Комплексне число як вектор

Комплексні числа мають ще інше геометричне тлумачення. Виберемо на координатній площині який-небудь вектор . Розглянемо рівний йому векторз початком в початку координат. Нехай кінець цього вектора (точкаZ) має комплексну координату z=а+bі. Тоді число z можна називати комплексною координатою вектора . Звідси видно, що рівні вектори мають одну і ту ж комплексну координату і комплексна координата вектора з початком в нулевій точці співпадає з комплексною координатою його кінця. Можна сказати й так: якщо проекція деякого, розміщеного на декартовій координатній площині, векторана вісь абсцис дорівнює а і його ж проекція на вісь ординат дорівнюєb, то комплексною координатою вектора називається число z= а+bі.

Наприклад, вектори імають комплексні координатиz₁ і z₂, а сума цих векторів (вектор ) має комплексну координатуz. Як виражається число z через числа z₁ і z₂?

Розв’язання. Нехай z₁= а₁+b₁і, z₂= а₂+b₂і. Тоді проекції векторів іна вісь Ох дорівнює відповідно а₁ і а₂, а проекція їх суми на вісь Ох дорівнює а₁+а₂. Аналогічно можна переконатися, що проекція вектора на вісь Оу дорівнюєb₁+b₂. Тоді комплексна координата z вектора дорівнює (а₁+а₂)+(b₁+b₂)і, тобто z=z₁+z₂. Отже, при додаванні векторів їх комплексні координати додаються.

Нехай дві точки Z₁ і Z₂ координатної площини хОу мають комплексні координати z₁ і z₂. Яку комплексну координату має вектор ?

Розв’язання. Позначимо через z комплексну координату вектора . Оскільки=+, тоz₂=z₁+z, звідки z=z₂-z₁. Отже, комплексна координата напрямленого відрізка дорівнює різниці між комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його початку.

Нехай кінці відрізка Z₁Z₂ мають відповідно комплексні координати z₁ і z₂. Яка комплексна координата z середини Z цього відрізка?

Розв’язання. Вектори ірівні, тому вони мають одну і ту ж комплексну координату; позначимо її с. Оскільки с=z-z₁ (див. вище) і с=z₂-z, то звідси випливає, що z=(z₁+z₂). Отже, комплексна координата середини відрізка дорівнює півсумі комплексних координат його кінців.

Тригонометрична форма комплексного числа

З можливістю тлумачення кожного комплексного числа як комплексної координати деякого вектора пов’язані поняття модуля і аргументу комплексного числа. А саме, якщо число z= а+bі – комплексна координата вектора , то довжину r цього вектора називають модулем комплексного числаz і позначають |z| . Ясно, що r =|z|=. Таким чином, геометрично |z| - це відстань від початку координат до точки, що має комплексну координату z.

Кут φ нахилу вектора до осі Ох (кут між додатнім напрямом осі і вектором) називається аргументом числаz. Зрозуміло, що кожне комплексне число z, відмінне від нуля, має нескінченно багато аргументів. Будь-які два з них відрізняються між собою на число, кратне 2π. Той із аргументів, який знаходиться між –π і π, називається головним значенням аргументу (головним аргументом) і позначається arg z. Тобто, arg z – це той із аргументів числа z, який задовольняє подвійну нерівність –π < arg z ≤ π. Нехай φ – якийсь із аргументів числа z =а+bi, а число α – головний аргумент цього ж числа (α = arg z), r =|z|, тоді φ =α+2kπ (k – деяке ціле число), cosφ =, sinφ =. Із співвідношень а = r cosφ, b = r sinφ випливає так звана тригонометрична (чи полярна) форма комплексного числаz = r (cos φ + i sin φ).

Якщо про два числа z і z₁ відомо, що їх модулі дорівнюють r і r₁, а числа φ і φ₁ є їхніми аргументами, то рівність z₁= z має місце тоді і тільки тоді, коли r₁= r, а φ₁= φ+2kπ, де k – деяке ціле число. Іншими словами, два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи рівні з точністю до доданка, кратного 2π.

Якщо потрібно для якого-небудь комплексного числа знайти його тригонометричну форму, то найкраще спочатку зобразити (нехай навіть не точно) дане число у вигляді точки чи вектора на комплексній площині.

