7.9 Тригонометрическое нивелирование

Тригонометрическое нивелирование позволяет определять превышения и высоты точек с помощью наклонного луча визирования геодезических приборов, для измерения вертикальных углов (теодолиты, тахеометры, кипрегели).

Например, пусть требуется определить превышение h точки В над точкой А (рисунок 7.16). Для этого над точкой А устанавливают теодолит с вертикальным кругом и измеряют высоту прибора i, а в точке В – рейку. С помощью теодолита измеряют вертикальный угол υ при высоте наведения V на рейке. Расстояние D определяют по нитяному дальномеру.

Горизонтальное проложение

d = D cos ² υ. (7.11)

Из треугольника OMN и рисунка 7.16 видно, что

i + MN = h + V,

где MN = h^' = d tg υ, откуда h = i + h^' – V = d tg υ + i – V. (7.12)

Подставив в формулу (7.12) величину горизонтального проложения (7.11) и заменив tg υ = sin υ / cos υ, получим h = D cos ² υ sin υ / cos υ + i – V,

или, выполнив преобразования по формулам тригонометрии, находим

h = 0,5 D sin 2υ + i – V. (7.13)

При расстояниях от теодолита до рейки свыше 300 м в указанных формулах следует учитывать поправку за кривизну Земли и рефракцию, которая определяется по формуле

f = 0,42 d ² / R, (7.14)

где R – радиус Земли.

С учетом этой поправки полная формула тригонометрического нивелирования будет выглядеть следующим образом:

h = d tg υ + i – V + f. (7.15)

Высоту прибора i и высоту наведения по рейке V обычно измеряют рулеткой с точностью до 1 см, а произведение d tg υ определяют на калькуляторе или по специальным тахеометрическим таблицам. Оно может быть со знаком плюс или минус, что зависит от знака угла наклона υ.

Точность тригонометрического нивелирования зависит от точности измерения углов наклона и расстояний. Для получения средней квадратической погрешности тригонометрического нивелирования воспользуемся формулой погрешности функций общего вида (7.15)

m = (∂h / ∂d) ² m + (∂h / ∂υ) ² m + m + m + m. (7.16)

Погрешности m_i и m_v будут менее 1 см, и ими можно пренебречь. Величина f для расстояний до 300 м меньше 1 см, и ее не учитывают.

Найдем частные производные:

(∂h / ∂d) = tg υ; (∂h / ∂υ) = d cos ² υ

и подставим их в формулу (7.16):

m = tgm + (d ² / cos) (m / ρ ²). (7.17)

В формуле (7.17) величина ρ – коэффициент для перевода углов из градусной меры в радианную; ρ = 57,3^о = 3438' = 206265''.

Как видно из формулы (7.17), погрешность в определении превышения возрастает с увеличением расстояния. При измерении вертикальных углов теодолитом Т-30 (m_υ = 0,5') для расстояний d = 100 метров, измеряемых нитяным дальномером с точностью 1:300 и углах наклона υ ≤ 5^о, погрешность в превышении будет составлять 0,04 м на 100 м расстояния. Это справедливо для расстояний до 1–2 км. При больших же расстояниях на погрешность в превышении будет влиять непостоянство земной рефракции, условия видимости рейки и прохождение визирного луча над поверхностью земли. Поэтому тригонометрическое нивелирование следует производить с 9 до 16 ч, когда земная рефракция наиболее устойчивая.