Лабораторная работа №5

Тема: Электронная таблица Microsoft Excel. Средства и методы решения уравнений. Уточнение корней уравнения методом подбора параметра и использование надстройки «Поиск решения». Циклические ссылки(4 часа)

Цель работы:Освоить встроенные средства решения уравнений: Подбор параметра, Поиск решения. Используя описанные итерационные модели численных методов решения уравнений: метод простой итерации, метод хорд, метод Ньютона и метод дихотомии, организовать итерационный процесс последовательного поиска корней уравнений. Научится применять циклические ссылки для организации вычислений.

Содержание

1 Численные методы решения нелинейных уравнений 1

1.1 Область локализации корней 1

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений 2

1.3 Метод простой итерации 3

Пример решения уравнения методом простой итерации 4

1.4 Метод секущих (метод хорд) 4

Пример решения уравнения методом хорд 6

1.5 Метод Ньютона (метод касательных) 6

Пример решения уравнения методом Ньютона 7

1.6 Метод дихотомии (половинного деления) 8

Пример решения уравнения методом дихотомии 10

2 Решение уравнений, используя сервис “Подбор параметра” 11

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра” 11

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения” 13

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения” 15

4 Использование циклических ссылок 15

Пример решения уравнения с использованием циклических ссылок 17

Задания 1. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения” 19

Задание 2. Решение уравнений численными методами 19

Задание 2.1 19

Задание 2.2 19

1 Численные методы решения нелинейных уравнений

1.1 Область локализации корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, чтооказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравненияf(x), с осью абсцисс.

Например, для уравнениявыполним преобразование и приведем его к видуf(x)=0т.е.. График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корнейуравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например,  степенные алгебраические уравнения степени  nприn ≤ 4. Однако, в общем виде,аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяютсячисленные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собойитерационные алгоритмыпоследовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корнюx₀и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательностьx₁, x₂, …,x_kсходящаяся  к корню уравнения .