4

(x2 +3)2 −22

∫

d (x2 +3)

x2 +3 −2

x2 +1

+c.

= 2

8 ln

(x2 +3)2 −22

2 2

x2 +3 + 2

x2 +5

xdx

Другий метод ∫

2 ∫

=2 ∫

−

x4 +6x2 +5

(x2 +1)(x2 +5)

(x2 +1)

(x2 +

dx2

= 8

∫

−

8 ∫

8 ln (x

+1)−

8 ln (x

+5)+c.

(x2 +1)

(x2 +5)

2. Знайти інтеграл: ∫

−

Розв’язання. Перший метод. Покладемо ex −1 =t2 , t > 0 . Тоді: exdx = 2tdt,

2tdt

∫

= 2∫

tdt

= 2∫

dx =

. Отже,

= 2arctg t +c = 2arctg

−1 +c.

t2 +1

ex −1

(t2 +1)t

t2 +1

2 )

Другий метод

= −2

e−2 d (−x

∫ ex −

∫ ex (1 −e−x )

∫e

1 −e−x

∫

1 −e−x

= 2arcsin (e−x 2 )+c.

= −2∫

de−2

1 −(e−x 2 )

3. Знайти інтеграл: ∫arctg1 + x2xdx .

Розв’язання. Внесемо вираз

під знак диференціала

1 + x2

∫arctg1 + x2xdx = ∫arctg2 x d (arctg x)= 13 arctg3 x +c.

4. Знайти інтеграл: ∫xe−xdx .

Розв’язання.

Частинами

∫xe

−x

dx =

du = dx

−x

+ ∫e

−x

= −xe

−x

−e

−x

+c = −e

−x

(x +1)+ c.

u = x,

= −xe

−x

dx, v = −e

−x

dv =e

5. Знайти інтеграл: ∫x arctg2 xdx .

Розв’язання.

Частинами

arctg x dx

∫xarctg

2arctg xdx

x − ∫

xdx = u = arctg

du =

arctg

1 + x

= xdx,

v =

1 x2

(

x2 +1-1 arctg x dx

arctg x dx

− ∫

)

x − ∫arctg xdx +∫

2 x

arctg

1 + x2

2 x

arctg

1 + x2

(Перший інтеграл обчислимо частинами, а в другому внесемо вираз

під

1 + x2

знак диференціала)

Частинами

− xarctgx + ∫

x dx

+ ∫arctgx d (arctgx)=

= arctgx,

du =

2 x

arctg

1 + x2

= dx,

v = x

arctg2 x

2 x

arctg

− x arctgx + 2 ln (1 + x

+c .

6. ∫(x2 −6x + 2)e3xdx.

Розв’язання.

= x

−6x + 2, dv = e

∫(x

−6x + 2)e

dx =

−

6x + 2)−

∫e

(2x −6)dx =

du =(2x −6)dx, v =

= 2x −6, dv = e

3 x

−6x + 2)−

(2x −6)+

∫e

−6x

+ 2)−

= 2dx,

v =

−

(2x −6)+

+c =

−6x

+ 2

−

x + 2 +

−

x +

+c =

+c.

7. Знайти інтеграл: ∫x2

a2 + x2 dx.

Розв’язання. Перший метод. Розв’яжемо за допомогою інтегрування частинами

I = ∫x2

a2 + x2 dx =12 ∫x

a2 + x2 2xdx =12 ∫x

a2 + x2 d (a2 + x2 )=

	1		2				2			2	3		x		2			2	3	1			2		2			2		2
=				∫xd	(a			+ x			)2	=		(a		+ x			)2 −		∫	(a		+ x		)	a		+ x		dx =
=	2		3	∫xd	(a			+ x			)2	=	3	(a		+ x			)2 −	3	∫	(a		+ x		)	a		+ x		dx =
	2		3										3							3
	x				3	− a			2								1
=	x	(a2 + x2 )2								∫ a		2 + x2 dx −					1		∫x2	a2 + x2 dx =
=	3	(a2 + x2 )2								∫ a		2 + x2 dx −					3		∫x2	a2 + x2 dx =
	3				3			3									3
	x				3	− a			2								1 I .
=	x	(a2 + x2 )2								∫ a		2 + x2 dx −
=	3	(a2 + x2 )2								∫ a		2 + x2 dx −
	3							3									3

Розв'язуючи останню нерівність відносно шуканого інтеграла

I = ∫x2

a2 + x2 dx , отримаємо

I = ∫x2 a2 + x2 dx =

(a2 + x2 )

− a4

∫ a2 + x2 dx +c =

(a2 + x2 )2 − a4

Аналогічно обчислимо останній інтеграл частинами:

(a2 + x2 )−a2

I =

∫

+ x

dx = x a

+ x

−

∫

xdx

= x a

+ x

−

∫

a2 + x2

I1 + c .

dx =

= x a2 + x2 − ∫ a2 + x2 dx + a2 ln																								x + a2 + x2							=

= x a2 + x2 + a2 ln											x + a2 + x2												− I .
																									1
З отриманого рівняння																+ x2 + a2
I1 = ∫										x
			a2 + x2 dx =							x					a2										ln	x + a2 + x2							+c .
			a2 + x2 dx =												a2										ln	x + a2 + x2							+c .
									2													2
									2													2
Остаточно маємо:
I = ∫x		2	a	2	+ x	2	dx						x		(a	2	+ x		2	)		3			a2 x			a	2	+ x		2		a2	ln	x +	a	2	+ x	2	+c =
		2		2		2							x			2			2			3			a2 x				2			2		a2				2		2
									=													2 −											+
									=			4										2 −			4		2						+	2
	x(2x		2 + a2 )													a4

=							a	2	+ x					2	+			ln			x +				a	2	+ x	2	+c .
								2						2												2		2
			8														8

Другий метод. Обчислимо інтеграл за допомогою гіперболічної заміни

∫

x2 + a2 dx =

заміна

∫

2sh2t ach t ach tdt =

x = ash t, dx = ach tdt

a4 ∫sh2 2tdt = a4 ∫(ch4t −1)dt = a4 sh 4t − a4

t +c =

= a

sh t ch t (1 + 2sh2t )− a

t +c = a

− a

1 +

+ 2

arsh

+c =

(2x2 + a2 )

+ x

−

arsh

+c .

8. Знайти інтеграл: ∫

2x2 + 41x −91

dx.

−1)(x +3)(x −4)

Розв’язання. Підкорінний вираз – правильний раціональний дріб. Знаменник раціонального дробу має прості корені: x1 = −3, x2 =1, x3 = 4. Тому розкладення

на елементарні дроби має вигляд:

2x2 + 41x −91		A		B		C
	=		+		+		.
(x −1)(x +3)(x −4)	=	x −1	+	x +3	+	x −4	.

З цієї рівності раціональних дробів випливає рівність многочленів – чисельників для будь-яких значень x :

2x2 + 41x −91 = A(x +3)(x −4)+ B(x −1)(x −4)+C (x −1)(x +3). .

Покладаючи послідовно: x = −3, x =1, x = 4, знаходимо:

A = 4, B = −7, C =5.

Отже,

∫

2x2 + 41x −91

dx = 4ln

x −1

−7ln

x +3

+5ln

x −4

+c =

(x −1)(x +3)(x −4)

=ln

(x −1)4

(x −4)5

+c .

(x +3)7

9. Знайти інтеграл: ∫ 3 x2 −2 2x −5 dx. x − x + 2x −2

Розв’язання. Підкорінний вираз – правильний раціональний дріб. Розкладемо знаменник на множники

∫ x2 −2x −5 dx = ∫ x2 −(2x −5 )dx. x3 − x2 + 2x −2 (x −1) x2 + 2

Розклад підінтегральної функції на елементарні дроби має вигляд:

x2 −2x −5		Ax + B C
	=	x2 + 2 +		.
(x −1)(x2 + 2)			x −1

Приведемо праворуч до спільного знаменника та порівняємо чисельники: x2 −2x −5 =(Ax + B)(x −1)+C (x2 + 2).

З рівності многочленів випливає, що їх коефіцієнти при однакових степенях x рівні ,тому

x2 1 = A +C

−2 = −A + B .

−5 = −B + 2C

Ця система має розв’язок : A =3, B =1,

C = −2.

x2 −2x −5

3x +1

Отже, ∫

dx = ∫

dx −2∫

= ∫

dx + ∫

−2∫

x3 − x2 + 2x −2

x2 + 2

x −1

x2 + 2

x −1

∫

d (x2 )

x −1

arctg

−2ln

x2 + 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202528 Кб1I питання.docx
#
18.09.2019271 Кб8IGJHF.docx
#
01.05.2025176 Кб1indz_teor_i_metod.doc
#
01.05.202565 Кб0Infekc_krov_kishkovi_OMZ.doc
#
01.07.20251 Мб2Infektsiyna_bezpeka.doc
#
22.02.2016440 Кб7integral.pdf
#
01.05.2025126 Кб3invalidi.docx
#
22.12.2018321 Кб13INVEST_Prakt_Zan.doc
#
01.07.202574 Кб2issers_lekzia8.doc
#
23.12.2018352 Кб1ist_Ukr_1.doc
#
14.04.2019341 Кб3ist_Ukr_1.doc