Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-1 Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, яка знаходиться під дією сталих сил
Диференціальні рівняння руху матеріальної точки
1.Другий закон Ньютона (основне рівняння динамки)
Добуток маси матеріальної точки на прискорення, яке отримала точка відносно інерціальної системи координат під дією прикладеної до неї сили, дорівнює цій силі, тобто
(1)
Співвідношення (1) , яке
встановлює зв'язок між силою
,
масоюm
і прискоренням
,
є найважливішим в класичній механіці
і називаєтьсяосновним
рівнянням динаміки.
2.Якщо на матеріальну точку діє система сил, то основне рівняння динаміки має вид:
. (2)
3. Основне рівняння динаміки точки залишається справедливим і для невільної матеріальної точки, на яку накладені в’язі. В цьому випадку, користуючись принципом (аксіомою) звільнення від в’язей, слід подумки відкинути в’язі і замінити їх вплив на точку реакціями в’язей. У результаті цього матеріальну точку під дією активних сил і реакцій в’язей можна вважати вільною і застосовувати до неї закони і теореми динаміки.
4. З кінематики відомо, що рух точки можна задати трьома способами: векторним, координатним і природним. Згідно з цим отримаємо три види диференціальних рівнянь руху матеріальної точки.
5. Диференціальне рівняння руху матеріальної точки в векторній формі.
Вектор прискорення точки
при векторному способі задання її руху
визначається за формулою:
.
Після підстановки в формулу (2) отримаємо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в векторній формі:
(3)
6. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в декартових координатах.
З кінематики відомо, що
проекції вектора прискорення точки на
осі координат визначаються за формулами:
Проектуючи векторну рівність (2) на осі координат, отримаємо диференціальні рівняння руху матеріальної точки в декартових координатах:
. (4)
При русі матеріальної точки в площині Оху система рівнянь (4) приймає вид:
. (5)
При прямолінійному русі матеріальної точки вздовж осі Ох маємо одне диференціальне рівняння руху:
. (6)
7.Природні рівняння руху матеріальної точки
З кінематики відомо, що
проекції вектора прискорення точки при
природному способі задання її руху на
рухомі природні осі координат – дотичну,
головну нормаль і бінормаль визначаються
за формулами:
Проектуючи векторну рівність (2) на природні осі координат, отримаємо природні рівняння руху матеріальної точки:
(7)
Дві основні задачі динаміки матеріальної точки
За допомогою диференціальних рівнянь руху матеріальної точки можна розв’язувати дві основні задачі динаміки точки.
Перша (пряма) задача динаміки. По відомій масі матеріальної точки і кінематичним рівнянням її руху треба визначити рівнодійну системи сил, прикладених до цієї точки.
Пряма задача динаміки матеріальної точки легко розв’язується шляхом диференціювання заданих рівнянь руху точки.
Друга (обернена) задача динаміки. Визначити кінематичні рівняння руху матеріальної точки, якщо задані її маса, прикладені до неї сили і початкові умови руху.
Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь руху матеріальної точки (4).
У загальному випадку рух
точки в координатній формі описується
системою трьох диференціальних рівнянь
другого порядку відносно координат
точки (4). При її інтегруванні з’являться
шість сталих інтегрування. Для їх
визначення в умову задачі повинні бути
включені додаткові дані, які називають
початковими умовами руху. Початкові
умови руху матеріальної точки визначають
положення точки і її швидкість в
початковий момент часу. Положення точки
визначається трьома координатами х,
у, z,
а швидкість точки – трьома проекціями
швидкості
;
таким чином, початкові умови мають вид:
При t=0
(положення
точки)
(швидкість
точки)
В результаті підстановки початкових умов руху в перші і другі інтеграли
системи (4) утворюється система шести рівнянь для визначення шести сталих інтегрування.
Після того як сталі інтегрування визначені, їх підставляють в загальний розв’язок задачі і таким способом отримують рівняння руху матеріальної точки під дією даної системи сил при даних початкових умовах.
План розв’язання оберненої задачі динаміки матеріальної точки
1. Зобразити на рисунку матеріальну точку в поточний момент часу.
2. Показати активні сили, що діють на матеріальну точку.
3. Звільнити матеріальну точку від в’язей, замінивши дію в’язей реакціями.
4. Вибрати систему координат. Початок координат системи помістити в початковому положенні точки, а осі координат направити так, щоб координати точки в поточний момент і проекції швидкості точки на ці осі були додатними.
5. Скласти диференціальні рівняння руху матеріальної точки в вибраній системі координат. При цьому слід пам’ятати, що в отриманих диференціальних рівняннях проекції всіх сил необхідно виразити через ті змінні, від яких ці сили залежать.
6. Проінтегрувати отримані диференціальні рівняння руху точки.
7. Скласти початкові умови руху по тексту задачі.
8. По початковим умовам визначити сталі інтегрування.
9. Знайдені сталі інтегрування підставляємо в результат інтегрування диференціальних рівнянь руху точки. Це і будуть кінематичні рівняння руху точки.