Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2016

Размер:

440 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Аналогічно якщо t = ctg x , то x = arcctg t , dx = −		dx	, звідки
	1	+t2

∫ctgn xdx = −∫1 +tnt2 dt.

П'ятий клас. Інформацію, що отримано для другого й третього класу функцій можна сформулювати в більш загальному вигляді: якщо підінтегральна функція R , що залежить від cos x і sin x , має властивість

парності або непарності відносно синусів, або косинусів, то можна ввести заміну.

R(cos x, −sin x) = −R(cos x,sin x) ( R - непарна функція відносно sin x ).

Заміна t = cos x,

R(−cos x,sin x) = −R(cos x,sin x) ( R - непарна функція відносно cos x ).

Заміна t =sin x ,

R(−cos x, −sin x) = R(cos x,sin x) ( R - парна функція відносно sin x й cos x ). Заміна t = tg x .

Шостий клас. Інтеграли від добутків тригонометричних функцій обчислюються застосуванням формул перетворення добутку в суму.

∫sinαxcos βxdx = 12 ∫[sin(α + β)x +sin(α − β)x]dx

∫sinαxsin βxdx = 12 ∫[cos(α − β)x −cos(α + β)x]dx

∫cosαx cos βxdx = 12 ∫[cos(α + β)x +cos(α − β)x]dx

Інтегрування ірраціональних функцій
	ax +b
Перший клас. ∫R x, n	dx . Інтеграл містить ірраціональності від
	cx + d
дробово-лінійної функції. Обчислюється заміною		ax +b	=t	n	, x =	dtn −b	.
дробово-лінійної функції. Обчислюється заміною		cx + d	=t		, x =	a −ctn	.
		cx + d				a −ctn
Другий клас (підстановки Чебишева).		∫xm (a +bxn ) p dx . Інтеграл від

диференціального бінома. Обчислюється за допомогою підстановок Чебишева.

У трьох випадках, коли одне з чисел	p ,	m +1	,	m +1	+ p	ціле, інтеграл,
		n		n

за допомогою підстановок Чебишева, зводиться до інтеграла від раціональної функції.

1). p - ціле, заміна: t = xN , де N – спільний знаменник m і n (найменше спільне кратне);

2). mn+1 - ціле, заміна: (a +bxn ) =tM , де M – знаменник p ;

3). mn+1 + p - ціле, заміна: ax−n +b =tM , де M – знаменник p .

Третій клас. ∫R(x, ax2 +bx +c)dx . Інтеграл містить квадратний тричлен

під радикалом. Існує кілька різних прийомів їхнього обчислення. Перший метод - підстановки Ейлера.

Третій клас (підстановки Ейлера). У трьох випадках підстановки Ейлера дозволяють звести до інтеграла від раціональної функції.

1). Якщо a > 0 , здійснюється заміна

ax2 +bx +c =t ± x

a ;

2). Якщо c > 0 , здійснюється заміна

ax2 +bx +c =tx ±

c ;

3). Якщо x1

й x2 - дійсні корені

квадратного

виразу,

здійснюється

заміна a(x − x1 )(x − x2 ) =t(x − xi ),

i =

1, 2

Третій клас

(виділення

повного квадрата).

∫

ax2 +bx +c

( Ax + B)dx

Для обчислення

інтеграла I

∫ ax2 +bx +c

∫x ax2 +bx +c

виділяється повний квадрат під знаком радикала:

b 2

+bx +c = a

x +

−

= a

x +

± k

a 4a

і застосовується підстановка:

x +

=u , dx = du , k =

−

Внаслідок цього інтеграл зводиться до табличного: I1

∫

± k2

У чисельнику інтеграла I2 виділяється диференціал виразу,

що стоїть під

знаком радикала, і цей інтеграл представляється у вигляді суми двох інтегралів:

( Ax + B)dx

(2ax +b) + B −

dx =

∫

ax2 +bx +c

∫

ax2 +bx +c

A d (ax2

+bx +c)

+ B

−

2a ∫ ax2

+bx +c

+ B − Ab I

(ax2 +bx +c)−2 d(ax2 +bx +c)

2a ∫

ax2 +bx +c +

B −

Ab I ,

де I1 – обчислений вище інтеграл.

