Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ПМ-ДМ-Практ2007-2008

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
639.19 Кб
Скачать

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА

2007–2008

Спецiальнiсть: прикладна математика

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 25

МОДУЛЬНА АРИФМЕТИКА Теорема Ейлера. Розв’язання конгруенцiй

Основнi поняття: Конгруентнi числа. Повна та зведена система лишкiв. Теорема Ейлера, Ферма. Китайська теорема про лишки.

Основнi завдання :

1. Знайти залишок вiд дiлення

1)

6100 на 35;

 

 

 

 

2)

1010 + 10100 + : : : + 101010 на 7.

2. Довести, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

99

100

 

 

31

;

3)

1110

¡

1

 

100

30101+ 61

101дiлиться на

 

120

 

 

дiлиться на ;

2)

43

+ 23

 

дiлиться на 66;

4)

7

 

 

¡ 1 дiлиться на 143.

3. Розв’язати конгруенцiї 1-ої степенi (двома способами):

1)

5x ´ 3

mod 12;

 

 

 

3)

9x ´ 6

mod 3;

2)

6x ´ 7

mod 3;

 

 

 

4)

256x ´ 179

mod 337.

4. Розв’язати систему конгруенцiї:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

n

x ´ 2

mod 5

;

 

 

3)

n

4x ´ 3

mod 7 ;

 

x

8

mod 11

 

 

 

 

5x

 

4

mod 6

 

17´x

7

mod 2

 

 

 

 

3x ´

5

mod 7

2)

(

 

´

 

 

 

 

 

4)

(

 

 

 

´

 

 

2x

´

1

mod 3

 

 

 

2x

´

3

mod 5

2x

2

mod 5 ;

 

 

 

3x

3

mod 9 .

 

 

 

´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´

 

 

5. Розв’язати рiвняння в цiлих числах:

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 5x + 4y = 3;

 

 

 

 

2) 17x + 13y = 1.

6.На прямiй 8x ¡ 13y + 6 = 0 знайти число цiлих точок, що лежать мiж прямими x = ¡100 i x = 100.

7.В магазинi є дошки шириною 15см i 17см. Скiльки їх треба купити, щоб не розрiзаючи застелити пiдлогу прямокутної кiмнати 400см £ 566см (всi дошки мають довжину 4м)? Якi дошки i скiльки їх треба купувати, щоб заплатити за матерiали найменшу цiну?

Додатковi завдання :

1. Знайти всi значення параметра a, при яких має розв’язок система

½

2x ´ a mod 4 .

3x ´ 4 mod 10

2. Знайти хоча б одне значення параметра a, при якому не має розв’язкiв

система

 

x

3

mod 6

½ x ´´

7

mod m .

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА

2007–2008

Спецiальнiсть: прикладна математика

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 26

МОДУЛЬНА АРИФМЕТИКА Задачi з теорiї чисел

Основнi поняття: Конгруентнi числа. Повна та зведена система лишкiв. Теорема Ейлера, Ферма. Китайська теорема про лишки.

Основнi завдання :

1. Розв’язати рiвняння в цiлих числах:

1) 21x + 19y = 5;

2) 13x + 7y = 1.

2. Один фермер витратив 1000 доларiв на купiвлю 100 рiзних тварин. Кожна корова коштувала 100 доларiв, свиня – 30 доларiв, вiвця – 5 доларiв. Скiльки голiв худоби кожного виду вiн купив.

3. Iнший фермер витратив 1800 доларiв на купiвлю 100 рiзних тварин. Кожна корова коштувала 72 долари, свиня – 36 доларiв, вiвця – 6 доларiв. Вiдомо, що корiв було куплено бiльше нiж свиней. Скiльки голiв худоби кожного виду вiн купив.

4. Розв’язати систему конгруенцiї:

1)

n

x + 3y

5

mod 7

;

3)

n

y 15

mod 15

4x ´´

5

mod 7

7x ¡93y´´ 1

mod 12 .

5. (Старинная французская задача). Женщина несла на рынок корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул корзину и разбил яйца. Желая возместить ущерб, он спросил сколько было яиц в корзине. "Точно не помню, – ответила женщина, – но когда я раскладывала яйца по 2,3,4,5,6 яиц, то в корзине оставалось 1 яйцо, а когда по 7, то ничего не оставалось". Сколько было яиц?