2 Спектры импульсов

2.1 Общие положения

При временном представлении сам импульс (сигнал) представляется в виде функции времени. Часто необходимо сконцентрировать внимание не на изменениях сложного сигнала во времени, а на том, из каких простых гармонических колебаний он состоит. В этих случаях прибегают к спектральному представлению сигнала, в основе которого лежат преобразования Фурье. При спектральном представлении сигнал представляется не функцией времени, а функцией частоты. Совокупность гармонических колебаний, на которые может быть разложен данный сигнал, называют спектром сигнала. Полоса частот, в которой наблюдаются гармонические колебания, составляющие данный сигнал, называют шириной его спектра.

Заданное колебание можно представить в виде комбинации простых составляющих или путем подбора нескольких функцийи коэффициентовтак, чтобы

. (1)

Ряд сходится, если функция удовлетворяет условиям Дирихле. Наиболее точное приближение будет при

. (2)

При этом ряд называется обобщенным рядом Фурье,

где - совокупность ортогональных функций.

Для ортогональных функций выполняется условие

;.

Если при этом , то систему называют ортонормированной (ортонормальной).

Примеры ортогональных колебаний и.

Для разложения сигналов можно использовать элементарные функции, а также ряд специальных систем функций, обладающих свойством ортогональности на различных отрезках (тригонометрические функции кратных аргументов, полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и ряд других).

Обычно для теоретического анализа целесообразно выбирать систему функций, требующую наименьшего числа членов ряда для заданной точности представления колебания. Однако в ряде случаев решающим при выборе является простота физического осуществления (генерирования) этих функций.

Таким свойством обладает, в частности, система тригонометрических функций кратных аргументов. Причем их форма не изменяется при прохождении через линейные цепи, а также имеется возможность использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.

2.2 Спектр периодической последовательности импульсов

Если взять в качестве функций тригонометрические функции

;...

где-интервал ортогональности функции, он совпадает с периодом колебания;

.

Ряд Фурье принимает следующий вид:

, (3)

где ; (4)

; (5)

(6)

или

, (7)

где ;.

Ряды Фурье могут быть записаны и в комплексном виде

.

Учитывая, что

,

получим

. (8)

. (9)

Формулы называются парой преобразований Фурье. Вторая формула из них позволяет найти спектр, т.е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме колебание .

Спектр периодической последовательности импульсов состоит из постоянной составляющей и множества гармонических составляющих, частоты которых образуют дискретный ряд значений () кратных основной частоте колебаний. Амплитуды гармонических составляющих или сокращенно гармоник равны, а начальные фазы. Такой спектр называется дискретным или линейчатым.

Постоянную составляющую можно рассматривать как гармонику с нулевой частотой колебания и амплитудой . На рисунке 2 показана амплитудная спектральная диаграмма периодического сигнала, а на рисунке 3 - фазовая спектральная диаграмма периодического сигнала.

0 0

Рисунок 2 Рисунок 3

В разложении суммирование членов происходит как по положительным так и по отрицательным . Это означает, что комплексный ряд Фурье содержит гармоники не только с положительными, но и с отрицательными частотами. Совершенно ясно, что последние никакого физического смысла не имеют. Они появляются только как следствие формального представления тригонометрических функций в виде совокупности показательных функций с мнимым аргументом.