Обчислення інтеграла I3 зводиться до обчислення інтеграла I1 підстановкою:

1		1			∫		dx
x = u	,	dx = −		du. (Зауважимо, що для інтеграла
			u2			(x −α)	ax2 +bx +c

потрібна заміна x −α =1 / u ).

Третій клас (тригонометрична заміна). Як бачили вище, квадратний тричлен ax2 +bx +c шляхом виділення повного квадрата й заміни змінної може

бути представлений у вигляді u2 ± k2 . Отже, достатньо обмежитися розглядом трьох видів інтегралів:

I1 = ∫R(u, k2 −u2 )du, I2 = ∫R(u, k 2 +u2 )du, I3 = ∫R(u, u2 −k2 )du.

Інтеграл I1 = ∫R(u,	k2 −u2 )du, підстановкою
	u = k sin t , u = k cost (або u = kth t ).
зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t						й cost	(або sh t
й ch t ).
Інтеграл I2 = ∫R(u,	k 2 +u2 )du, підстановкою
	u = ktg t , u = kctg t				(або u = ksh t ).
зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t						й cost	(або sh t
й ch t ).
Інтеграл I3 = ∫R(u,	u2 −k2 )du підстановкою
	u =	k	, u =	k	(або u = kch t ).
	u =	cost	, u =	sin t	(або u = kch t ).	й cost
		cost		sin t
зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t							(або sh t

й ch t ).

Зразки контрольних робіт.

Контрольна робота №1

Обчислити інтеграли

∫

(1 + x)2

dx ;

∫tg3 x dx ;

x(1 + x2 )

∫

2 x

−1

dx ;

5etgx

∫

dx ;

3cos2 x

∫

x dx

;

sin x dx

∫

;

x2 + 2x + 2

1 +sin x

∫ln(x

+1) dx ;

∫x2 4 3 + x3 dx ;

10.

∫xcos

dx .

∫

;

1 −e

2 x

Варіанти індивідуального завдання

ЗАГАЛЬНІ СПОСОБИ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРУВАННЯ

Завдання №1. Знайти інтеграли:

x +3

1.1. ∫

1.14. ∫

dx.

5 −12x −9x2

3 + 4x −4x2

1.2. ∫

1.15. ∫

x3 +

dx.

2x2 −5x +7

− x

1.3. ∫

1 + x

1.16.

15x2 −34x +15

∫x

1.4.

∫

3 +7x2

1.17. ∫

x + x2

3x2 − x4

1.5. ∫

1.18. ∫

x − x2 dx.

2 +3x −2x2

1.6. ∫

1.19. ∫

x2 + 2x +5dx.

x2 −2x +5

1.7. ∫

1.20. ∫

xdx

(1 − x2 )2

17 −4x − x2

1.8. ∫

6x −7

dx.

∫

1.21.

dx.

−

7x +

+ 2

1.9. ∫

3x −2

dx.

1.22. ∫

xdx

2 −3x +5x2

(1 − x)12

1.10. ∫

x −1

dx.

x5dx

x2 − x −1

1.23. ∫

1.11. ∫

2x −1

dx.

x +1

3x2 −1

5x2 − x + 2

1.24. ∫

dx.

1.12. ∫

3x −6

dx.

x3 − x +1

x2 +1

−4x +

1.25. ∫

dx.

1.13. ∫

x +3

dx.

x4 +1

+ 4x +

Завдання №2. Знайти інтеграли:

2 x

xdx

∫x

2.1. ∫

2.5.

x −1dx.

2.10. ∫

x +

x )

2.6.

∫x

1 + xdx.

2.11. ∫

2.2. ∫

2.7.

∫x2

x3 +1dx.

x +

∫ (9 − x2 )3

1 −4

2.3. ∫

2.8.

dx.

2.12. ∫

e2 xdx

1 +

4 x

x +

2.4. ∫

x3dx

2.13. ∫e

2.9.

∫

x −1

sh x

2.25. ∫

2.14.∫ 4ex−dxe2 x .

2.15.∫e x dxx .

2.16.∫ex +dx ex .

