7.4.1. Представление чисел в компьютере

Рассмотрим теперь более подробно процесс кодирования чисел в компьютере⁹. Среди чисел, которые мы используем, встречаются натуральные, целые, рациональные, иррациональные. В вычислительных машинах применяются две формы представления чисел:

• -  естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

• -  нормализованная форма или форма с плавающей запятой (точкой);

С фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной. Например,  32,54;  0,0036;  –108,2. Эта форма проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных компьютерах форма представления чисел с фиксированной запятой используется только для целых чисел.

С плавающей запятой  числа изображаются в виде X = ±M×P^±r, где M - мантисса числа (правильная дробь в пределах 0,1 ≤ M < 1),  r - порядок числа (целое), P - основание системы счисления. Например, приведенные выше числа с фиксированной запятой можно преобразовать в числа с плавающей запятой так: 0,3254×10²,  0,36×10^–2,  –0,1082×10³. Нормализованная форма представления   имеет огромный диапазон чисел и является основной в современных ЭВМ.

Всякое десятичное число, прежде чем оно попадает в память компьютера, преобразуется по схеме:

X₁₀→X₂→X₂ = M₂×10₂^r

После этого осуществляется ещё одна важная процедура:

•         -  мантисса с её знаком заменяется кодом мантиссы с её знаком;

•         -  порядок числа с его знаком заменяется кодом порядка с его знаком.

Указанные коды двоичных чисел - это образы чисел, которые и воспринимают вычислительные устройства.

Каждому двоичному числу можно поставить в соответствие несколько видов кодов. Существуют следующие коды двоичных чисел:

Прямой код. Прямой код двоичного числа (а это либо мантисса, либо порядок) образуется по такому алгоритму:

   1. Определить данное двоичное число - оно либо целое (порядок), либо правильная дробь (мантисса).

   2. Если это дробь, то цифры после запятой можно рассматривать как целое число.

   3. Если это целое и положительное двоичное число, то вместе с добавлением 0 в старший разряд число превращается в код. Для отрицательного двоичного числа перед ним ставится единица. Например:

число X₂ = –0,101101₂→ код числа  X _пр = 1101101; число Y₂ = +0,1101101₂→ код числа Y_пр = 01101101.

Жирным шрифтом выделены знаковые разряды и, кроме того, у кодов отсутствует индекс "2".

Обратный код. Обратный код положительного двоичного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа нужно, исключая знаковый разряд, во всех остальных разрядах нули заменить на единицы и наоборот. Например: число X₂ = –0,10101₂ → X_пр = 1 10101 → X_обр = 101010;

числоY₂ = +0,1101₂ → Y_пр = 01101 = Y_обр.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа образуется путём прибавления 1 к обратному коду. Например:

число X₂ = –0,10010₂ → X_пр = 110010 → X_обр = 101101 → X_доп = 101110;

число Y₂ = +0,1011 → Y_пр = 01011 = Y_обр = Y_доп.