
- •Поняття про комплексне число
- •Дії над комплексними числами
- •Геометричний зміст комплексного числа
- •Комплексне число як вектор
- •Тригонометрична форма комплексного числа
- •Формули ейлера і муавра
- •Показникова форма комплексного числа
- •Комплексне число як оператор повороту
- •Застосування комплексних чисел при розв’язуванні задач
- •Висновки
- •Використана література
Формули ейлера і муавра
Тригонометрична
форма комплексного числа (cosφ+isinφ,
де φ – дійсне число) зустрічається
дуже часто в
науках, пов’язаних з
математикою.
Для нього використовують різні скорочені
позначення. Наприклад, в картографії
його позначають знаком 1φ,
в електротехніці – знаком
,
в інших –exp
(іφ),
чи eiφ.
Таким чином, можна записати наступне
позначення: eiφ
=
cosφ+isinφ.
Наприклад, ei0
=
cos0
+ і sin0
= 1, ei
=
cos
+i
sin
=і, і т.д. Формула eiφ
=
cosφ+isinφ
вперше зустрічається в статті Ейлера
і названа його іменем. Вираз виду eiφ
називають уявною експонентою. Для уявної
експоненти вірні всі формули, які ми
знаємо для степенів з дійсним показником,
тобто вірна і формула (eiφ)n
= ei
(nφ).
Цю формулу називають формулою Муавра.
Відома ще й інша її форма: (cos
φ
+ i
sin
φ)n
= cos
nφ
+ i
sin
nφ.
Формули
Ейлера і Муавра дозволяють ефективно
розв’язувати різні задачі, пов’язані
з тригонометричними функціями. Зокрема,
їх можна використати при обчисленнях
різних тригонометричних сум, з якими
досить часто доводиться зустрічатися.
Достатньо загальний прийом обчислення
таких сум полягає в тому, що дана дійсна
сума замінюється деякою комплексною
сумою, яка часто обчислюється з
використанням формули суми членів
геометричної прогресії. Між іншим, ця
формула зберігається і в тому випадку,
якщо члени прогресії і її знаменник –
комплексні числа. Дану формулу доцільно
використовувати в такому вигляді: суму
(S)
n
перших членів геометричної прогресії,
у якої a
– перший член, l
– останній, q
– знаменник, знаходимо (при q
≠ 1) за формулою
.
Наприклад, нехай потрібно обчислити суми: А= cos α + cos 3α + cos 5α + + … + cos 99α, В= sin α +sin 3α + sin 5α + … + sin 99α.
Розв’язання. Можна одночасно обчислити ці суми, якщо ввести нову комплексну суму: S = A+Bi = (cos α +i sin α)+(cos 3α +i sin 3α)+ …+ +(cos 99α + i sin 99α). За формулами Ейлера і Муавра маємо:
S = A+Bi = eiα + (eiα)3 +…+(eiα)99.
Обчислимо S за формулою суми членів геометричної прогресії:
.
Щоб знайти А і В, достатньо в S
відділити дійсну і уявну частини. Для
цього скористаємося формулами Ейлера
і Муавра. Отримаємо:
Звідки
Формулу
Ейлера доцільно використовувати при
вивченні коливань. Розглянемо два
гармонійні коливання точки з однаковою
частотою ω: υ1=
А sin
(ωt+α),
υ2
= B
sin
(ωt+β),
де А і В – амплітуди коливань, а α і β –
їх початкові фази. Можна довести, що при
додаванні цих гармонійних коливань
отримаємо гармонійне коливання υ з тією
ж частотою ω. Отже, нас цікавить сума
υ=υ1+υ2=А
sin
(ωt+α)+B
sin
(ωt+β).
Її можна розглядати як уявну частину
комплексної суми
,
тобто υ =Im
Запишемо комплексне число Аeiα
+ Beiβ
в показниковій формі: Аeiα
+ Beiβ
= Ceiγ.
Тоді υ = Im
[eiωt
·Ceiγ]=
Im
[Cei(ωt+γ)]=C
sin
(ωt+γ).
Таким чином, υ – гармонійне коливання
з частотою ω, С – його амплітуда.
Позначивши різницю початкових фаз через φ, (тобто β-α=φ), обчислимо амплітуду С результуючого коливання. Врахувавши, що |eiα|=1, маємо:
С=|Aeiα+Beiβ|=|Aeiα
+ Bei(α+φ)|
= |eiα|·|A+Beiφ|=|(A+Bcosφ)+iBsinφ|=
=.
Отримана формула дозволяє провести якісне дослідження результуючого коливання. З неї слідує, що результуюче коливання має максимальну амплітуду, що рівна А+В (при φ=0), тобто у випадку, коли початкові фази обох коливань однакові. Якщо виявиться, що А=В і cosφ=-1 (в цьому випадку фази коливань протилежні), то при накладанні коливань точка залишається в стані спокою.