1.3 Ең үлкен ортақ бөлгіш және ең кіші ортақ еселік

Қандай санның болса да кем дегенде екі бөлгіші болады – бір саны

және сол санның өзі. Бұл бөлгіштер а санының меншіксіз бөлгіштері деп, ал меншіксіз бөлгіштерінен өзге бөлгіштері меншікті бөлгіштер деп аталады.

Мысалы, 144 санынын меншіксіз бөлгіштерінен өзге меншікті 13 бөлгіші бар, олар 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 47, 72.

санының барлық бөлгіштерінің саны шектеулі, өйткені олардың әрқайсысыа-дан аспайды. а санының барлық бөлгіштерін табу үшін, а санын 1, 2, 3, ... а – 1 сандарының әрқайсысына бөліп көру қажет.

Айталық, мен, бүтін сандары берілсін. Осы екі санның әрқайсысы да бөлінетін санын олардың ортақ бөлгіші деп атайды.менсандарының әрқайсысының бөлгіштерінің саны ақырлы болғандықтан, олардың ортақ бөлгіштерінің саны да ақырлы.

3-анықтама. Егер сандары мен менсандарының ортақ бөлгіштері болса, онда олардың ең үлкеніна мен -ның ең үлкен ортақ бөлгіші деп атап келесідей белгілейді

2-теорема. Бүтін сандар сақинасында кез келген екі санның осы сақинаға енетін және де жалғыз тәсілмен анықталатын ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Дәлелдеуі. жәнесандарының ең үлкен ортақ бөлгіштері екеу делік. Оларсаны-ге бөлінеді. Тура осы сияқты,-десанына бөлінеді. Алжәне қатынастары тек қана немесеболғанда орындалады. ( 9 қасиеттің салдары бойынша). Алда ең үлкен ортақ бөлгіштің тек оң мәндерін қарастырамыз.

Енді, екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табудың жеңіл жолдарының бірі, Евклид алгоратимін қарастырайық.

3-теорема. Егер менбүтін сандары беріліп,

(1) болса, онда. Яғни,менсандарының ең үлкен ортақ бөлгішімен r сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне тең.

Дәлелдеуі. (1) теңдіктен менсандарының ортақ бөлгішісанының да бөлгіші екенін жәнемен r сандарының кез келген ортақ бөлгіші болатынын көреміз. Сондықтан,менсандарының барлық ортақ бөлгіштерімен r сандарының ортақ бөлгіштері болады, және керісінше. Бұданменжәнемен r сандарының оң ортақ бөлгіштерінің бірдейлігі шығады, демек

Егер саны-ға қалдықсыз бөлінсеболған жағдайда, онда а мен-ның ең үлкен ортақ бөлгішісаны болады,

Екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін, жоғарыдағы теоремаға сүйеніп, «біртіндеп бөлу» әдісін пайдаланады. Бұл әдіс Евклид алгоритмі деп аталады.

3-ші теорема бойынша . Осы теореманы b мен r сандарына қатысты қарастырып, әрі қарай жалғастырсақ, келесі теңдіктер тізбегін аламыз:

Біз натурал сандарының кемімелі

тізбегін алдық. Бұл тізбек ақырсыз болуы мүмкін емес. Сондықтан, жоғарыдағы бөлу процесінде, нольге тең қалдық табылады; болсын.

2-ші теорема бойынша, (2) теңдіктерден, келесі теңдіктерді аламыз:

,

яғни, менсандарының ең үлкен ортақ бөлгіші r-ға тең.

Демек, жәнебүтін сандарына, Евклид алгоритмін қолдансақ, онда ақырғы нольге тең емес қалдық осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Мысалы, сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін іздестірейік.

Мунда жазу керек

Ақырғы нольге тең емес қалдық 55, яғни

Евклид алгоритмінен кез келген жәнебүтін сандарының ең үлкен ортақ бөлгішінің бар екенін туындайды. Енді, бірнеше,сандарының ең ортақ бөлгішінің бар екенін дәлелдейік. Ол үшін, әуелі, келесі теореманы қарастырамыз.

