Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПМ-ДМ-Практ2007-2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2016

Размер:

639.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 12

МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ IНДУКЦIЇ

Основнi поняття: Метод математичної iндукцiї

Основнi завдання :

1. Довести, що для всiх n 2 N виконується рiвнiсть:

n(n+1)

1) 1

+ 2

+ : : : + n

;

+ : : : +

;

1¢4

4¢7

(3n¡2)¢(3n+1)

3n+1

2) 1

n 1

1 n(n+1)

1! + 2

+ 1)!

+ : : : + (

1) ¡ n

= (

1) ¡

¡1

;

2n+1

3) ¡1 ¡

1 ¢¡1 ¡ 9 ¢: : : ³1 ¡

´ = ¡

2n¡1

;

+ : : : +

n2+3n+2

2n+4

(2n¡1)2

2. Довести, що для довiльного n 2 N:

n+2

2n+1

1) (11

+ 12

4) (n

+ 6n

).133;

+ 11n + 6n).24;

2) (10

¡ 4

5) (n

+ 3n).9;

+ 6n).7;

n+1

6) (7 ¢ 5

n .

3) (5

¡ 4n ¡ 5).16;

+ 12 ¢ 6 ).19.

3. Довести, що при будь-якому n 2 N виконуються нерiвностi:

(2n)!

;

+ : : : +

> 2413 ;

n+1

(n!)2

n+2

n+3

2n+2

2) 21 ¢ 43 : : :

2n2¡n 1

;

4) 2n > n2 (n > 4).

3n+1

Додатковi завдання :

1. Довести, що при будь-якому n

2 N

виконуються нерiвностi:

1) n2

n > n! (n ¸ 6);

2) n3

n < n!.

Довести, що n рiзних прямих, якi лежать у площинi, попарно непаралельнi

¡ ¢

+n+2

i жоднi три не проходять через одну точку, подiляють площину на

частини.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 15

КОМБIНАТОРИКА Перестановки. Розмiщення. Комбiнацiї

Основнi поняття: Перестановки розмiщення, комбiнацiї (з повтореннями та без). Формули числа перестановок, розмiщень i комбiнацiй.

Основнi завдання :

1.Розв’яжiть наступнi задачi:

1)Скiлькома способами можна розподiлити 3 бiлета серед 20 студентiв: а) бiлети в рiзнi театри; б) рiвноцiннi бiлети в один театр (в обох випадках кожен студент може отримати не бiльше одного бiлета)?

2)Скiльки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (всi цифри утвореного числа можуть повторюватися)? Скiльки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (всi цифри утвореного числа повиннi бути рiзними)?

3)У школi навчається 1200 учнiв. Довести, що принаймнi двоє з них мають однаковi iнiцiали.

4)Скiлькома способами можна зробити триколiрний прапорець з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є тканина 6 рiзних кольорiв? Розв’яжiть цю задачу за умови, що один з кольорiв має бути червоним.

5)Скiлькома способами можна присудити золоту, срiбну i бронзову медалi на змаганнях, в яких беруть участь 15 чоловiк?

6)З 52 делегатiв конференцiї треба обрати президiю з 5 чоловiк i делегацiю з 3 чоло-

вiк. Скiлькома способами можна здiйснити якщо: а) члени президiї можуть входити до складу делегацiї; б) члени президiї не повиннi входити до складу делегацiї?

7)Скiлькома способами можуть випасти 3 гральнi костi так, що всi гранi, що опинилися нагорi, або однаковi, або всi рiзнi?

8)На шкiльному вечорi присутнi 12 дiвчат i 15 юнакiв. Скiлькома способами можна вибрати з них 4 пари для танцiв?

9)Є колода iз 36 гральних карт. Скiлькома способами можна вибрати 5 карт так, що

серед них опиняться: а) 5 послiдовних карт однiєї мастi; б) 4 карти iз 5 одного номiналу; в) 3 карти одного номiналу i 2 iншого; г) 5 послiдовних карт (можливо рiзних мастей)?

