§1. Означення кільця, властивості та основні поняття. Приклади кілець.

Означення. Непорожня множина К називається кільцем, якщо на ній означені дві алгебраїчні операції (внутрішні закони композиції) – додавання і множення, що задовольняють таким умовам:

1. асоціативність додавання:

( а, b, с К): (а+b)+с=а+(b+с);

2) комутативність додавання:

( а, bК): а+b=b+а;

3) в К існує нулевий елемент 0 такий, що

(аК): а+0=а;

4) для всякого елемента а К існує протилежний елемент –а такий, що

а+(-а)=о;

5) асоціативність множення:

( а, b, сК): (аb)с=а(bс);

6) операція множення дистрибутивна по відношеню до додавання

( а, b, сК): а(b+с)=аb+ас, (b+с)а=bа+са.

Якщо в кільці К операція множення є комутативна, тобто

( а, bК): аb=bа;

то кільце К називається комутативним.

Якщо в кільці існує елемент 1 такий, що( аК): а*1=1*а=а,

то кільце К називається кільцем з одиницею. Якщо для кожного не нулевого елемента а є К існує обернений елемент, тобто, такий елемент а К , що

а а= аа=1,

то таке комутативне кільце К з І називається полем. Як бачимо, поле є кільцем. Наведемо приклади кілець, що не є полями.

Приклади. 1. Множина Z усіх цілих чисел утворює комутативне кільце з 1, якщо за внутрішні закони композиції в Z взяти звичайні операції додавання і множення цілих чисел.

2. Множина М усіх матриць n-того порядку з елементами із даного числового поля утворює некомутативне кільце з одиницею, якщо за внутрішні закони композиції прийняти звичайні операції додавання і множеня матриць. Виконання аксіом 1)-6) перевірилось при вивченні матриць на першому курсі.

3. Множина С усіх неперервних функцій на сегменті [а,b] утворює комутативне кільце з 1, якщо для довільних f(x), g(x) С, (f+g)і (fg) означити так:

(хє[а,b]): (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x),

Той факт, що (f+g)(x), (fg)(x) С, відомий з аналізу (сума і добуток неперервних функцій – функції неперервні). Виконання аксіом 1), 2), 3), 6) випливає із справедливості цих умов для додавання і множення дійсних чисел (при всякому х[a,b]f(x)- дійсне число), наприклад,

(f(x), g(x) С): (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).

Аналогічно перевіряється комутативність множення. Очевидно, роль нулевого елементу виконує функція f(x)=0 (х[a,b]), протилежною до f(x) є функція –f(x), при всякому х[a,b] приймає значення, протилежні до відпoвідних значень f(x). Одиничним елементом служить функція f(x)=1 (х [a,b]).

Зауважимо, що множина С не є полем, тому, що для всякої функції f(x) С, яка має в точці [a,b] корінь, обернена функція має в точці хрозрив, і значить не належить С.

Відзначимо, що деякі автори, наприклад, А.Г.Курош(3), в означення кільця не включають аксіому 5), тобто, не ставлять вимоги щоб множення було асоціативним. Тоді серед кілець є неасоціативні кільця (наприклад,кільця Лі і кільця Жордана, див.(3)).

ІІ. НАЙПРОСТІШІ ВИСНОВКИ З АКСІОМАТИКИ.

Означення 1. Всяке кільце К відносно операції додавання, означеної в ньому, утворює адитивну абелеву групу – адитивну групу кільця К.

Внаслідок цього всі властивості, які мають адитивні абелеві групи. Справедливі і у випадку довільного кільця К. Відзначимо деякі з них.

Означення 2. Нулевий елемент кільця К є єдиним і всякий елемент кільця К має єдиний протилежний.

Означення 3. Які б не були елементи a, b К рівняння а+х=b має єдиний розв’язок х=b+(-а), який називають різницею елементів b та а і позначають х=b-а.

Означення 4. (a,b К): -(a+b)=-а-b.

Аналогічно, як і для адитивних абелевих груп, вводиться поняття n-кратного елемента nа до а:

а+а+...+а, n>0,

na={ 0, n=0,

(n)(-a)=(-a)+(-a)+…+(-a), n<0.