4-теорема. Егер жәнеболса, онда.

Дәлелдеуі. болғандықтан,және. Алболғандықтан, барлықүшінжәнеболғандықтан. Демексанысандарының ортақ бөлгіші. Енді-ның осы сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші екенін көрсетейік. Ол үшінсандарының-дан өзге ортақ бөлгішіндейік. Ондасанысандарының да ортақ бөлгіші. Сондықтан Ал болғандықтан,жәнесандарының ең үлкен ортақ бөлгіші- да-ге қалдықсыз бөлінеді:. Біз-ныңсандарының кез келген ортақ бөлгішіне қалдықсыз бөлінетін көрсеттік. Демек.

Салдар. Егер болса, онда

Дәлелдеуі. Дәлелдеуді математикалық индукция әдісімен жүргіземіз. болғанда, яғни а₁ және а₂ сандары үшін тұжырым дұрыс үшін тұжырым дәлелденген дейік. Ондаболса, дегенненекені шығады. Егерболса, онда 3-ші теорема бойынша,екендігі шығады. Демек тұжырым бойыншаүшін де дұрыс. Математикалық индукция бойынша тұжырым барлықүшін дұрыс. Яғни,сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін, әуелісодан соңт.с.с.-дерді табуымыз керек. Нәтижесіндеаламыз. Мысалы, 988, 2014, 42598, 6726 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін іздестірейік.

Евклид алгоритмі бойынша

Яғни,

5-теорема. менсандарының ең үлкен ортақбөлгішін солмен

сандары арқылы сызықты өрнекпен көрсетуге болады, яғни әр уақытта менсандары табылып,болады.

Дәлелдеуі. Евклид алгоритмі бойынша

Бірінші теңдіктен мұндағыЕкінші теңдіктен=мұндағыбүтін сандар. Осы процесті әрі қарай жалғастыра отырып,теңдігін аламыз. Алекенін ескерсек,мұндағы- бүтін сандар.деп белгілесек,теңдігін аламыз. Мысалы, 90 және 35 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін сызықты өрнейік. Евклид алгоритмі бойынша,

Яғни,

Бірінші теңдіктен Бұл теңдіктің оң жағындағы өрнекті екінші теңдікке қойсақ, ондаЕндітеңдігіндегі 20-нымен, ал 15-тімен ауыстырсақБұл теңдікте

Осы типтес теорема, бірнеше санның ең үлкен ортақ бөлгіші үшін де орындалады, болса, ондаболатын-дер табылады.

Өзара жай сандар және олардың қасиеттері

4-анықтама. Егер болса, ондасандары өзара жай сандар деп аталады.

Мысалы, 17 мен 23 сандары өзара жай сандар, себебі ал 30-бен 72 сандары өзара жай сандар емес, себебі

6-теорема. а және b сандары өз ара жай болуы үшін,

(3)

теңдігі орындалатын, жәнебүтін сандарының бар болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттігі. Егер а мен b өзара жай болса, онда 5-ші теорема бойынша,жәнебүтін сандары табылып,теңдігі орындалады.

Жеткіліктігі. (3) теңдік орындалатындай жәнебүтін сандары бар болсын жәнедейік. Онда, бөлінгіштіктің қасиеті бойынша (3) теңдіктен 1 саны d санына қалдықсыз бөлінеді:ДемекОлай болса, а мен b өз ара жай сандар.

Салдар. Егер а мен b өз ара жай сандар болып, ал және болса, онда а₁ мен b₁ де өз ара жай сандар. Шынында да, болғандықтанжәнебүтін сандары табылып,теңдігі орындалады. Алжәнеболғандықтанжәнеболады. Сондықтан,яғни

7-теорема. а және b сандарын санына бөлгендегі ес еліктері өз ара жай сандар болады.

Дәлелдеуі. ,болса, ондаОсы теңдіктің екі жағында d-ға бөлсек.

теңдігін аламыз. Бұдан, 6-шы теорема бойынша.

болады.

8-теорема. Егер а және сандарыныңкөбейтіндісі с санына бөлінсе жәнеболса, онда b саны с санына бөлінеді.