10)Рота складається з 3 офiцерiв, 6 сержантiв i 60 рядових. Скiлькома способами можна видiлити з них загiн, що складається з 1 офiцера, 2 сержантiв i 20 рядових? Розв’язати задачу за умови, що до загону повинен увiйти командир роти i старший iз сержантiв.

11)Скiлькома способами можна 15 шахiстiв подiлити на три команди по 5 осiб?

12)З 10 рiзних квiток треба скласти букет так, щоб у ньому було не менше двох квiток. Скiлькома способами можна скласти такий букет?

2.Доведiть рiвностi:

1) Cm + 2Cm+1		+ Cm+2	= Cm+2;	2) CkCr = Ck¡rCr.
n	n	n	n+2	n k n¡r n

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 16

КОМБIНАТОРИКА Перестановки. Розмiщення. Комбiнацiї

Основнi поняття: Перестановки розмiщення, комбiнацiї (з повтореннями).

Основнi завдання :

1.Розв’яжiть наступнi задачi:

1)У лiфт 12-поверхового будинку зайшло на першому поверсi 10 чоловiк. Скiлькома способами вони можуть вийти з лiфта? Розв’яжiть задача для випадку, коли враховується лише кiлькiсть пасажирiв, що вийшли на кожнiй зупинцi?

2)На залiзничнiй станцiї є m свiтлофорiв. Скiльки рiзних сигналiв можна подати за їхньою допомогою, якщо кожний свiтлофор має 3 сигнали - червоний, жовтий i зелений?

3)Два листоношi повиннi вiднести 10 листiв. Скiлькома способами вони можуть розподiлити мiж собою роботу?

4)Скiльки рiзних слiв можна утворити, переставляючи букви слова: а) "мама"; б) "паралелограм"?

5)Скiлькома способами можна роздiлити 15 рiзних предметiв мiж трьома особами так, щоб кожна особа одержала 5 предметiв?

6)Скiлькома способами можна розподiлити 20 футбольних команд на 4 пiдгрупи по 5 команд у кожнiй? Розв’язати двома способами.

7)У поштовому вiддiленнi зв’язку продаються листiвки 10 видiв. Скiлькома способами

можна купити: а) 12 листiвок; б) 8 листiвок; в) 8 рiзних листiвок?

8)Запишiть усi комбiнацiї з повтореннями з трьох елементiв , b, c по три.

2.Знайти коефiцiєнт при tk в розкладi:

1) (1 ¡ 3t2)8, k = 9;

2) (2 ¡ t3)10, k = 5.

Додатковi завдання :

1. Карта мiста являє собою прямокутник, який роздiляють 6 горизонтальних та 5 вертикальних вулиць. Скiльки iснує найкоротших маршрутiв вiд пiвнiчно-схiдного краю мiста до пiвденно-захiдного? Розв’яжiть задачу для випадку, коли через перехрестя 4-ї горизонтальної та 3-ї вертикальної вилиць пройти неможливо.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 17

КОМБIНАТОРИКА Бiномiальна та полiномiальна формули

Основнi поняття: Бiномiальнi коефiцiєнти. Властивостi бiномiальних коефiцiєнтiв. Трикутник Паскаля. Формула кiлькостi розбиттiв. Полiномiальна формула. Формула включення-виключення.

Основнi завдання :

1.Розв’яжiть наступнi задачi:

1)Сума бiномiальних коефiцiєнтiв розкладу ¡2nx + 2nx1 2 ¢3n дорiвнює 64. Визначити доданок, що не мiстить x. ³ ´n

2) Сума бiномiальних коефiцiєнтiв з непарними номерами в розкладi ax + x¡41

до-

рiвнює 512. Знайти доданок, що не мiстить x.

3)При яких значеннях x четвертий доданок розкладу (5+2x)19 бiльший за два сумiжних з ним доданки?

4)Який найбiльший коефiцiєнт розкладу (a+b)n, якщо сума всiх коефiцiєнтiв дорiвнює

4096?

У розкладi µ

10 a7

+ qb3 ¶ є член, що мiстить ab. Знайти5цей член.

Сума коефiцiєнтiв другого i третього доданкiв розкладу

Записати член, що не мiстить x.

