7.4.2. Сложение и вычитание двоичных чисел

Сложение чисел, а также вычитание чисел в обратном или дополнительном кодах выполняется с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел. Это правило распространяется и на знаковые разряды чисел. Различие же обратного и дополнительного кодов связано с тем, что потом делают  с единицей переноса из старшего разряда, изображающего знак числа. При сложении чисел в обратном коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата, а в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется. Это очевидно, если вспомнить, что дополнительный код из обратного получается как раз прибавлением единицы. Рассмотрим пример: сложить числа +18 и –7 (табл. 7.4).

Таблица сложения чисел в прямом и дополнительном кодах

Таблица 7. 4

Итак, как в обратном, так и в дополнительном кодах результаты сложения совпали и равны 10112= 1110.

Умножение и деление двоичных чисел в ЭВМ производится в прямом коде, а их знаки используются лишь для определения знака результата. Также как и в математике, умножение и деление сводится к операциям сдвигов и сложений(с учётом знака числа).

Полученные коды мантиссы и порядка для каждого числа помещаются в ячейки памяти ЭВМ. Для каждой цифры, входящей в код, в ячейке памяти отводится своё отдельное место. Одна ячейка памяти состоит из 8 бит, т.е. 1 байта. В современных компьютерах 2 байта выделяются для одного машинного слова В последних моделях ПК обработка информации ведётся двойными словами, содержащими 4 байта. Числа с фиксированной запятой имеют формат одного слова, а числа с плавающей запятой - формат двойного слова..

Пример: Дано число с плавающей запятой величиной  –0,625×10⁸. Нужно преобразовать его в машинный код и заполнить 32-разрядную ячейку памяти. Мантисса числа  0,625₁₀ = 0,101₂.  Поскольку порядок чисел может быть как положительным, так и отрицательным, то машинный порядок смещается относительно естественного таким образом, чтобы весь диапазон машинных порядков изменялся от 0 до максимума, определяемого количеством разрядов, выделяемых для размещения чисел порядка. Обычно в 32-разрядной ячейке цифры порядка занимают 7 разрядов старшего байта, а восьмой разряд используется для фиксации знака числа.  Семь двоичных разрядов позволяют разместить диапазон десятичных разрядов  от –64 до +63. Если обозначить машинный порядок через R, а естественный через r, то связь между ними будет такая: R₁₀ = r₁₀+64₁₀. Для двоичной системы счисления R₂ = r₂ + 1000000₂. В нашем примере порядок r равен 8₁₀ = 1000₂, следовательно R₂ = 1001000. В двоичной системе исходное число выглядит так: –0,101х10¹⁰⁰⁰. Запись этого числа в 32-разрядной ячейке представлена в табл. 7.5:

Сводная таблица переводов целых чисел

Таблица 7. 5

7.5. Вопросы для повторения и самоконтроля

1. Для чего нужно изучать системы счисления, которые используются в компьютере?

2. Что называется системой счисления?

3. На какие два типа можно разделить все системы счисления?

4. Какие системы счисления называются непозиционными? Почему? Приведите пример такой системы счисления и записи чисел в ней?

5. Какие системы счисления применяются в вычислительной технике: позиционные или непозиционные? Почему?

6. Какие системы счисления называются позиционными?

7. Как изображается число в позиционной системе счисления?

8. Что называется основанием системы счисления?

9. Что называется разрядом в изображении числа?

10. Как можно представить целое положительное число в позиционной системе счисления?

11. Приведите пример позиционной системы счисления.

12. Опишите правила записи чисел в десятичной системе счисления:  i. а) какие символы образуют алфавит десятичной системы счисления? ii. б) что является основанием десятичной системы счисления? iii. в) как изменяется вес символа в записи числа в зависимости от занимаемой позиции?

13. Какие числа можно использовать в качестве основания системы счисления?

14. Какие системы счисления применяются в компьютере для представления информации?

15. Охарактеризуйте двоичную систему счисления: алфавит, основание системы счисления, запись числа.

16. Почему двоичная система счисления используется в информатике?

17. Дайте характеристику шестнадцатеричной системе счисления: алфавит, основание, запись чисел. Приведите примеры записи чисел.

18. Дайте характеристику восьмиричной системе счисления: алфавит, основание, запись чисел. Приведите примеры записи чисел.

19. По каким правилам выполняется сложение двух положительных целых чисел?

20. Каковы правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления?

21. Для чего используется перевод чисел из одной системы счисления в другую?

22. Сформулируйте правила перевода чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления и обратного перевода: из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р. Приведите примеры.

23. В каком случае для перевода чисел из одной системы счисления в другую может быть использована схема Горнера вычисления значения многочлена в точке? Каковы преимущества ее использования перед другими методами? Приведите пример.

24. Как выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и обратный перевод? Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно? Приведите примеры. Почему эти правила так просты?

25. По каким правилам выполняется перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную системы счисления и наоборот? Приведите примеры.

26. Напишите таблицы правил выполнения двоичного сложения, вычитания и умножения.

27. Какая форма представления информации называется непрерывной, а какая – дискретной?

28. Какая форма представления информации – непрерывная или дискретная – приемлема для компьютеров и почему?

29. Какова единица измерения информации?

30. Как задаются производные единицы измерения информации?

31. Как определяется алфавит?

32. Как кодируются символы в памяти компьютера?

33. Что собой представляет таблица ASCII кодов?

34. Как кодируются целые положительные числа в памяти компьютера?

35. Каковы особенности представления целых отрицательных чисел в памяти компьютера?

36. Как кодируются действительные числа?