3 Топографические планы и карты

3.1 Изображение земной поверхности на плоскости.

Влияние кривизны Земли

на горизонтальные и вертикальные расстояния

Для обработки результатов геодезических измерений и для получения топографических материалов точки земной поверхности проецируют отвесными линиями на поверхность более простую, чем земная. Такой поверхностью могут быть поверхности референц-эллипсоида, шара или плоскости. В геодезии используют проецирование точек линиями, перпендикулярными к поверхности относимости. Такое проектирование называют ортогональным. На рисунке 3.1 показано ортогональное проектирование контура ABCDE земной поверхности на поверхность референц-эллипсоида (см. рисунок 3.1, а) и плоскость (см. рисунок 3.1, б).

Рисунок 3.1 – Ортогональное проектирование

Как видно из рисунка 3.1, при ортогональном проектировании на референц-эллипсоид проекцией многоугольника ABCDE будет сферический многоугольник a'b'c'd'e', а при ортогональном проектировании многоугольника ABCDE на плоскость его проекцией будет плоский многоугольник abcde, который называют горизонтальной проекцией участка местности. Стороны плоского многоугольника ab, bc и т. д. являются горизонтальными проложениями соответствующих сторон пространственного многоугольника АВ, ВС и т. д. Как видно из рисунка 3.1, б горизонтальное проложение линии всегда меньше наклонной длины линии на местности.

d = D cosν,

где ν – угол наклона линии местности к плоскости Р.

Углы abc, bcd и т. д. – являются горизонтальными проекциями соответствующих углов на местности и называются горизонтальными углами. Изучение формы и размеров сферической проекции фигуры местности является более сложным, чем изучение плоской проекции, кроме этого сферическую проекцию нельзя изобразить в подобном виде на плоскости из-за влияния кривизны Земли. Поэтому возникает вопрос, при каких расстояниях на земной поверхности кривизну уровенной поверхности Земли можно не учитывать или при каких расстояниях можно сферическую фигуру местности принимать за плоскую. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Примем

фигуру Земли за шар радиусомR (рисунок 3.2). О – центр земного шара. Через точку А проведена горизонтальная плоскость, перпендикулярная к радиусу ОА. Разность между длиной касательной АС = d и длиной дуги АВ = D будет составлять погрешность в горизонтальном расстоянии при замене сферической поверхности плоскостью. Величина этой погрешности будет Δd = d – D.

Из треугольника ОАС находим d = R tgε. Длина дуги окружности D = Rε, где ε – центральный угол, выраженный в радианной мере. Тогда

Δd = d – D = R (tgε – ε). (3.1)

Из математики известно, что tgε можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя слагаемыми ряда:

tgε = ε + ε³/3 + …,

откуда, учитывая (3.1), получим

Δd = R(ε + ε³/3) – ε = Rε³/3.

Поскольку из выражения D = Rε; ε = D/R, то

Δd = RD³/3R³ = D³/3R². (3.2)

При R ≈ 6000 км и D = 10 км получим

Δd/D = D²/(3R²) = 10²/(3 · 36 · 10⁴) ≈ 1/10⁶ = 1/1000000.

Такой погрешностью характеризуются наиболее точные измерения линий в геодезии. Следовательно, участки земной поверхности размером 20×20 км можно считать плоскими, и в отношении расстояний, меньших 20 км, сферическую проекцию участков местности можно принимать за плоскую.

В отношении углов сферической проекции многоугольника имеется формула сферического избытка (q), который показывает, насколько сумма углов в сферическом многоугольнике больше чем в плоском:

q = ρP/R², (3.3)

где ρ – величина радиана (ρ = 57^о17'45'' = 3438^' = 206265'');

Р – площадь фигуры;

R – радиус земного шара.

Для Р = 10×10 км = 100 км² q = 0,51'', для Р = 20×20 км = 400 км² q = 2,03''.

Таким образом, при угловых измерениях с погрешностями более 2^'' для участков местности 20×20 км величина сферического избытка не превышает требуемой точности и влияние сферичности Земли можно не учитывать.

Из приведенных расчетов не следует делать вывод, что для линий, меньших 20 км можно не принимать во внимание влияние кривизны Земли при любых геодезических измерениях. Так, например, величина погрешности в вертикальном расстоянии, т. е. в высоте точки В, выразится отрезком ВС = h (cм. рисунок 3.2):

h = ОС – ОВ.

Из прямоугольного треугольника ОАС определим

d² = (R + h)² – R² = R² + 2Rh + h² – R² ,

откуда

h = d ²/(2R + h). (3.4)

Поскольку величина h мала по сравнению с радиусом Земли, то в знаменателе формулы (3.4) ею можно пренебречь, и тогда получим:

h = d ²/2R. (3.5)

Придавая d в формуле (3.5) различные значения и приняв R = 6000 км, получим: для d = 100 м – h = 1 мм, для d = 300 м – h = 8 мм, для d = 2000 м – h = 33,4 мм.

При строительстве инженерных сооружений погрешности высотных измерений не должны превышать 1–2 мм, поэтому влияние кривизны Земли на определение высоты должно учитываться уже для расстояний более 100 м.