¡ 2 px ´

дорiвнює 25,5.

+ p3

При якому значеннi x четвертий доданок розкладу

2n¡1

2¡n

в 20 разiв бiль-

ший

, якщо бiномiальний коефiцiєнт четвертого

доданка вiдноситься до бiномiального

коефiцiєнта другого доданка як 5:1?

n не залежить вiд x.

Визначити An2 , якщо п’ятий доданок розкладу

+ 1

бiном

+3, щоб вiдношення четвертого

До якого натурального степеня слiд пiднести

доданка розкладу до третього дорiвнювало 3p

10)Розв’язати рiвняння: a) A2xCxx¡1 = 48; b) A3x ¡ 2Cx4 = 3A2x; c) Axx¡+11 + 2Px¡1 = 307 Px.

11)Довести тотожностi: a) Pn = (n ¡ 1)(Pn¡1 + Pn¡2); b) CnkCnm¡¡kk = Cmk Cnm.

2.Розв’яжiть задачi, користуючись формулою включення-виключення:

1)У класi 35 учнiв. З них 20 вiдвiдують математичний гурток, 11 - фiзичний, 10 учнiв не вiдвiдують жодного з цих гурткiв. Скiльки учнiв вiдвiдують обидва гуртки? Скiльки учнiв вiдвiдують лише математичний гурток?

2)У вiддiлi науково-дослiдного iнституту працюють декiлька чоловiк, кожен з яких знає хоча б одну iноземну мову. Шiсть з них знають англiйську мову, шiсть – нiмецьку, сiм – французьку, чотири знають англiйську i нiмецьку, три – нiмецьку i французьку, два – французьку i англiйську; один знає всi три мови. Скiльки чоловiк працює у вiддiлi? Скiльки з них знає лише англiйську (нiмецьку, французьку) мову?

Додатковi завдання :

1.Розв’яжiть задачi, користуючись формулою включення-виключення:

1)Чотири людини здають свої капелюхи в гардероб. Використовуючи припущення про те, що капелюхи повертають їм навмання, знайдiть ймовiрнiсть того, що точно k осiб отримають саме свої капелюхи. Розглянути всi значення k (k = 0; 1; 2; 3; 4).

2)Знайдiть число натуральних чисел, якi не перевищують 1000 i не дiляться на жодне з чисел 3, 5 та 7.

3)Знайдiть число простих чисел, якi не перевищують 100.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 18

ТЕОРIЯ ГРАФIВ Орiєнтовнi та неорiєнтовнi графи

Основнi поняття: Орiєнтованi i неорiєнтованi графи. Пiдграфи. Локальнi степенi вершин i ребер. Графи i бiнарнi вiдношення. Матрицi сумiжностi та iнцидентностi. Сумiжнi графи.

Основнi завдання :

1.Побудувати неорiєнтований граф, який має такi властивостi:

1)7 вершин, з яких 3 iзольованi та 1 вися- 2) 6 вершин, з яких 2 висячi; 8 ребер та 2

ча; 5 ребер;

петлi.

Для побудованого графа визначити: 1) якi вершини мають максимальну та мiнiмальну степiнь; 2) чи є даний граф однорiдним; 3) бiнарне вiдношення, яке вiдповiдає цьому графу, та його властивостi.

2. Для графiв, зображених на рисунках, побудувати матрицi сумiжностi (за вершинами) та iнцидентностi:

1)	v2	6	6
		e	v

e	v
2	5
v
3
e1	e5
e	e5
3
	v
e4	4
e4
v
1

2)	v	e	v
	2	2	3

e	e6	e3
1	e6
1
		v
		5
v	e	v
v	e	4
1	5	e4
		e4

3. Побудувати граф за матрицею сумiжностi:											0	1	1	1 1
1)	0	0	1	0	1	1	1	2)	0	1	0	1	1	1 1
		1	0	1	1	0				1	0	0	0	1
	B	1	1	1	0	0	C		B	0	1	0	0	1	C
	B	0	0	0	1	1	C		B	1	1	1	1	1	C
	B	1	1	0	0	1	C		B	0	0	0	1	1	C
	@						A		@						A

4. Знайдiть на рисунках пари iзоморфних графiв:

5.Використовуючи основнi властивостi графiв, розв’яжiть наступнi задачi:

1)Три сусiди, що посварилися, мають три спiльних колодязi. Чи можна провести дорiжки вiд кожного будинку до кожного колодязя так, щоб дорiжки не перетиналися?