Нагадаємо, що n- кратний елемент nа задовольняє співвідношення:

Означення 5. (а К)(m , nZ): {ma+na = (m+n)a,

m(na)=(mn)a.

Означення 6. Всяке кільце К відносно операції множення, означеної в ньому, утворює мультиплікативну півгрупу.

Наявність асоціативного закону для множення дозволяє ввести поняття n-го степеня елемента а:

(а К)( nN):

Означення 7.=,=(аК; m,nN).

Відзначимо ще 4 властивості, при доведені яких використовується дистрибутивність множення відносно додавання.

Означення 8.

( а, b К): а(b-с)=аb-ас (дистрибyтивний закон для різниці).

На підставі означення досить показати, що

ас+а(b-с)=ab.

В справедливості останньої рівності пересвідчуємось, використовуючи аксіому 6) і означення різниці b-с:

ас+а(b-с)=а(с+(b-с))=аb.

Означення 9. ( а К): а*0=0.

Справді, який би не був елемент х К:

а*0=а(х+(-х))=а(х-х)=ах-ах=ах+(-ах)=0.

Як відомо, в довільному полі і в кільці Z цілих чисел справедливе обернене твердження:

( а, b К): (аb=0)звідси(а=0) або (b=0).

У випадку довільного кільця це твердження, взагалі кажучи, невірне. Існують кільця,в яких із рівності аb=0 не випливає, що а або в дорівнюють 0.

Наприклад, в кільці матриць 2-го порядку:

,

Це зауваження дозволяє ввести нове поняття, поняття дільника нуля.

Означення. Якщо для деяких елементів а, bК , а≠ 0, b≠0, справедлива рівність аb=0, то елементи а, та bназивають дільниками нуля (точніше, а –лівим дільником, b- правим дільником 0).

В кільці М₂ дільниками нуля є, наприклад, матриці

(α,β≠0).

Вивчення кілець, в яких є дільники 0, дещо ускладнюється. В подальшому ми будемо займатися вивченням тільки тих кілець, в яких нема дільників 0. Комутативне кільце, в якому нема дільників нуля, називається областю цілісності.

Означення 10.

Перша рівність означає. Що елемент (-а)b має бути протилежним до аb, тобто, має виконуватись рівність: аb+(-а)b=0.

Ця рівність легко випливає із аксіом 6) і 4) та властивості 9:

аb+(-а)b=(а+(-а))b=0b=0.

Аналогічно доводиться, що а(-b)=-аb.

Справедливість останньої рівності легко виводиться із перших двох

(-а)(-b)=-а(-b)=-(-аb)=аb, бо із рівності а+(-а)=0 в аксіомі 4) виходить, що (-а)+а=0, тобто елементом, протилежним до (-а)а –(-а)=а.

Означення 11. Якщо ненулевий елемент аК не є дільником нуля, то із рівності а=а(,К)випливає: . Це означає, що рівності можна скорочувати на ненульовий елемент, який не є дільником нуля.

Справді, додавання до обох частин рівності а=а елемент - а, ми одержимо:

а- а0

або в силу властивості

a()=0.

Оскільки елемент а не є дільником нуля, то =0, тобто.

Зауважимо, що скорочувати рівності на дільники нуля не можна. Справді, як легко пересвідчитись, в кільці Мсправедлива рівність

в той час, як

ІІІ. Підкільце.

Одним із важливих напрямків в теорії кілець є вивчення кілець підмножин кільця. Серед усіх підмножин кільця особливо виділяються ті підмножини, які самі є кільцями відносно операцій, означених в усьому кільці.

Означення. Підмножина К кільця К, яка сама є кільцем відносно операцій, означених в К, називається підкільцем кільця К.

Наступна теорема дозволяє спростити фактичну перевірку того, чи утворює певна підмножина кільця його підкільце.

Теорема 1. Підмножина кільцяК є підкільцем кільця К тоді і тільки тоді, коли

1. (а, b ): а+b,

2. (а): -а ,

3. (а, b): аb.