2.17.∫1 +dxe3 x .

2.18.∫e2 x2 +2 x−1 (2x +1)dx.

2.19. ∫xe−x2 dx. 2.20. ∫сdxh x .

∫sh x ch3 x

2.21. 1 +сh4 x dx.

sh2 x

2.22. ∫сh6 x dx. 2.23. ∫ ee24xxdx+1 .

2.24. ∫ln	1	+ x	dx
	1	− x		.
			x2 −1

dx . ex −1

Завдання №3. Знайти інтеграли:

3.1. ∫	cos xdx		dx.
	sin x
	e	−1
3.2. ∫	etgx +ctg x			dx.
	cos2 x

3.3.∫lnsintg2xx dx.

3.4.∫coslnx x dx.

3.5. ∫		sin xdx			.
	1	+ 4cos x +cos	2
				x

4tg xdx

3.6.∫ sin2 x .


3.7. ∫	sin 2xdx				.
3.7. ∫	2 2				.
	sin x −cos			x
3.8. ∫	sin 2xdx							.
3.8. ∫	25sin	2	x +9cos			2		.
	25sin		x +9cos				x

3.9.∫ coscosxdx2x .

3.10.∫ sincosxdx2x .

3.11.∫ 1sin+ 2cosxdx x .

3.12.∫sincos3 xdxx .

3.13. ∫ sin x cos5 xdx.

3.14. ∫sin x dx.
	x
3.15. ∫	dx	,	x		π
				<	2 .
	3cos2 x + 4sin2 x			<
	3cos2 x + 4sin2 x

3.16.∫cosdxx .

3.17.∫arctgch xex dx.

3.18.∫x12 cos 1x dx.

3.19.∫1sin+cosxdxx .

3.20.∫sin6 x cos xdx.

3.21. ∫		dx				.
	1 − x	2
			arcsin x
3.22. ∫	arcsin1 − x2 x dx.
3.23. ∫	arccos2		2x		dx.
	1 −4x			2
					xdx
3.24. ∫	ln arccos						.
	2
	1 − x		arccos x
3.25. ∫	arctg		x dx.
	(1 + x)			x

Завдання №4. Знайти інтеграли:

4.1.∫xe−xdx.

4.2.∫x2x dx.

4.3.∫x sh xdx.

4.4.∫x ln xdx.

4.5.∫ln (x + 4 + x2 )dx.

4.6.∫1x−−cossin xx dx.

4.7.∫xα ln xdx, α R.

4.8.∫(x2 −2x +3)ln (x +1)dx.

4.9.∫xcos(5x −7)dx.

4.10.∫xsin2 xdx.

xdx

4.11. ∫cos2 x . 4.12. ∫x tg2 2xdx.

4.13. ∫1x−−cossin xx dx.

Завдання №5. Знайти інтеграли: 5.1. ∫x3e−x2 dx.

5.2. ∫e x dx. 5.3. ∫x2e x dx.


5.4. ∫ln ln x dx.
		x
5.5. ∫	xln xdx		.
	2
		1 + x
5.6. ∫	ln (x2 −1)				dx.

5.7. ∫		x +1
		x sin		xdx.
5.8. ∫cos2 xdx.
5.9. ∫cos2 ln xdx.
5.10. ∫		ln sin x		dx.
		sin2 x

4.14.∫sin x ln tg xdx.

4.15.∫arctg xdx.

4.16.∫arccos(5x −2)dx.

4.17.∫x arcctg xdx.

4.18.∫x2 arcsin 2xdx.

4.19.∫x3arctg xdx.

arcsin x 4.20. ∫ x2 dx.

4.21. ∫arctg xdx.

4.22.∫xarccos x dx.

1− x2

4.23.∫x 1 − x2 arcsin xdx.

	arcsin		x
4.24. ∫			2	dx.

	2
		− x

4.25. ∫x2x dx.

5.11.∫cos x ln (1 +sin2 x)dx.

x2ex

5.12.∫(x + 2)2 dx.

5.13.∫x arctg x2dx.

5.14.∫e−xarcctg exdx.

5.15.∫xarccos 1x dx.

5.16.∫arctgx +1x dx.