2)На симпозiум з проблем лiчби приїхало 27 учених зi свiтовими iменами. Кожен учений стверджував, що вiн особисто знайомий iз 7 iншими вченими, що прибули на симпозiум. Доведiть, що хтось iз учених помилився в пiдрахунках.

3)Чи можна на площинi побудувати 9 вiдрiзкiв так, щоб кожний перетинався рiвно з трьома iншими?

Додатковi завдання :

1.Довести, що в довiльному скiнченному графi без кратних ребер та петель знайдуться двi вершини однакового степеня.

2.Знайдiть кiлькiсть рiзних неiзоморфних дерев на чотирьох вершинах. Неiзоморфних графiв на чотирьох вершинах.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 19

ТЕОРIЯ ГРАФIВ Маршрути та вiдстанi. Зв’язнiсть графiв.

Основнi поняття: Маршрут. Ланцюг. Простий ланцюг. Цикли. Досяжнiсть вершини. Зв’язнi графи (компоненти зв’язностi). Вiдстань мiж вершинами. Ексцентриситет вершини. Дiаметр, радiус та центр графа. Матрицi досяжностi та вiдстаней. Зв’язнi та двозв’язнi графи. Стоки та джерела ографа. Точки зчленування та мости графа.

Основнi завдання :

1. Для графiв, зображених на рисунках, побудувати матрицi досяжностi та вiдстаней. Знайти ексцентиситет кожної вершини, дiаметр, радiус та центр графа.

1)	v	v	v	2)	v	3)	v		4)	v
1)	v	5	v	2)	3	3)	5		4)	v
	2		3							2
									v
								v2	3
								v2
				v	v	v
				v	7	v
	v			2		4		v
			v					v
			v					6
	6		7
					v
					6
							v	v	v
							v	v	7
	v		v				1	4		v
	v		v							v
	1		4	v		v				1
				v		v
				1		5

v	v
5	v
	3
	v
	7
v	v
v	4
6

2. Для ографiв, зображених на рисунках, побудувати матрицi досяжностi та вiдстаней. З’ясувати чи є ограф сильно, слабко або односторонньо зв’язним. Видiлити компоненти сильної зв’язностi, побудувати ограф кондинсацiї. Знайти всi джерела та стоки ографа.

1)	v	v	v	2)	v	v
	3	v	v		2	v
		5	6		2	3
				v		v
				1		4

v	v
4
v2	7

			v	v
v	v	v	5	6
		v
		7
1	8

3. Для графiв, зображених на рисунках, знайти всi точки зчленування та мости. Видiлити компоненти (вершинної) двозв’язностi.

1)	v2	5
	v2	v

2)	v2

v	v	v
3	6	v
		7

v	v	v
v	4	6
3

v	v	v
v	7	8
1

v	v	v
1	4	5

Додатковi завдання :

1.Довести, що в зв’язному графi довiльнi два простих ланцюга найбiльшої довжини мають хоча б одну спiльну вершину. Чи правда, що вони завжди мають спiльне ребро.

2.Граф (без петель i кратних ребер) називається самодоповнюваним, якщо вiн iзоморфний своєму доповненню. 1) Довести, що серед 4-вершинних графiв є лише один самодоповнюваний. 2) Довести, що самодоповнюваний граф є зв’язним.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 20

ТЕОРIЯ ГРАФIВ Ейлеровi та гамiльтоновi графи

Основнi поняття: Ейлеровий ланцюг, цикл, граф. Критерiй iснування ейлерового циклу в графi. Метод Фльорi побудови ейлерового циклу. Гамiльтонiв маршрут, цикл, граф. Необхiднi та достатнi умови iснування гамiльтонового циклу.

