
- •§1. Алгебраїчні структури з однією операцією. Означення групи, найпростіші властивості груп.
- •IV. Деякі інші означення групи
- •2. Підгрупи. Циклічні групи.
- •§1. Означення кільця, властивості та основні поняття. Приклади кілець.
- •2.Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
- •§ 3. Ідеали кілець.
- •1.Означення ідеалу кільця, приклади ідеалів.
- •2. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця.
- •§5. Конгруенції та фактор кільця за ідеалом.
- •2.Фактор-кільця комутативного кільця за ідеалом і.
- •3. Фактор-кільця і гомоморфізми.
- •4. Конгруенції за модулем
- •§6. Класи лишків кільця цілих чисел за модулем .
- •1.Конгруенції та класи лишків за модулем
- •2. Кільце класів лишків за модулем .
- •§7 Деякі арифметичні застосування теорії конгруенцій
- •1. Застосування конгруенцій до встановлення ознак подільності.
- •2. Перетворення звичайного дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу.
§1. Означення кільця, властивості та основні поняття. Приклади кілець.
Означення. Непорожня множина К називається кільцем, якщо на ній означені дві алгебраїчні операції (внутрішні закони композиції) – додавання і множення, що задовольняють таким умовам:
асоціативність додавання:
(
а, b,
с
К): (а+b)+с=а+(b+с);
2) комутативність додавання:
(
а, b
К):
а+b=b+а;
3) в К існує нулевий елемент 0 такий, що
(а
К):
а+0=а;
4)
для всякого елемента а
К існує протилежний елемент –а
такий, що
а+(-а)=о;
5) асоціативність множення:
(
а, b,
с
К):
(аb)с=а(bс);
6) операція множення дистрибутивна по відношеню до додавання
(
а, b,
с
К):
а(b+с)=аb+ас,
(b+с)а=bа+са.
Якщо в кільці К операція множення є комутативна, тобто
(
а, b
К):
аb=bа;
то кільце К називається комутативним.
Якщо
в кільці існує елемент 1 такий, що(
а
К):
а*1=1*а=а,
то
кільце К
називається кільцем з одиницею. Якщо
для кожного не нулевого елемента а є К
існує обернений елемент, тобто, такий
елемент а
К , що
а
а=
а
а=1,
то таке комутативне кільце К з І називається полем. Як бачимо, поле є кільцем. Наведемо приклади кілець, що не є полями.
Приклади. 1. Множина Z усіх цілих чисел утворює комутативне кільце з 1, якщо за внутрішні закони композиції в Z взяти звичайні операції додавання і множення цілих чисел.
Множина М
усіх матриць n-того порядку з елементами із даного числового поля утворює некомутативне кільце з одиницею, якщо за внутрішні закони композиції прийняти звичайні операції додавання і множеня матриць. Виконання аксіом 1)-6) перевірилось при вивченні матриць на першому курсі.
Множина С усіх неперервних функцій на сегменті [а,b] утворює комутативне кільце з 1, якщо для довільних f(x), g(x)
С, (f+g)і (fg) означити так:
(хє[а,b]):
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(fg)(x)=f(x)g(x),
Той
факт, що (f+g)(x),
(fg)(x)
С,
відомий з аналізу (сума і добуток
неперервних функцій – функції неперервні).
Виконання аксіом 1), 2), 3), 6) випливає із
справедливості цих умов для додавання
і множення дійсних чисел (при всякому
х
[a,b]f(x)-
дійсне
число), наприклад,
(f(x),
g(x)
С): (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).
Аналогічно
перевіряється комутативність множення.
Очевидно,
роль нулевого елементу виконує функція
f(x)=0
(х[a,b]),
протилежною до f(x)
є функція –f(x),
при всякому х
[a,b]
приймає значення, протилежні до
відпoвідних
значень f(x).
Одиничним елементом служить функція
f(x)=1
(х
[a,b]).
Зауважимо,
що множина С не є полем, тому, що для
всякої функції f(x)
С, яка має в точці
[a,b]
корінь, обернена функція має в точці
х
розрив, і значить не належить С.
Відзначимо, що деякі автори, наприклад, А.Г.Курош(3), в означення кільця не включають аксіому 5), тобто, не ставлять вимоги щоб множення було асоціативним. Тоді серед кілець є неасоціативні кільця (наприклад,кільця Лі і кільця Жордана, див.(3)).
ІІ. НАЙПРОСТІШІ ВИСНОВКИ З АКСІОМАТИКИ.
Означення 1. Всяке кільце К відносно операції додавання, означеної в ньому, утворює адитивну абелеву групу – адитивну групу кільця К.
