18.2. Физические основы пластической деформации

В основе ОМД лежит процесс пластической деформации, при которой изменяется форма без изменения массы, либо объема (V=const).

Закон наименьшего сопротивления в теории ОМД гласит: при изменении формы тела каждая точка его перемещается в направлении наименьшего сопротивления.

Основное уравнение закона постоянства объема имеет вид

(1)

где  - коэффициент деформации по высоте  = h₁ /h₀  - коэффициент деформации по ширине  =b₁ /b₀

 - коэффициент деформации по длине  = l₁ /l_0.

Первоначальный объем V₀ = l₀ b₀ h₀, a деформированный объем V₁ = l₁ b₁ h₁

т.к. V₀ =V₁ , то l₀ b₀ h₀ = l₁ b₁ h₁  l₁ /l₀*b₁/ b₀ * h₁/ h₀ = 1     = 1.

При прокатке b₁ b₀ (уширениeм можно пренебречь), тогда и

Скорость деформации и смещенный объем.

Прологарифмируем выражение (1):

ln  + ln  + ln  = 0

(2)

Смысл (1) и (2) заключается в том, что уменьшение высоты вызывает увеличение по ширине и длине.

Натуральный логарифм коэффициента деформации в каком-либо направлении представляет собой _ удельный смещенный объем V_д/V в этом направлении, а сумма таких удельных объемов по всем направлениям равна нулю.

С

V_Деф = ln /t

мещенный объем служит мерой скорости деформации V_Деф - отношения удельного смещенного объема V_д /V к времени t , т.е.

(3)

(  = ) - величина относительной деформации.

в) Краткие сведения из теории пластической деформации твер­дых тел.

При любом виде нагружения в материале возникают - нормальные (_п)

и - касательные (_) напряжения:

_n = ₀ cos²  , (4)

_t = 0,5 ₀ sin2  .

Рис. 18.6. Определение нормальных и касательных напряжений

В сечении S⁰ (при  = 0) возникают максимальные нормальные напряжения _{n max} =  = F/S₀, а касательные _t = 0.

Максимальное касательное напря­жение  _{t max} = 0,5 при  =45°.

Плоскости, по которым касатель­ные напряжения не действуют, называ­ются главными плоскостями, а нор­мальные напряжения, действующие по главным плоскостям, называются глав­ными напряжениями.

Здесь рассмотрен простой случай растяжения в осевом направ­лении. Однако на практике материал подвергается растяжению или сжатию по двум, трем направлениям, т е находится в сложном на­пряженном состоянии.

В теории упругости показано, что в каждой точке любого на­пряженного тела (рис. 18.7) можно провести три взаимно перпендикулярные главные плоскости, через которые передаются три главных нормаль­ных напряжения ₁  ₂  _3.

В каждой точке напряженного тела можно выделить элемен­тарный кубик, гранями которого служат главные плоскости, по кото­рым действуют три взаимно перпендикулярных главных напряжения. Если материал подвергается одному простому растяжению (или сжа­тию), то тело находится в линейно - напряженном состоянии, если двум - в плоско - напряженном состоянии, если трем взаимно перпендикулярным деформациям - то в объемно - напряженном состоянии.

Рис. 18.7. Возможные схемы деформации по С.И.Губкину

На рис. 18.7 приведены девять возможных схем напряжения и три основные схемы деформации. С помощью таких схем определяется пластичность металла. Так как число схем деформаций три, а напряжений девять, то одна и та же схема деформаций может быть осуществлена при различных схемах напряженного состояния. Приме­ром схемы Д_I служит прокатка узкой полосы, а широкой полосы проходит по схеме Д_II. По схеме Д_III протягивается металл через отверстие.

Сопротивление деформации зависит также от температуры и скорости деформации.

Теория предельного состояния устанавливает зависимость между пределом текучести и напряжениями в материале при его пла­стической деформации. В случае простого линейного растяжения (или сжатия) пластическая деформация начинается при ₁ = _тех.

При сложном напряженном состоянии от ₂  0; ₃  0 вопрос о величине напряжений, возникающих при пластической деформации, может быть разрешен лишь с помощью теории предельного состояния. Согласно одной из теорий, пластическая деформация наступает, ко­гда разность ₁ - ₃ = _тех, т.е. выполняется условие пластической деформации.

Однако эта теория не учитывает напряжения ₂. Наиболее раз­вита теория Губера. Мизесс и Генки - которая называется энергети­ческой.

Согласно этой теории - пластическая деформация в теле насту­пает, когда потенциальная энергия упругой деформации, направлен­ной на изменение формы тела, а не объема, достигает определенного значения.

Потенциальная энергия упругой деформации W_n = W₀ + W_, где W₀, W_ - энергии, необходимые для изменения объема и формы.

При объемной деформации полная потенциальная энергия

W_n = (₁ ₁ + ₂ ₂ + ₃ ₃)/2 (5)

(т.к. W_n = E²/2;  =E*; W_n = (E)/2 =  /2).

По закону Гука

₁ = [₁ -  ( ₂ + ₃ )]/ Е (6)

₂ = [₂ -  ( ₁ + ₃ )]/ Е (7)

₃ = [₃ -  ( ₁ + ₂ )]/ Е (8)

Подставив (6)-(8) в (5), получим

W_n = [₁² + ₂² + ₃² -2( ₁₂ + ₂₃ + ₁₃ )]/ (2Е) (9)

Воспользуемся тем обстоятельством, что приращение объема V_деф/V при упругой деформации равно сумме деформаций в трех вза­имно перпендикулярных направлениях, т.е.

 V/V = ₁ + ₂ + ₃ = 1 - 2 ( ₁ + ₂ + ₃ )/Е (10)

Объемная составляющая W₀ потенциальной энергии равна

W₀ = 0,5( V/V)*( ₁ + ₂ + ₃ )/3 (11)

С учетом (10)

W₀ = ( ₁ + ₂ + ₃ )² (1 - 2 )/6Е (12)

Удельная потенциальная энергия W_, направленная на изме­нение формы тела:

W_ = W_n - W₀ = [(₁ - ₂ )² + (₂ - ₃ )² + (₃ - ₁ )² ](1 + 2 )/6Е (13)

При линейной деформации ( ₂  0; ₃  0; ₁ = _Т )

W_флин = 2_Т² (1 + ) / 6Е (14)

И следовательно, уравнение пластичности

(₁ - ₂ )² + (₂ - ₃ )² + (₃ - ₁ )² = 2²_тек = Const

(15)

В предельном случае при ₂ = ₃ ( либо₂ = ₁ ) получим

₁ - ₃ = _тек (16)

что совпадает с условием пластичности (в неэнергетической теории).

Если же ₂ = (₁ + ₃)/2 , получим

₁ - ₃ = 1,15_тек (17)

В общем случае, условие пластичности можно выразить уравнением

₁ - ₃ =  _тек (18)

где  = 1,0-1,15.

Уравнение пластичности (18) имеет большое значение при определении усилий, требующихся для ОМД.