Приклад виконання завдання д-6

Завдання Д-6.

Кулька, яку сприймаємо за матеріальну точку, рухається з положення А усередині трубки, вісь якої знаходиться в вертикальній площині (рис.1). Знайти швидкість кульки в положеннях В, С, Д, Е і силу тиску кульки на стінку трубки в положенні С. Силами тертя на криволінійних ділянках траєкторії знехтувати. Додатково визначити максимальне стиснення пружини.

рис.1	Дано: маса кульки: m =0,1 кг. Швидкість кульки в положенні А: =1 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання на прямолінійних ділянках АВ і ВD: f= 0,2. Довжина ділянки АВ: S=2 м. Час руху кульки на ділянці ВD: τ=0,5 с. Відстань від центра кола до кульки на криволінійній ділянці траєкторії: R=1 м. Коефіцієнт жорсткості пружини: c= 0,1 Н/см=10Н/м.
рис.2		Розв’язання. Покажемо сили що діють на кульку (рис.2). 1. На ділянці АВ на кульку діють: сила ваги нормальна реакціяі сила тертя ковзання. Для визначення швидкості кульки в положенні В застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки:

2. Ділянка ВD.

Для визначення швидкості кульки в положенні D застосуємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки (рис.2):

3. Ділянка СD.

На криволінійній ділянці СD на кульку діють сила ваги і нормальна реакція стінки трубки, яка напрямлена по головній нормалі, тобто по перпендикуляру до дотичної. Отже, роботу здійснює тільки сила ваги.

Для визначення швидкості кульки в положенні С застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2):

4. Ділянка СЕ.

Для визначення швидкості кульки в положенні Е застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2):

5. Для визначення реакції стінки трубки в положенні С застосуємо основне рівняння динаміки матеріальної точки в проекції на головну нормаль (рис.2):

Згідно з аксіомою взаємодії сила тиску кульки на стінку трубки в положенні С за числовим значенням дорівнює знайденій реакції і напрямлена в протилежну сторону.

6.Ділянка ЕК.

Для визначення максимального стиснення пружини застосуємо на ділянці ЕК теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2). При максимальному стисненні пружини швидкість кульки в положенні К дорівнює нулю.

Після підстановки числових значень величин отримаємо квадратне рівняння відносно h:

Розв’язання цього квадратного рівняння має вид:

.

Візьмемо в якості шуканої величини додатний корінь квадратного рівняння:

Відповідь: = 3,7 м/с; =6,6Н;

=5,3 м/с; h=0,58м.

=7,7м/с;

=7,4м/с;

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-10 Застосування теореми про зміну кінетичної енергії до вивчення руху механічної системи

1. Кінетичною енергією механічної системи називається скалярна величина, яка дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій всіх точок цієї системи:

. (1)

2. Якщо механічна система складається з твердих тіл, то її кінетична енергія дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в цю систему:

. (2)

Приведемо формули для визначення кінетичної енергії твердого тіла при різних видах його руху.

3. Поступальний рух.

Кінетична енергія твердого тіла при поступальному русі дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості центра мас:

. (3)

4. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Кінетична енергія твердого тіла при обертальному русі навколо нерухомої осі дорівнює половині добутку момента інерції тіла відносно осі обертання на квадрат його кутової швидкості:

. (4)

5. Плоско паралельний рух.

Кінетична енергія твердого тіла при плоско паралельному русі дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху тіла разом з центром мас і кінетичної енергії тіла при його обертальному русі навколо осі, що проходить через центр мас тіла і перпендикулярної до даної нерухомої площини:

. (5)

6. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи в інтегральній, або кінцевій формі формулюється так: зміна кінетичної енергії механічної системи при деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи зовнішніх і внутрішніх сил:

. (6)

У випадку незмінної механічної системи, наприклад, абсолютно твердого тіла, сума робіт внутрішніх сил дорівнює нулю. Сума робіт внутрішніх сил гнучкої і нерозтяжної нитки також дорівнює нулю. В цих випадках теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи має вид:

. (7)

7. Елементарна робота сили, прикладеної до твердого тіла, обчислюється за формулами:

• при поступальному русі:,

• при обертальному русі навколо нерухомої осі:,

• при плоскому русі:.

Елементарна робота зовнішніх сил, прикладених до незмінної системи, обчислюється по приведеним вище формулам.

Елементарна робота внутрішніх сил незмінної механічної системи, наприклад, абсолютно твердого тіла, дорівнює нулю.

8. У випадку сталих сил, сил ваги і сил пружності для обчислення роботи сил зручніше користуватися готовими формулами, які приводяться нижче.

9. Робота сталої сили при прямолінійному русі точки:

.

Якщо кут α гострий, то робота сили додатна; якщо кут α прямий, то робота сили дорівнює нулю; якщо кут α тупий, то робота сила від’ємна.

10. Робота сили ваги визначається за формулою:

.

Якщо матеріальна точка наближається до земної поверхні, то робота сили ваги буде додатна. Якщо матеріальна точка віддаляється від земної поверхні, то робота сили ваги буде від’ємна.

11. Робота сили пружності визначається за формулою:

,

де с – коефіцієнт жорсткості;

іh – початкова і кінцева деформації.