- •Функціональні навантаження виконавців посібника
- •Анотація
- •В и м о г и д о о ф о р м л е н н я з а в д а н ь розрахунково-графічної роботи
- •Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-1 Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, яка знаходиться під дією сталих сил
- •Приклад виконання завдання д-1
- •Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-6 Застосування основних теорем динаміки до дослідження руху матеріальної точки
- •Приклад виконання завдання д-6
- •Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-10 Застосування теореми про зміну кінетичної енергії до вивчення руху механічної системи
- •План розв’язання задач за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи
- •Приклад виконання завдання д-10
- •Література
- •Методичний посібник
Приклад виконання завдання д-1
Завдання Д-1.
Тіло рухається з точки А з початковою швидкістю по ділянціАВ довжиною ℓ похилої площини, яка утворює з горизонтом кут α (рис.1). Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині дорівнює f. Через τ секунд тіло в точці В зі швидкістю покидає похилу площину і падає на горизонтальну площину в точкуС зі швидкістю ; при цьому воно знаходиться в повітріТ секунд (рис.1).
При розв’язанні задачі сприйняти тіло за матеріальну точку і не враховувати опір повітря.
рис.1 |
Дано: =20 м/с f = 0,1 α =30о τ =2 с h=10 м Визначити: ,ℓ, d, T, ,рівняння траєкторії точки на ділянці ВС.
|
Розв’язання.
1. Розглянемо рух тіла на ділянці АВ (рис.1). Сприймаючи тіло за матеріальну точку, покажемо діючі на нього сили: силу ваги , нормальну реакціюі силу тертя ковзання. Складемо диференціальні рівняння руху точки на ділянціАВ:
З рівняння (2):
Підставимо значення F в рівняння (1), приймаючи до уваги, що :
або
Будемо двічі інтегрувати отримане диференціальне рівняння руху точки:
(3)
(4)
Для визначення сталих інтегрування скористаємося початковими умовами руху точки:
при .
З рівнянь (3) і (4):
Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (3) і (4):
Рівняння (3') описує залежність швидкості точки від часу.
Рівняння (4') описує залежність координати точки від часу, тобто (4') – це рівняння руху точки вздовж осі х1.
Для моменту τ, коли тіло покидає ділянку АВ,
З рівнянь (3') і (4') маємо:
З цих рівнянь знайдемо шукані величини: =8,5 м/с,ℓ=28,5 м.
2. Розглянемо рух тіла на ділянці ВС (рис.1).
Покажемо силу ваги , що діє на тіло, і складемо диференціальні рівняння його руху:
Таким чином, диференціальні рівняння руху точки на ділянці ВС мають вид:
Будемо інтегрувати двічі кожне з цих диференціальних рівнянь:
|
Початкові умови руху точки на ділянці ВС:
приt=0
З рівнянь (7), (8), (9), (10), маємо:
Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (7), (9) і (8), (10).
Рівняння (7') і (9')–це проекції вектора швидкості точки на осі координат.
Рівняння (8')і (10')–це рівняння руху точки.
3. Для визначення рівняння траєкторії точки на ділянці ВС треба виключити з рівнянь руху параметр t.
З рівняння (8') : . Підставимо значенняt в рівняння (10') :
. (11)
Підставивши числові значення в рівняння (11) і зробивши обчислення, отримаємо рівняння траєкторії точки:
4. В момент падіння в точку С:
З рівняння (11) маємо: або
, або
Оскільки траєкторією руху точки є вітка параболи з додатними абсцисами її точок, то d=14,24 м.
5. Час Т руху точки на ділянці ВС знайдемо з рівняння (8’), приймаючи до уваги, що при :
або
6. З рівнянь (7') і (9') знайдемо проекції швидкості точки на осі координат в момент падіння в точку С, тобто при :
.
Швидкість точки в момент падіння в точку С визначимо за формулою:
Відповідь: =8,5 м/с,ℓ=28,5 м, , d=14,24 м, Т=1,9 с, = 16,1 м/с.