Доведення. Якщо підмножина К є підкільцем К, то виконання умов 1)-3) гарантоване означенням кільця К.

Якщо підмножина кільцяК, навпаки, задовольняє умовам 1)-3), то із умов 1) і 3) випливає, що вона замкнена відносно операції додавання і множення кільця К, тобто, що на К задані операції додавання і множення, причoму можна розглядати незалежно від включення<К. Оскільки все ж таки <К і в задані ті ж операції, що і в усьому кільці К, то підмножиназадовольняє аксіомам 1),2),5),6) із означення кільця.

Із умови 2 випливає,що для всякого а елемент –а . Тоді із умови 1) випливає , що а+(-а)=0 належить . Отже віснує нулевий елемент 0 і для всякогоа існує –а що теж належить . Отже, підмножиназадовольняє всім аксіомам із означення кільця, тобто вона є підкільцем кільцяК.

Приклади. 1. Підмножина Р усіх парних цілих чисел є підкільцем кільця Z цілих чисел.

Справді, сума, добуток, парних чисел і число, протилежне до парного, є парними. Це означаєщо Р задовольняє умовам теореми 1, значить Р є пілкільцем кільця Z.

2. Множина Р усіх парних неперервних функцій утворює підкільце кільця С усіх неперервних функцій на [-1,1].

Дійсно, для довільних функцій f(x), g(x)Р справедливо:

(f+g)(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),

(fg)(x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x),

(-f)(-x)=-f(-x)=-f(x)=(-f)(x).

Отже,

( f, g Р): f+g, fg, -fР,

Тобто, множина Р на підставі теореми 1, є підкільцем кільця С.

3.Множина D усіх діагональних матриць n-го порядку є підкільцем кільця М усіх матриць n-го порядку над полем Р, бо сума, добуток діагональних матриць, і матриця, протилежна до діагональної, є діагональними.

Зауваження. Умова 2) у формулюванні теореми 1 може бути замінена умовою:

2′) (а,b К): а-b К.

Справді, якщо умова 2′) виконується, то для всякого елемента bіснує -bі тоді на підстав умови 1) ми матимемо:

а-b=а+(-b)

Навпаки, якщо справджується умова 2′),то

(а,К): -а=0-а ,

Бо 0=а-а і значить, належить .

Закінчемо параграф переліком деяких підкілець довільного підкільця.

1. Множина О={o}, яка складається тільки з одного нульового елемента кільця К, утворює, очевидно, підкільце кільця К. Це підкільце називають нульовим підкільцем К.

2. Кільце К є, очевидно, підкільцем самого себе. Підкільце О і К називають тривіальними підкільцями кільця К, а всі інші підкільця – нетривіальними або властними підкільцями.

3. Якщо Кα– деякі підкільця кільця К, то їх перетин Ко=теж є підкільцем кільця К.

Дійсно, якщо aКα, то aКαпри всякому α. Оскільки Кα - підкільце, то –аКα. Значить, при всякому α елемент –аКα. Тому –а=Ко. Якщо а,bКα , то при всякому αа,bКαі отже, внаслідок того, що Кα підкільце, а+b, аbКαпри всякому α. Таким чином, а+b, аb=.Як бачимо, задовольняє умови теореми 1і тому є підкільцем кільця К.

Відомо, яку важливу роль в теоремі груп відіграють циклічні підгрупи (а), породжені елементом а. В наступному пункті побудоване підкільце, яке є аналогом циклічної підгрупи .

4. Нехай К - деяке кільце,а - елемент кільця К . Тоді множина Кαусіх можливих сум

++….+,

де n1, - довільні цілі числа, ,,..довільні натуральні числа, утворює підкільце кільцяК, яке називається підкільцем, породженим елементом a. За означенням

Кα=

Щоб показати, що множина Кα - підкільце кільця К, досить перевірити виконання 1.-3. Із теореми 1. В силу асоціативності додавання виконання умови 1. Очевидне, бо скінчених сумах можна довільно розставляти дужкиі, зокрема, їх опускати:

(++….++()=()Кα