§ 3. Ідеали кілець.

1.Означення ідеалу кільця, приклади ідеалів.

Серед усіх підмножин кільця К особливу роль відіграють ті, які містять усі різниці своїх елементів та усі добутки своїх елементів з довільними елементами кільця. Такі підмножини кільця називаються його ідеалами.

Означення. Підмножина І кільця К називається його ідеалом, якщо

1. 

2. (

Теорема 1.Всякий ідеал І кільця К є підкільцем цього кільця.

Доведення За означенням ідеалу

тобто нуль кільця К належить ідеалу І.

Тоді і, значить,

, сума будь-яких двох елементів з І належить І. За другою умовою з означення ідеалу

Отже,

1. 

2. 

а виконання цих умов достатнє для того, щоб підмножина кільця була підкільцем. Таким чином, І — підкільце кільця К.

Оскільки операція множення не в кожному кільці комутативна, то часто доводиться розглядати односторонні ідеали — лівосторонні, якщо

1. 

2. 

та правосторонні, якщо

1)

2)

Через це ідеали в розумінні означення І називають двосторонніми.

Приклади:

1. Множина всіх цілих чисел, кратних натуральному числу n, є ідеалом кільця Z цілих чисел.

2. Сукупність усіх квадратних матриць n-го порядку, в яких останній стовпець складаються з нулів, утворює лівосторонній ідеал в кільці квадратних матрицьn-го порядку над числовим полем Р.

Виділимо деякі типи ідеалів комутативного кільця К з одиницею.

Підмножина О = {0} кільця К, яка складається тільки з одного нуля, є ідеалом, так званим нульовим ідеалом. Все кільце К теж є ідеалом самого себе і називається одиничним ідеалом.

ЦіідеалиназиваютьсятривіальнимиабоідеаламикільцяК.

Якщоa— деякийелементК, то множина(а)={ak |k є К}

єідеаломкільцяК , якимназиваєтьсяголовнимідеаломкільцяК, породженимелементома.

Доведенняочевидне.

. Нехай, ,, …….. деякі елементи кільцяК. Тодімножина+K} є ідеалом.

Справді, операціядодавання в кільцікомутативна, асоціативна, зв’язана з множенням, дистрибутивним законом та, крім того,

i

Тому

1/ +)-……+++……+() = [)]+[]+………+[] = (-)…….+(-)I

2/+) =(k+…..+І

Отже, Ізадовольняєобомумовам з означенняідеалуІ, значить , є ідеалом .

Цейідеалназиваєтьсяідеалом, породженимелементами, , …….

. - деякі елементи кільця К . Тоді множина

І= {++ ……/,k=1,2,…..n }

Утворюєідеал, котрийназивається сумою ідеалів

Доведенняаналогічне до

.Якщо - ідеаликільцяК, то їхперетин—тежідеал.

Дійсно, якщо , єто,є/,єОскільки-ідеали, то,є/,є. Тому,єАналогічно перевіряється друга умова з означення ідеалу.

. Нехай –гомоморфізм з кільцяв кільце. Тому його ядро є ідеалом кільця

Справді, якщо то і тому

:,

тобто

Кільце, в якому не існує нетривіальних двосторонніх ідеалів називається простим.

Приклади:

1)Кільце всіх матрицьпорядку над полем є простим.

Щоб довести це, треба показати, що коли – деякий ненульовий ідеал кільця. Оскільки, то залишається довести, що всяка матриця ізналежить. Внаслідок того, що всяку матрицюго порядку можна подати у вигляді сумиматриць, в яких хіба що тільки один елемент не дорівнює 0, і всякий ідеал є підкільцем, тобто, разом із скінченною кількістю своїх елементів містить і їх суму, для доведення включення досить показати, що ідеалу належать всі матрицііз , в яких тільки один елемент не дорівнює 0.

Отже, нехай – деяка матрицяго порядку, в якої всі елементи, крім, дорівнюють 0, а. Оскільки, то віснує матриця, в котрій деякий елемент. Розглянемо матрицю, в якої всі елементи, крім, дорівнюють теж 0, а елементиіпідібрані так, що

Легко бачити, що тоді В силу другої умови з означення ідеалуі. Томуматриця. Яквжевідзначалося, зцьоговиходить, що

2) Всяке поле є простим кільцем.

Справді, нехай – довільний ідеал поляі — довільний його елемент. Тоді існує і згідно з другою властивістю з означення ідеалу:

Звідси на підставі цієї ж другої умови

тобто і, значить,

Відсутність нетривіальних ідеалів — характерна властивість полів.