5.17. ∫arcsin	x	dx.
	x +1

5.18.∫arcsin 12+xx dx.

5.19.∫ln2 xdx.


5.20. ∫		ln2 x				dx.
		x	2
				x
5.21.	∫	ln x			3		dx.
			x
								+ x2 )dx.
5.22. ∫ln2				(x +			1

Завдання №6. Знайти інтеграли:

6.1.∫earccos xdx.

6.2.∫x2 sin ln xdx.

6.3.∫cos ln xdx.

6.4.∫sin ln xdx.

6.5.∫xex sin2 xdx.

6.6.∫x2ex cos xdx.

6.7.∫xex sin xdx.

6.8.∫eax sin2 bxdx.

6.9.	∫	cos x 2
			e	x	dx.

6.10.∫sin x ch xdx.

6.11.∫e3x sin 2x − π dx.

6.12.∫3x cos xdx.

6.13.∫eax sin2 bxdx.

5.23.∫arcsin2 xdx.

5.24.∫x2 2x dx.

5.25.∫x2 sin 2xdx.

6.14.∫3x cos xdx.

6.15.∫earccos xdx.

6.16.∫e3x sin 2x − π dx.

6.17.∫sin x ch xdx.

6.18.	∫	cos x 2
			e	x	dx.

6.19.∫xex sin xdx.

6.20.∫x2ex cos xdx.

6.21.∫xex sin2 xdx.

6.22.∫sin ln xdx.

6.23.∫cos ln xdx.

6.24.∫x2 sin ln xdx.

6.25.∫eax cos2 bxdx.

РАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ

Завдання №1. Знайти інтеграли:

(5x −14)dx

1.1. ∫

x6 −2x4 +3x3 −9x2 + 4

dx.

1.5. ∫

x5 −5x3 + 4x

x3 − x2 −4x + 4

1.2. ∫

1.6. ∫

x4 −13x2

+36

6x3 −7x2 −3x

(

)

(

5x −3

)

1 dx

1.3. ∫

1.7. ∫

(x −2)(3x2 + 2x −1)

(

x2 −1

x2 −4

)

)(

4x2 + 4x −11

x5 + x4 −8

1.8. ∫

1.4. ∫

dx.

(2x −1)(2x +3)(2x −5)

x3 −4x

4x2 + 4x −11

1.9. ∫(2x −1)(2x +3)(2x −5)dx.

1.10. ∫(x −1)(x + 2)(x +3).

1.11. ∫x5 + x4 −2x3 −2x2 + x +1.

1.12. ∫x5 6− x +5 1 dx. x − x

1.13. ∫(x +1)(x + 2)2 (x +3)3 . 1.14. ∫(1x−2dxx2 )3 .

1.15. ∫(x −2)2 (x +3)3 .

(x −1)dx

1.16.∫(x −2)(x2 + x)2 .

1.17. ∫ x5dx . x4 −2x3 + 2x −1

Завдання №2. Знайти інтеграли:

2.1. ∫

2x3 + x2 +

5x +1

dx.

(

)(

)

− x +1

2.2. ∫

x4 +1

2.3. ∫

x3 −6

dx.

x4 +6x2 +8

2.4. ∫

(3x2 −2)dx

9x4 −13x2 + 4

2.5. ∫

x5 − x4 + x3 − x2 + x −1

2.6. ∫

x6 +1

2.7. ∫

(x + 2)(4x2 +8x +7)

2.8. ∫ dx . x3 +1

1.18.∫ x −1 4 dx.

x +1

1.19.∫x(xx2 −+11)3 dx.

1.20. ∫ dx . x3 − x2 − x +1

(x2 + 2)dx

1.21.∫(x −1)(x +1)2 .

1.22.∫x5 −2x2 +3 dx.

x2 −4x + 4

1.23. ∫(x −1)(x + 2)(x +3).

1.24. ∫ 3 dx2 . 6x −7x −3x

(x2 +1)dx

1.25.∫(x2 −1)(x2 −4).