1. Знайти модуль і аргумент числа z = -1-і і представити це число в тригонометричній формі.

Розв’язання. Спочатку зобразимо вектор з комплексною координатоюz = -1-і (додаток Б).

Довжина цього вектора дорівнює |z|===, а кут нахилу до осі Ох: φ =. Згідно означення, маємо:r =,argz = ;z = .

2. Запишемо в тригонометричній формі число z=sin - i cos .

Розв’язання. Спочатку зобразимо число z на координатній площині. При цьому варто врахувати, що sin = sin 18⁰ > 0, cos > 0. Значить, число зображується у вигляді вектора . Відмітимо на рисунку модуль числаz (довжину відрізка OZ) і його аргумент (кут, позначений на рисунку дугою зі стрілкою). З прямокутного трикутника OAZ, у якого катети мають довжину sin і cos , можна знайти OZ (гіпотенузу). За теоремою Піфагора: =1, томуOZ=|z| =1. AОZ=. Якщо врахувати напрямок побудови кута, то маємо остаточно: arg z = . Тому для числаsincos тригонометричною формою буде: .

Нехай Z₁ і Z₂ – дві точки на комплексній площині, що мають комплексні координати відповідно z₁ і z₂. Розглянемо вектор і позначимо його комплексну координату через z. Оскільки, z = z₂-z₁, то |z|= |z₂-z₁|. Але |z| - це довжина вектора . Тому число |z₂-z₁| можна трактувати як відстань між точками з комплексними координатами z₁ і z₂. Цікавими є дві нерівності для модуля суми і для модуля різниці двох комплексних чисел.

1. Модуль суми двох комплексних чисел z₁ і z₂ не більший суми модулів цих чисел: |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.

Доведення: Нехай імають комплексні координатиz₁ і z₂. З ΔОАВ ясно, що ОВ≤ОА+АВ, тобто |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.

2. Для будь-яких комплексних чисел z₁ і z₂ справедлива нерівність |z₂-z₁|≥|z₂|-|z₁|.

Доведення: Оскільки z₂=(z₂-z₁)+z₁, то |z₂|≤|z₂-z₁|+|z₁|, звідки слідує, що |z₂-z₁|≥|z₂|-|z₁|.

Дані нерівності часто використовують для розв’язання цікавих геометричних задач.

Наприклад. Задача Ейлера.

Відомо, що в кожному паралелограмі сума квадратів всіх сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей. На скільки відрізняються ті ж суми у випадку довільно взятого на площині чотирикутника?

Розв’язання. Нехай А₁А₂А₃А₄ – даний чотирикутник (додаток В) Нас цікавить величина (назвемо її σ) :

σ = А₁А₂²+А₂А₃²+А₃А₄²+А₄А₁² – (А₁А₃²+А₂А₄²).

Виберемо на площині декартову систему координат хОу. Нехай вершини А₁, А₂, А₃, А₄ мають комплексні координати z₁, z₂, z₃, z₄. Тоді σ = |z₂-z₁|²+|z₃-z₂|²+|z₄-z₃|²+|z₁-z₄|²-(|z₃-z₁|²+|z₄-z₂|²). Далі використаємо властивість комплексних чисел, а саме:

. Тоді вираз σ можна переписати так:

σ=+

Зведемо подібні, зібравши всі члени, що містять множник z₁, потім всі члени, що містять z_2, і т. п. Отримаємо: σ = == Який же геометричний зміст цього виразу? Ми знаємо, що геометричний зміст виразу - це комплексна координата середини С відрізка А₁А₃. Аналогічно число - це координата серединиD відрізка А₂А₄. Позначимо с = ,d = . Тоді σ = 4|c-d|². Але геометричний зміст виразу |c-d| - це довжина відрізка CD. Отже, σ = 4 ·CD². Ми приходимо до наступного висновку (теорема Ейлера про чотирикутник): сума квадратів сторін будь-якого плоского чотирикутника більша суми квадратів його діагоналей на почетверений квадрат відрізка, що з’єднує середини діагоналей. Звідси слідує, що якщо в плоскому чотирикутнику сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, то він є паралелограмом.