3 Маршрутизация перевозок мелкопартийных грузов

Выберем маршруты движения автомобилей. Для этого необходимо определить оптимальную последовательность объезда всех грузопоглащающих узлов транспортной сети, т.е. решить задачу коммивояжера. Исходными данными для этого выступает матрица кратчайших расстояний (таблица 2.1).

Приведем матрицу расстояний по строкам (таблица 3.1)

Таблица 3.1 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Б1		2625	2220	2220	2235	1500	600	1080	600
М2	2625		1815	1815	2790	2985	2505	2100	1815
М3	2220	1815		1410	2385	2580	2100	1695	1410
М4	2220	1815	1410		1140	2325	2100	1695	1140
М5	2235	2790	2385	1140		1185	2175	2340	1140
М6	1500	2985	2580	2325	1185		2100	2580	1185
М7	600	2505	2100	2100	2175	2100		480	480
М8	1080	2100	1695	1695	2340	2580	480		480

Приведем матрицу расстояний по столбцам (таблица 3.2)

Таблица 3.2 – Приведение матрицы по столбцам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Б1		2025	1620	1620	1635	900	0	480
М2	810		0	0	975	1170	690	285
М3	810	405		0	975	1170	690	285
М4	1080	675	270		0	1185	960	555
М5	1095	1650	1245	0		45	1035	1200
М6	315	1800	1395	1140	0		915	1395
М7	120	2025	1620	1620	1695	1620		0
М8	600	1620	1215	1215	1860	2100	0
	120	405	0	0	0	45	0	0

Полностью приведенная матрица приведена в таблице 3.3.

Таблица 3.3 – Полностью приведенная матрица

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	855	0	480
М2	690		0	0	975	1125	690	285
М3	690	0		0	975	1125	690	285
М4	960	270	270		0	1140	960	555

Окончание таблицы 3.3

М5	975	1245	1245	0		0	1035	1200
М6	195	1395	1395	1140	0		915	1395
М7	0	1620	1620	1620	1695	1575		0
М8	480	1215	1215	1215	1860	2055	0

Определим нижнюю границу множества Гамильтоновых контуров:

= 8820

Каждый нуль в приведенной матрице (см. таблицу 1.6) условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.4).

Таблица3.4 – Определение сумм констант приведения

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	855	0(480+0 =480)	480
М2	690		0(0+270 =270)	0(0+0 =0)	975	1125	690	285
М3	690	0(0+270 =270)		0(0+0 =0)	975	1125	690	285
М4	960	270	270		0(0+270 =270)	1140	960	555
М5	975	1245	1245	0(0+0 =0)		0(0+855 =855)	1035	1200
М6	195	1395	1395	1140	0(195+0 =195)		915	1395
М7	0(195+0 =195)	1620	1620	1620	1695	1575		0(0+285 =285)
М8	480	1215	1215	1215	1860	2055	0(480+0 =480)

Из таблицы 3.4 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении пятой строки и шестого столбца и составляет 855.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (5,6), заменяя элементы а_6,5 = 0 в матрице расстояний на . В результате исключения данной дуги будет образовано подмножество гамильтоновых контуров {}.

Приводим полученную матрицу расстояний и определяем нижнюю границу подмножества гамильтоновых контуров {}.

Таблица 3.5 – Исключение пятой строки и шестого столбца

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	0	480
М2	690		0	0	975	690	285
М3	690	0		0	975	690	285
М4	960	270	270		0	960	555
М6	195	1395	1395	1140		915	1395
М7	0	1620	1620	1620	1695		0
М8	480	1215	1215	1215	1860	0

Таблица 3.6 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	0	480	0
М2	690		0	0	975	690	285	0
М3	690	0		0	975	690	285	0
М4	960	270	270		0	960	555	0
М6	195	1395	1395	1140		915	1395	195
М7	0	1620	1620	1620	1695		0	0
М8	480	1215	1215	1215	1860	0		0

Таблица 3.7– Приведение матрицы по столбцам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	0	480
М2	690		0	0	975	690	285
М3	690	0		0	975	690	285
М4	960	270	270		0	960	555
М6	0	1200	1200	945		720	1200
М7	0	1620	1620	1620	1695		0
М8	480	1215	1215	1215	1860	0
	0	0	0	0	0	0	0

Тогда а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.8.