2.9. ∫ x3dx . x3 −3x + 2

2.10.∫ x5dx .

x3 + 2


2.11. ∫	x3	+ x2			+ x +3		dx.
2.11. ∫	(x +3)		(	x	2	)	dx.
	(x +3)			x		+ x +1

x(x2 +1)dx

2.12. ∫(x +1)(x2 + 2x + 2).

∫2x4 −2x3 − x2 + 2 2.13. 2x3 −4x2 +3x −1 dx.

2.14.∫x4 −4x3 +5x2 +10x −10 dx.

x3 −3x2 + x +5

2.15.∫x3 + x +1 dx.

x4 −1

2.16.∫1x−4dxx4 .

2.17. ∫(x2 + 4x +5)(x2 −4x +3).

(21x2 −13x +18)dx

2.18.∫(3x2 −4x +6)(x2 −2x −3).

2.19. ∫			dx
						.
	1	− x + x3 − x4
(			)
2.20. ∫		7x2 −1 dx
					.
	x4		+ 4x2 −5
2.21. ∫	x4dx
				.
	x2		+ 4

Завдання №3. Знайти інтеграли:

3.1. ∫(x +1)2 (x2 +1).

(3x2 −2)xdx

3.2.∫(x + 2)2 (3x2 −2x + 4).

x2dx

3.3.∫(x +1)(x3 +1).

3.4.∫x3 + 2x2 +3x + 4 dx.

x4 + x3 + 2x2

3.5. ∫	dx			.
	x4 − x3 − x +1
3.6. ∫	3x2 + x +3				dx.
	(x −1)3	(	x2 +1
			)

(x4 +1)dx

3.7.∫(x −1)(x4 −1).

(3x2 + 2x +10)dx 3.8. ∫(x3 + x2 )(2x2 −4x +5).

3.9. ∫(x +1)(x2 +1)(x3 +1).

3.10. ∫x3 + x2 −4x +1 dx.

(x2 +1)2

3.11. ∫ x4 −2x2 + 22 dx.

(x2 −2x + 2)

∫ xdx

2.22. x3 +8.

2.23. ∫ ( dx ). (x +1) 9x2 +6x + 4

(5 − x)dx

2.24.∫(x −3)(x2 −5x +7).

(x3 + x2 )dx

2.25.∫(x −2)(2x2 − x + 2).

(x7 + 2)dx

3.12.∫x4 + 2x3 +3x2 + 2x +1.

						(		2x2 + 2x +13											dx
3.13. ∫						(											)					.
3.13. ∫	(			2				)(					3				2				)	.
	(		x					)(						−2x + x −2							)
			x				+1 x							−2x + x −2
3.14. ∫		x4			+ 2x2 +									4	dx.
3.14. ∫			(		x2 +				1			3			dx.
			(							)
3.15. ∫					x(x −2)dx													.
3.15. ∫		(x −1)2								(		x2		+1 2				.
										(					)
3.16. ∫								dx								.
3.16. ∫		x6 + 2x4 + x2														.
3.17. ∫			dx								.
3.17. ∫	(		x3 +1							2	.
	(							)
3.18. ∫		(3x4 + 4)dx
3.18. ∫		x2			(		x2 +1						3 .
					(							)
3.19. ∫			x			9dx						.
3.19. ∫	(		x4			−1				2		.
	(			(				)							)
			x	(		2x2									)
3.20. ∫			x			2x2				+ 2x −1 dx										.
3.20. ∫		(x −1)2								(		x2		+ x +1 3						.
										(							)

3.21. ∫(x +1)(x2 + x +1)2 .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202528 Кб1I питання.docx
#
18.09.2019271 Кб8IGJHF.docx
#
01.05.2025176 Кб1indz_teor_i_metod.doc
#
01.05.202565 Кб0Infekc_krov_kishkovi_OMZ.doc
#
01.07.20251 Мб2Infektsiyna_bezpeka.doc
#
22.02.2016440 Кб7integral.pdf
#
01.05.2025126 Кб3invalidi.docx
#
22.12.2018321 Кб13INVEST_Prakt_Zan.doc
#
01.07.202574 Кб2issers_lekzia8.doc
#
23.12.2018352 Кб1ist_Ukr_1.doc
#
14.04.2019341 Кб3ist_Ukr_1.doc