Внаслідок цього всі властивості, які мають адитивні абелеві групи. Справедливі і у випадку довільного кільця К. Відзначимо деякі з них.
Означення 2. Нулевий елемент кільця К є єдиним і всякий елемент кільця К має єдиний протилежний.
Означення
3.
Які б не були елементи a,
b
К рівняння а+х=b
має єдиний розв’язок
х=b+(-а),
який називають різницею елементів b
та а
і позначають х=b-а.
Означення
4.
(a,b
К): -(a+b)=-а-b.
Аналогічно, як і для адитивних абелевих груп, вводиться поняття n-кратного елемента nа до а:
а+а+...+а, n>0,
na={ 0, n=0,
(n)(-a)=(-a)+(-a)+…+(-a), n<0.
Нагадаємо, що n- кратний елемент nа задовольняє співвідношення:
Означення
5.
(а
К)(
m
, n
Z):
{ma+na
= (m+n)a,
m(na)=(mn)a.
Означення 6. Всяке кільце К відносно операції множення, означеної в ньому, утворює мультиплікативну півгрупу.
Наявність асоціативного закону для множення дозволяє ввести поняття n-го степеня елемента а:
(а
К)(
n
N):
Означення
7.=
,
=
(
а
К;
m,n
N).
Відзначимо ще 4 властивості, при доведені яких використовується дистрибутивність множення відносно додавання.
Означення 8.
(
а, b
К): а(b-с)=аb-ас
(дистрибyтивний
закон для різниці).
На підставі означення досить показати, що
ас+а(b-с)=ab.
В справедливості останньої рівності пересвідчуємось, використовуючи аксіому 6) і означення різниці b-с:
ас+а(b-с)=а(с+(b-с))=аb.
Означення
9.
(
а
К):
а*0=0.
Справді,
який би не був елемент х
К:
а*0=а(х+(-х))=а(х-х)=ах-ах=ах+(-ах)=0.
Як відомо, в довільному полі і в кільці Z цілих чисел справедливе обернене твердження:
(
а, b
К):
(аb=0)звідси(а=0)
або (b=0).
У випадку довільного кільця це твердження, взагалі кажучи, невірне. Існують кільця,в яких із рівності аb=0 не випливає, що а або в дорівнюють 0.
Наприклад,
в кільці
матриць 2-го порядку:
,
Це зауваження дозволяє ввести нове поняття, поняття дільника нуля.
Означення.
Якщо для деяких елементів а,
bК
, а≠
0, b≠0,
справедлива рівність аb=0,
то елементи а,
та bназивають
дільниками
нуля (точніше, а
–лівим
дільником, b-
правим дільником 0).
В кільці М2 дільниками нуля є, наприклад, матриці
(α,β≠0).
Вивчення кілець, в яких є дільники 0, дещо ускладнюється. В подальшому ми будемо займатися вивченням тільки тих кілець, в яких нема дільників 0. Комутативне кільце, в якому нема дільників нуля, називається областю цілісності.
Означення 10.
Перша рівність означає. Що елемент (-а)b має бути протилежним до аb, тобто, має виконуватись рівність: аb+(-а)b=0.
Ця рівність легко випливає із аксіом 6) і 4) та властивості 9:
аb+(-а)b=(а+(-а))b=0b=0.
Аналогічно доводиться, що а(-b)=-аb.
Справедливість останньої рівності легко виводиться із перших двох
(-а)(-b)=-а(-b)=-(-аb)=аb,
бо із рівності а+(-а)=0
в аксіомі 4) виходить, що (-а)+а=0,
тобто елементом, протилежним до (-а)а
–(-а)=а.
Означення
11.
Якщо ненулевий елемент аК
не є дільником нуля, то із рівності а
=а
(
,
К)випливає:
.
Це означає, що рівності можна скорочувати
на ненульовий елемент, який не є дільником
нуля.
Справді,
додавання до обох частин рівності а=а
елемент -
а
,
ми одержимо:
а- а
0
або в силу властивості
a()=0.
Оскільки
елемент а
не є дільником нуля, то
=0,
тобто
.
Зауважимо,
що скорочувати рівності на дільники
нуля не можна. Справді, як легко
пересвідчитись, в кільці Мсправедлива рівність
в той час, як
ІІІ. Підкільце.
Одним із важливих напрямків в теорії кілець є вивчення кілець підмножин кільця. Серед усіх підмножин кільця особливо виділяються ті підмножини, які самі є кільцями відносно операцій, означених в усьому кільці.
Означення.
Підмножина К
кільця К,
яка сама є кільцем відносно операцій,
означених в К,
називається підкільцем кільця К.