Основнi завдання :

1. Для графiв, зображених на рисунках, з’ясувати 1) чи є графи ейлевовим (вiдповiдь обргунтувати) i, у разi позитивної вiдповiдi, знайти ейлеровий цикл методом Фльорi; 2) чи є граф гамiльтоновим (вiдповiдь обргунтувати); 3) у разi негативної вiдповiдi на перше або друге запитання, дослiдити граф на наявнiсть нециклiчних ейлерових або гамiльтонових шляхiв:

1) v2

3	2)	v	3
v			v
		2
v			v
6			5

	v
	6
	v
v	1
4

4	3)
v

3	4)
v

v	v	v	v
v	7	8	v
2			4
			v
			3
v	v		v
1	v		5
	6

v	v
5	6

v	v
v	8
1
v2

2. [Задача про кенiгсбергзькi мости] На рисунках зображено схеми мiст, якi стоять на берегах на островах рiчки. З’ясувати, 1) чи можна обiйти всi мости по одному разу i повернутися в початкове положення; 2) чи можна просто обiйти всi мости по одному разу?

3.Чи може шаховий кiнь обiйти шахову дошку розмiром 8£8 так, щоб кожен хiд зустрiчався тiльки 1 раз (вважаємо, що хiд ”зустрiчається”, якщо кiнь перемiстився iз однiєї клiтини в iншу або навпаки). Те саме питання для короля та лад’ї. Як змiниться ситуацiя на дошцi розмiром 7 £ 7?

4.Розглянувши схеми мiст, якi зображено на рисунках до задачi 2, з’ясуй-

те, чи 1) можна побувати на всiх берегах (островах) рiчки по одному разу i повернутися в початкове положення; 2) чи можна просто побувати на всiх берегах (островах) рiчки по одному разу?

Додатковi завдання :

1.Довести, що вiдсутнiсть висячих вершин та (вершинна) двозв’язнiсть є необхiдними умовами гамiльтоновостi.

2.Скiльки гамiльтонових циклiв є в повному графi з 4, 5, 6 та 7 вершинами?

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 21

ТЕОРIЯ ГРАФIВ Алгоритми на графах – 1

Основнi поняття: Пошук у шинину (BFS). Знаходження найкоротших шляхiв. Пошук у глибину (DFS). Перевiрка ациклiчностi графа.

Основнi завдання :

1. Застосувати алгоритм пошуку в ширину (BFS) (детально для вершини позначеної на рисунку пунктирним колом, а для решти вершин зобразити лише дерево найкоротших шляхiв (видiливши дуги по яких дiйсно вiдбувається перехiд)).

1)	v2	3
		v
		v
		8

v	2)	v	3	v	3)	v	5		6
			v				v		v
4		2		4		2
v		v		v		v
v		v		5		v
5		1				3	v	v	v
									v
									7
							1	8

v	v	v	v
6	8	v	6	v
		7		v
				4

2. Застосувати алгоритм пошуку в глибину (DFS) (детально для вершини позначеної на рисунку пунктирним колом, а для решти вершин зобразити лише дерево найкоротших шляхiв (видiливши дуги по яких дiйсно вiдбувається перехiд)).

1)	3	2)	3	3)	3
	v		v		v

v2 v

	v
v	6
v	v
2	4

				v
				7		v2		v
						v2		v
							v	4
	v						v
	v						7
	7	v				v
v		v	v			v
v		5	v			5
1			1
		v			v
		6			v			v
					6	v		v
						v		5
						1

Додатковi завдання :

1.Реалiзувати алгоритми BFS та DFS на однiй з мов програмування (вважаючи, що графи задаються матрицею сумiжностi або списком сумiжностi).

2.Реалiзувати на основi DFS програму, яка б могла з’ясувати, чи є в заданому ографi цикл (вважаючи, що графи задаються матрицею сумiжностi або списком сумiжностi).

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 22

ТЕОРIЯ ГРАФIВ Алгоритми на графах – 2

Основнi поняття: Алгоритми пошуку найкоротших шляхiв у зважених графах: алгоритм Дейкстрi; алгоритм Флойда.