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.9).

Таблица 3.8 – Полностью приведенная матрица

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	0	480
М2	690		0	0	975	690	285
М3	690	0		0	975	690	285
М4	960	270	270		0	960	555
М6	0	1200	1200	945		720	1200
М7	0	1620	1620	1620	1695		0
М8	480	1215	1215	1215	1860	0

Таблица 3.9 – Определение сумм констант приведения

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М5	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	1635	0(480+0 =480)	480
М2	690		0(0+270 =270)	0(0+0 =0)	975	690	285
М3	690	0(0+270 =270)		0(0+0 =0)	975	690	285
М4	960	270	270		0(270+975 =1245)	960	555
М6	0(0+720 =720)	1200	1200	945		720	1200
М7	0(0+0 =0)	1620	1620	1620	1695		0(285+0 =285)
М8	480	1215	1215	1215	1860	0(0+480 =480)

Из таблицы 3.9 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении четвертой строки и пятого столбца и составляет 1245. Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (4,5) и проводим расчеты аналогичные предыдущим.

Таблица 3.10 – Исключение четвертой строки и пятого столбца

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	0	480
М2	690		0	0	690	285
М3	690	0		0	690	285
М6	0	1200	1200	945	720	1200
М7	0	1620	1620	1620		0
М8	480	1215	1215	1215	0

Таблица 3.11 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	0	480	0
М2	690		0	0	690	285	0
М3	690	0		0	690	285	0
М6	0	1200	1200	945	720	1200	0
М7	0	1620	1620	1620		0	0
М8	480	1215	1215	1215	0		0

Таблица 3.12 – Приведение матрицы по столбцам

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	0	480
М2	690		0	0	690	285
М3	690	0		0	690	285
М6	0	1200	1200	945	720	1200
М7	0	1620	1620	1620		0
М8	480	1215	1215	1215	0
	0	0	0	0	0	0

Тогда а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.13.

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.14).

Таблица 3.13 – Полностью приведенная матрица

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	0	480
М2	690		0	0	690	285
М3	690	0		0	690	285
М6	0	1200	1200	945	720	1200
М7	0	1620	1620	1620		0
М8	480	1215	1215	1215	0

Таблица 3.14 – Определение сумм констант приведения

Из/В	Б1	М2	М3	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	1620	0(480+0 =480)	480
М2	690		0(0+1200=1200)	0(0+0=0)	690	285

Окончание таблицы 3.14

М3	690	0(0+1200 =1200)		0(0+0 =0)	690	285
М6	0(720+0 =720)	1200	1200		720	1200
М7	0(0+0=0)	1620	1620	1620		0(0+285=285)
М8	480	1215	1215	1215	0(0+480=480)

Из таблицы 3.14 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении второй строки и третьего столбца, а также третьей строки и второго столбца и составляет 1200. Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (2,3), заменяя элемент а_3,2 = 0 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.15-3.18)

Таблица 3.15 – Исключение второй строки и третьего столбца

Из/В	Б1	М2	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	0	480
М3	690		0	690	285
М6	0	1200		720	1200
М7	0	1620	1620		0
М8	480	1215	1215	0

Таблица 3.16 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	Б1	М2	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	0	480	0
М3	690		0	690	285	0
М6	0	1200		720	1200	0
М7	0	1620	1620		0	0
М8	480	1215	1215	0		0

Таблица 3.17 – Приведение матрицы по столбцам

Из/В	Б1	М2	М4	М7	М8
Б1		1620	1620	0	480
М3	690		0	690	285
М6	0	1200		720	1200
М7	0	1620	1620		0
М8	480	1215	1215	0
	0	1200	0	0	0

Тогда а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.18.

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.19).

