§5. Конгруенції та фактор кільця за ідеалом.

1. Конгруенції комутативного кільця К за ідеалам І.

Крім алгебраїчних операцій в кільці К можуть бути введені і деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. З алгебраїчної точки зору інтерес представляють тільки такі відношення еквівалентності, які певним способом узгодженні з операціями, означеними в кільці.

Означення. Говорять, що відношення еквівалентності ab в комутативному кільці К узгоджено з алгебраїчними операціями цього кільця, якщо:

(a, b, c, dє К):(ab)(c d)(a + c  b + d)(ac  bd)

Прикладом відношення еквівалентності, узгодженого з операціями кільця, служить відношення конгруентності за модулем ідеалу.

Означення. Говорять, що елементи a, b комутативного кільця конгруентні між собою, за ідеалом ІК і за модулем ідеалу І, якщо a - bІ, і записується це так:

a  b(modI)

Теорема 1. Відношення конгруентності за ідеалом І кільця К відношенням еквівалентності в К, узгодженим з операціями К.

Доведення. Оскільки кожен ідеал І кільця К є підкільцем, отже, і підгрупою групи цього кільця, то перевірка того, що відношення конгруентності за ідеалом І є відношення еквівалентності. Узгодженим з операцією додавання, приводиться точно так, як і в теорії груп. І тому зараз проводити її не будемо. Покажемо тільки, що коли

a  b(mod I), c  d(mod I), /1/

то ac  bd(mod I) /2/

з цією метою розглянемо різницю ac – bd

ac-bd=(ac – bd) + (bc – bd) = (a-b)c +b(c-d) /3/

в силу конгруенції /1/ a-b, c-dІ. тоді за другою умовою з означення ідеалу (a-b)c, b(c-d)І, внаслідок того, що ідеал є підкільцем (a-b)c +b(c-d)І, що рівносильна конгруенції /2/. Теорема доведена.

Виявляється, що відношення конгруентності за ідеалом І вичерпуються усі відношення еквівалентності, узгодженні з операціями кільця. Точніше справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності в кільця К, узгодженого з операціями цього кільця, існує ідеал І такий, що дане відношення еквівалентності є відношення конгруентності за ідеалом І.

Доведення цієї теореми проводити не будемо.

2.Фактор-кільця комутативного кільця за ідеалом і.

Добре відомо, що всяке відношення еквівалентності на множені І породжує розбитя цієї множини на класи, класи еквівалентності. Та відношення конгруентності за модулем ідеалу І в кільці К породжує розбиття кільця К на класи. Ці класи називають суміжними класами або класами елементів. Конгруентних за ідеалом І.

ОзначенняСуміжним класом комутативного кільця К за ідеалом або класу елементів, конгруентних за ідеалом І кільця К називають всякий клас еквівалентності відношенням конгруентності за ідеалом І, тобто. Сукупність С_а усіх елементів кільця К, які конгруентні елементу аК, і значить конгруентні між собою за ідеалом І.

Як уже відзначалося, кожен ідеал І кільця К є підгрупою адитивної групи кільця К і, значить, відношення конгруентної в кільці К за ідеалом І є відношенням конгруентності в адитивній групі кільця К за підгрупою І, а кожен суміжний клас кільця К за ідеалом І є суміжним класом адитивної групи кільця К за підгрупою І. Тому суміжні класи кільця К за ідеалом І мають таку ж структуру, як і суміжні класи адитивної абелевої групи за підгрупою, тобто, справедлива така теорема.

Теорема 3. Всякий суміжний клас С_а комутативного кільця К за ідеалом І можна подати у вигляді С_а= а + І, де а — довільний елемент класу С_а. Навпаки, всяка множина а + І, де а — довільний елемент кільця К, утворює суміжний клас кільця К за ідеалом І.

Нагадаємо, що за означенням

Розглянемо сукупність К/І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І

Як відомо, у випадку адитивної абелевої групи ця сукупність утворює групу, так звану фактор-групу. У випадку кільця сукупність К/І є кільцем.

Теорема 4. Сукупність К/І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І є комутативним кільцем. Якщо кільце К містить І, то і кільце К/І містить одиницю.

Кільце К/І називають фактор-кільцем кільця К за ідеалом І.

Доведення. Сукупність К/І можна розглядати як сукупність суміжних класів адитивної групи кільця К за підгрупою І, а така сукупність, як відомо з теорії груп, утворює адитивну абелеву групу, фактор-групу групи К за підгрупою І, причому операція додавання задається формулою:

Тому для завершення доведення теореми треба тільки ввести у множині К/І операцію множення і перевірити, що вона є асоціативною, комутативною і пов’язана з додаванням дистрибутивним законом.

Операцію множення суміжних класів задамо так:

Покажемо, що так означене множення є однозначне, тобто, що за формулою у відповідність суміжним класам а+І та b+І ставиться єдиний суміжний клас ab+І. Неоднозначність може виникнути за рахунок того, що в поданні суміжного класу у виді а+І елемент а є довільним елементом цього класу. Значить, якщо

, то .

Тоді і щоб множення було однозначним, має бути справедлива рівність.

Доведемо, що це насправді так.

Належності , означають, що

Тоді звідки виходить, що класиав+І і а₁в₁+І мають спільний елемент а₁в₁,і тому вони співпадають:

аb+І = а₁b₁+І

Цим однозначність множення доведена.

Асоціативність множення класів випливає із асоціативності множення в К:

.

Аналогічно доводиться комутативність множення класів. Так само аналогічно виводиться дистрибутивність:

.

Якщо в кільці К є одиниця, то, очевидно клас 1+І — одиниця фактор-кільця К/І.