3. Фактор-кільця і гомоморфізми.

Встановимо зв’язок між поняттям фактор-кільця і поняттям гомоморфізму кільця.

Нехай гомоморфізм кільцяК в кільці К^′. В §3 показано, що ядро Kerfцього гомоморфізму є ідеалом кільця К. Тому можна говорити про фактор-кільце К/Kerf кільця К за ядром гомоморфізму . Як бачимо, кожен гомоморфізм визначає деяке фактор-кільце.

Виявляється, що і навпаки: якщо дано фактор-кільце К⁄І, поставивши у відповідність кожному елементу аКсуміжний клас а+І. Цей епіморфізм х: К→К⁄І, ядром якого служить ідеал І. Цей епіморфізм називається канонічним гомоморфізмом. Гомоморфність так заданого відображення показується так:

а,bK:x(a)=a+I, x(b)=b+I,

Тоді

x(a+b)=(a+b)+ I=(a+I)+(b+I)=x(a)+x(b),

x(ab)=ab+ I=(a+I)(b+I)=x(a)x(b).

Теорема 5. (про гомоморфізми) Для всякого епіморфізму існує однозначно означений гомоморфізм кільця К∕Ker на кільце К′ такий, що епіморфізм є результатом послідовного застосування канонічного гомоморфізмуx: К→К∕Kerf, а потім

4. Конгруенції за модулем

Якщо K - область цілісності з І і- головний ідеал, породжений елементом, то всякі елементи, які конгруентні за ідеалом, називають конгруентними за модулемі записують, це так:

Суміжні класи кільця K - за ідеалом іназивають в даному випадку суміжними класами за модулем. Будь-який елемент суміжного класу називають часто лишком цього класу. Тому суміжні класи за модулемчасто називають класами лишків за модулем.

Теорема 7. Елементи конгруентні між собою за моду­лемтоді і тільки тоді, коли

Доведення. Якщо , тотобтонавпаки, якщо, то,тобто,і,значить,. Відзначимо деякі властивості конгруенцій за модулем. Ос­новні властивості конгруенцій сформульовані в теоремі І. Із цієї теореми випливає, зокрема, що почленне додавання і множення конгруенцій за одним і тим же модулем не приводить до порушення конгруентності. Конгруентність не порушується ще й при таких перетвореннях:

1. додавання до обох частин конгруенції одного і того ж елемента;

2. перенесення з протилежним знаком будь-якого доданка з одні­єї частини конгруенції в другу;

3. додавання до однієї частини конгруенції елемента, кратного модулю;

4. множення обох частин конгруенції на будь-який елемент;

5. ділення обох частин конгруенції на їх спільний дільник, що взаємно простий з модулем;

6. множення обох частин конгруенції і модуля на довільний еле­мент;

7. ділення обох частин конгруенції і модуля на їх довільний спільний дільник.

Доведення непорушності конгруентності при вказаних перетвореннях

тривіальне і проводиться цілком аналогічно, як і для цілих чисел

(див. наприклад, О.І.Бородін, Теорія чисел, §15).

Вкажемо ще одну просту і важливу властивість конгруенцій.

Якщо елементи конгруентні за модулем, то вони конгруентні і за їх найменшим спільним кратним

Справді, із конгруенцій випливає, тобтоє спільним кратним чиселі, значить, елементділиться, звідки випливає потрібна конгруенції

.

§6. Класи лишків кільця цілих чисел за модулем .

1.Конгруенції та класи лишків за модулем

В цьому параграфі застосуємо результати попереднього параграфу до кільця цілих чисел.

Насамперед зауважимо, що, як це показано в §2, кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів - всякий ненульовий ідеал вє сукупністю чисел, кратних деякому натуральному числу, його можна записувати у вигляд. Тому конгруенції в цьому кільці є конгруенціями за модулем, Нагадаємо, що за означенням числаконгруентні за модулем, якщо їх різницяділиться націло на. За теоремою 3 §5 числаконгруентні затоді і тільки тоді, коли існуєтаке, що. Для цілих чисел справедливий ще один критерій конгруентності.

Теорема 1. Цілі числа a і b конгруентні за модулем тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові остачі при діленні на.

Доведення. За теоремою про ділення з остачею

Звідки . Оскільки перший доданок даної суми ділиться на, то вся сума ділиться натоді і тільки тоді,коли наділиться другий доданок. Ос­таннє, внаслідок того,можливе тоді і тільки тоді, коли, тобто.

З теореми 2 §5 випливає, що сукупність чисел, конгруентних між собою за , співпадає з деяким суміжним класом кільцяза ідеалом. Через це сукупність чисел, конгруентних між собою за, називається класом чисел,конгруентних за, а будь-яке число із цього класу його представником або лишком. Тому клас чисел,конгруентних за модулемще назива­ють класом лишків кільця цілих чисел за модулем.

Як відомо, сукупність суміжних класів кільця K за ідеалом утворює розбиття цього кільця, яке само є кільцем відносно операцій додавання та множення класів - фактор-кільцем K/, Тому сукупність класів лишків кільця цілих чисел за модулемутворює фактор-кільце. З теореми І виходить, що фактор-кільцеє скінченим і міститьрізних класів.

Справді, кожен клас лишків є сукупність всіх цілих чисел, що при діленні надають одну і ту ж остачу. Оскільки всіх остач є- 0,1,2,...,— кожна з них міститься в одному і тільки в одному класі лишків та, навпаки, кожен клас містить одну з цих остач, то всіх різних класів лишків є.

Класи лишків за модулемпозначають часто через, де— остача чисел даного класу при діленні на . Випишемо їх:

Якщо з кожного класу чисел за модулем взяти по одному і тільки, по одному лишку, то одержана система чисел називається повною системою лишків модулем. Найчастіше за повну систему лишків за модулемвибирають найменші невід’ємні лишки 0,1,2,...,або абсолютно найменші лишки, тобто лишки, які в своїх класах є найменшими за абсолютною величиною. За модулем 10, наприклад, повною системою найменших невід'ємних лишків є:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

а повною системою абсолютно найменших лишків є

0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1

Або

0,1,2,3,4,-5,-4,-3,-2,-1. Крім повних систем лишків, в теорії чисел важливу роль відіграють так звані зведені системи лишків. Щоб підійти до цього поняття, зауважимо, що числа одного і того ж класу в силу відомого співвідношення

Мають модулем один і той же найбільший спільний дільник. Зокрема, всі числа одного і того ж класу є одночасно взаємно простими забо взаємно не простими з, тобто можна говорити про класи чисел, взаємно простих а модулем. При цьому класє взаємно простим за модулемтоді і тільки тоді, Коли. Це означає, що класів чисел, взаємно простих з модулем, є стільки, скільки є чисел, меиших віді взаємно простих, тобто,. Явдо з кожного класу лишків, взаємно простих за модулем, взяти по одному і тільки по одному лишку, то одержана сукупність чисел називається зведеною системою лишків за модулем. Щоб зведену систему, треба з повної системи ликів за модулемвибрити числа, взаємно прості з.