Таблица 3.18 – Полностью приведенная матрица

Из/В	Б1	М2	М4	М7	М8
Б1		420	1620	0	480
М3	690		0	690	285
М6	0	0		720	1200
М7	0	420	1620		0
М8	480	15	1215	0

Таблица 3.19 – Определение сумм констант приведения

Из/В	Б1	М2	М4	М7	М8
Б1		420	1620	0(0+420=420)	480
М3	690		0(285+1215 =1500)	690	285
М6	0(0+0=0)	0(0+15=15)		720	1200
М7	0(0+0=0)	420	1620		0(285+0=285)
М8	480	15	1215	0(0+15=15)

Из таблицы 3.19 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении третей строки и четвертого столбца и составляет 1500.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (3,4), заменяя элемент а_6,2 = 0 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.20-3.23)

Таблица 3.20 – Исключение третей строки и четвертого столбца

Из/В	Б1	М2	М7	М8
Б1		420	0	480
М6	0		720	1200
М7	0	420		0
М8	480	15	0

Таблица 3.21 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	Б1	М2	М7	М8
Б1		420	0	480	0
М6	0		720	1200	0
М7	0	420		0	0
М8	480	15	0		0

Таблица 3.22 – Приведение матрицы по столбцам

Из/В	Б1	М2	М7	М8
Б1		420	0	480
М6	0		720	1200
М7	0	420		0
М8	480	15	0
	0	15	0	0

Тогда а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.33.

Таблица 3.33 – Полностью приведенная матрица

Из/В	Б1	М2	М7	М8
Б1		405	0	480
М6	0		720	1200
М7	0	405		0
М8	480	0	0

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.34).

Таблица 3.34 – Определение сумм констант приведения

Из/В	Б1	М2	М7	М8
Б1		405	0(405+0=405)	480
М6	0(720+0=720)		720	1200
М7	0(0+0=0)	405		0(0+480=480)
М8	480	0(0+405=405)	0(0+0=0)

Из таблицы 3.34 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении шестой строки и первого столбца и составляет 720.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (6,1) и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.35-3.38)

Таблица 3.35 – Исключение шестой строки и первого столбца

Из/В	М2	М7	М8
Б1	405	0	480
М7	405		0
М8	0	0

Таблица 3.36 – Приведение матрицы по строкам

Из/В	М2	М7	М8
Б1	405	0	480	0
М7	405		0	0
М8	0	0		0

Таблица 3.37 – Приведение матрицы по столбцам

Из/В	М2	М7	М8
Б1	405	0	480
М7	405		0
М8	0	0
	0	0	0

Тогда а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.38.

Таблица 3.38 – Полностью приведенная матрица/

Из/В	М2	М7	М8
Б1	405	0	480
М7	405		0
М8	0	0

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значениязаписываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.39).

Таблица 3.39 – Определение сумм констант приведения/

Из/В	М2	М7	М8
Б1	405	0(0+405=405)	480(0+0=0)
М7	405		0(480+408=885)
М8	0(0+405=405)	0(0+0=0)

Из таблицы 3.39 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении седьмой строки и восьмого столбца и составляет 885.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (7,8), заменяя элемент а_1,2 = 405 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим.

Таблица 3.40 – Исключение седьмой строки и восьмого столбца

Из/В	М2	М7
Б1		0
М8	0

После того, как ранг матрицы стал равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтеные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту комивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=10230.

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги:

(5, 6), (4, 5), (2, 3), (3,4), (6, 1), (7, 8), (1, 7), (8, 2).

Вернемся к возникшему у нас ранее ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г3,2. Полученные в дальнейшем расчеты приведем в приложении Б.

После того, как рассмотрели все возможные ветви алгоритма, выберем из полученных в результате рассмотрения каждой ветви значений нижней границы - минимальное. Это и будет оптимальной длиной пути коммивояжера.

Минимальное значение имеет НГр=10230.

Соответствующий оптимальный контур включет дуги: (5, 6), (4, 5), (2, 3), (3,4), (6, 1), (7, 8), (1, 7), (8, 2).