Основнi завдання :

1. Знайти найкоротшi вiдстанi вiд вказаної вершини зваженого ографа (заданого матрицею сумiжностi) до всiх iнших за допомогою алгоритму Дейкстрi:

0 5

¡0

¡ ¡

¡2

0 ¡

¡0

¡ ¡4

19 ¡ 1

0 ¡ 18 ¡ ¡ ¡ ¡

0 5

¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡0

C; v7;

15 16¡

¡0 10¡ ¡2

; v7;

¡ 12¡ ¡2

¡ ¡

4 3

¡0

¡5

¡3 20 0

12¡ ¡16

¡0

¡5

¡0

18¡

7 2 0

¡0

1 3

¡ 16¡ ¡8

0 ¡

¡ ¡

C; v4:

¡ ¡ ¡3

¡0

¡7

¡2

¡0

; v6;

19 12¡

12 6 8

¡ ¡

¡8 1 0 11

18 8

¡0

¡2

¡ ¡

2. Побудувати матрицю вiдстаней за допомогою алгоритму Флойда для графiв iз попереднього завдання.

	ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика	2007–2008
	Спецiальнiсть: прикладна математика

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 23

ТЕОРIЯ ГРАФIВ

Планарнi графи. Розфарбування графiв.

Основнi поняття: Планарнi графи. Формула Ейлера. Теорема ПонтрягiнаКуратовського. Теорема про 5 фарб.

Основнi завдання :

1. Застосувавши теорему Понтрягiна-Куратовського з’ясуйте, чи є планарними графи:

n ñåêöié n ñåêöié

2.Довести, що графи K5 i K3;3 не є планарними (доведiть i скористайтеся оцiнкою q · 3p ¡ 6, де q – кiлькiсть ребер, p – кiлькiсть вершин планарного графа).

3.Знайти храмотичне число та хроматичний iндекс (реберно-хроматичне число) наступних графiв (1: Â = 3; Â0 = 3; 2: Â = 3; Â0 = 4; 3a: Â = 3; Â0 = 4; 3б:

Â = 2; Â0 = 4):

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.2016148.48 Кб7Плани занять.doc
#
01.07.2025103.94 Кб0Плани сем робіт.doc
#
07.11.201879.87 Кб5ПЛАНИ СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ з Історії історичної....doc
#
08.11.2019144.9 Кб3Плани семінарських занять.doc
#
22.02.201660.42 Кб33Плоские черви.doc
#
22.02.2016639.19 Кб16ПМ-ДМ-Практ2007-2008.pdf
#
01.04.2025102.91 Кб1по_диплому.doc
#
01.07.202594.21 Кб0Поетика-фольклору-прогр..doc
#
22.02.201646.15 Кб16Полісся.docx
#
11.09.2019929.28 Кб5Політ екзамен.doc
#
17.09.2019354.3 Кб1політек.doc

1)	v	v	v	2)	v	3)	v		4)	v
1)	v	5	v	2)	3	3)	5		4)	v
	2		3							2
									v
								v2	3
								v2
				v	v	v
				v	7	v
	v			2		4		v
			v					v
			v					6
	6		7
					v
					6
							v	v	v
							v	v	7
	v		v				1	4		v
	v		v							v
	1		4	v		v				1
				v		v
				1		5

1)	v	v	v	2)	v	3)	v		4)	v
1)	v	5	v	2)	3	3)	5		4)	v
	2		3							2
									v
								v2	3
								v2
				v	v	v
				v	7	v
	v			2		4		v
			v					v
			v					6
	6		7
					v
					6
							v	v	v
							v	v	7
	v		v				1	4		v
	v		v							v
	1		4	v		v				1
				v		v
				1		5

1)	v	v	v	2)	v	3)	v		4)	v
1)	v	5	v	2)	3	3)	5		4)	v
	2		3							2
									v
								v2	3
								v2
				v	v	v
				v	7	v
	v			2		4		v
			v					v
			v					6
	6		7
					v
					6
							v	v	v
							v	v	7
	v		v				1	4		v
	v		v							v
	1		4	v		v				1
				v		v
				1		5