Наступна теорема дозволяє спростити фактичну перевірку того, чи утворює певна підмножина кільця його підкільце.
Теорема
1.
Підмножина
кільцяК
є підкільцем кільця К
тоді і тільки тоді, коли
(
а, b
): а+b
,
(
а
): -а
,
(
а, b
): аb
.
Доведення.
Якщо підмножина
К
є підкільцем К,
то виконання умов 1)-3) гарантоване
означенням кільця К.
Якщо
підмножина
кільцяК,
навпаки, задовольняє умовам 1)-3), то із
умов 1) і 3) випливає, що вона замкнена
відносно операції додавання і множення
кільця К,
тобто, що на К
задані операції додавання і множення,
причoму
можна розглядати незалежно від включення
<К.
Оскільки все ж таки
<К
і в
задані ті ж операції, що і в усьому
кільці К, то підмножина
задовольняє аксіомам 1),2),5),6) із означення
кільця.
Із
умови 2 випливає,що для всякого а
елемент –а
. Тоді із умови 1) випливає , що а+(-а)=0
належить
. Отже в
існує нулевий елемент 0 і для всякогоа
існує –а
що теж належить
. Отже, підмножина
задовольняє всім аксіомам із означення
кільця, тобто вона є підкільцем кільцяК.
Приклади. 1. Підмножина Р усіх парних цілих чисел є підкільцем кільця Z цілих чисел.
Справді, сума, добуток, парних чисел і число, протилежне до парного, є парними. Це означаєщо Р задовольняє умовам теореми 1, значить Р є пілкільцем кільця Z.
Множина Р усіх парних неперервних функцій утворює підкільце кільця С усіх неперервних функцій на [-1,1].
Дійсно,
для довільних функцій f(x),
g(x)Р
справедливо:
(f+g)(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
(fg)(x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x),
(-f)(-x)=-f(-x)=-f(x)=(-f)(x).
Отже,
(
f,
g
Р):
f+g,
fg,
-f
Р,
Тобто, множина Р на підставі теореми 1, є підкільцем кільця С.
3.Множина
D
усіх діагональних матриць n-го
порядку є підкільцем кільця М
усіх матриць n-го
порядку над полем Р,
бо сума, добуток діагональних матриць,
і матриця, протилежна до діагональної,
є діагональними.
Зауваження. Умова 2) у формулюванні теореми 1 може бути замінена умовою:
2′)
(а,b
К): а-b
К.
Справді,
якщо умова 2′)
виконується, то для всякого елемента
bіснує
-b
і
тоді на підстав умови 1)
ми матимемо:
а-b=а+(-b)
Навпаки, якщо справджується умова 2′),то
(а,
К):
-а=0-а
,
Бо
0=а-а
і значить, належить
.
Закінчемо параграф переліком деяких підкілець довільного підкільця.
Множина О={o}, яка складається тільки з одного нульового елемента кільця К, утворює, очевидно, підкільце кільця К. Це підкільце називають нульовим підкільцем К.
Кільце К є, очевидно, підкільцем самого себе. Підкільце О і К називають тривіальними підкільцями кільця К, а всі інші підкільця – нетривіальними або властними підкільцями.
Якщо Кα– деякі підкільця кільця К, то їх перетин Ко=
теж є підкільцем кільця К.
Дійсно,
якщо aКα,
то a
Кαпри
всякому α. Оскільки Кα
- підкільце, то –а
Кα.
Значить, при всякому α елемент –а
Кα.
Тому –а
=Ко.
Якщо а,b
Кα
, то при всякому αа,b
Кαі
отже, внаслідок того, що Кα
підкільце, а+b,
аb
Кαпри
всякому α. Таким чином, а+b,
аb
=
.Як
бачимо,
задовольняє умови теореми 1і тому є
підкільцем кільця
К.
Відомо, яку важливу роль в теоремі груп відіграють циклічні підгрупи (а), породжені елементом а. В наступному пункті побудоване підкільце, яке є аналогом циклічної підгрупи .
Нехай К - деяке кільце,а - елемент кільця К . Тоді множина Кαусіх можливих сум
+
+….+
,
де
n1,
- довільні цілі числа,
,
,..
довільні
натуральні числа, утворює підкільце
кільцяК,
яке називається підкільцем, породженим
елементом a.
За означенням
Кα=
Щоб показати, що множина Кα - підкільце кільця К, досить перевірити виконання 1.-3. Із теореми 1. В силу асоціативності додавання виконання умови 1. Очевидне, бо скінчених сумах можна довільно розставляти дужкиі, зокрема, їх опускати:
(+
+….+
+(
)=(
)
Кα