Дәлелдеуі. болғандықтан,жәнебүтін сандары табылып,теңдігі орындалады. Осы теңдіктің екі жағында-ға көбейтсектеңдігін аламыз. Теореманың шарты бойыншаболғандықтан, бөлінгіштің қасиеті бойынша, ақырғы теңдіктің сол жағындағы қосынды да с санына бөлінеді. Онда теңдіктің оң жағындағысаны да с-ға бөлінеді, яғни.

9-теорема. Егер болса, ондас саны санына, сол жағдайда, тек қана сол жағдайда бөлінеді, егерс саны а-ға да -ға да бөлінсе.

Қажеттілігі. с саны санына, алсаны а және b сандарына бөлінетін болғандықтан, с саны а-ға да-ға бөлінеді.

Жеткіліктігі.Егер с/а болса, онда Ал с/ b жәнеболғандықтан (8-ші теорема) q саны-ға бөлінеді. Ондаяғни с саны а-ға да b-ға бөлінеді.

Мысалы, кез келген N саны 30 санына бөліну үшін, ол сан 2-ге, 3-ке, 5-ке бөліну керек. Өйткені алсаны соңғы цифры ноль болғандықтан екі мен беске бөлінеді және цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетіндіктен 3 саны да бөлінеді. Демек, 324750 саны 30-ға бөлінеді.

10-теорема. Егер жәнеболса, онда

Дәлелдеуі. Теорема тұжырымына кері, дейік. Ондаболады. Теорема шарты бойыншаболғандықтан, 6-теореманың салдары бойынша,Алжәнеболғандықтан, 8-теорема бойынша,Демекекендігі шығады. Бұл теорема шартына қайшы. Бұданекендігі шығады. Бұл теореманы төмендегіше жалпылауымызға болады. Егерсандарысандарының әрқайсысымен өз ара жай болса, ондакөбейтіндісікөбейтіндісімен өз ара жай болады.

Салдар. Егер болса, онда кез келгеннатурал сандар үшінболады. Ескерту.дегенненшықпайды, мұнда

5-анықтама. Егер сандарының кез келген екеуі өз ара жай болса, онда бұл сандар қос-қостан өз ара жай деп аталады.

_{Мысалы, 715, 96, 119 сандары қос-қостан өз ара жай, өйткені}

Ең кіші ортақ еселік

6-анықтама. Берілген сандарының әрқайсысына бөлінетін бүтін М саны, осы сандардың ортақ еселігі деп аталады.

Мысалы, сандарының көбейтіндісі осы сандардың әрқайсысына еселік болады.

7-анықтама. сандарының ортақ еселіктерінің ішіндегі ең кішісін ең кіші ортақ еселік деп атап, төмендегіше белгілейді:

11-теорема. Егер ,сандарының, ең кіші ортақ еселігі бар болса, онда ол таңбаға дейінгі дәлдікпен жалғыз түрде анықталған.

Шынында да, егер сандарысандарының ең кіші ортақ еселігі болса, ондажәнеболады. Ал бұл қатынастар тек қананеболғанда орындалады.

12-теорема. a және b сандарының ең кіші ортақ еселігі санына тең.

Мұндағы, - ең үлкен ортақ бөлгіш.

Дәлелдеуі. болсын, ондажәнемұндағыДемек,Бұл теңденсаны b және а сандарына қалдықсыз бөлінетінін көреміз. Яғнисаны . a және сандарының ортақ еселігі.

Енді. a және сандарының кез келген М еселігініңсандарына бөлінетінін көрсетсек, онда-ның ең кіші еселікболғандықтаннемесеБұл қатынастыАлболғандықтан(8-теорема бойынша). Демек n натурал саны табылып,болады. Ондажәнеболғандықтан, М саны болғандықтан М саны -ға бөлінеді.

1-салдар. Кез келген нольден өзге екі бүтін санның ең кіші еселігі бар.

Шынында да,

Мысалы, Әуелі-ті есептейік ,

Мына жерге жазу керек Нурланбектен сурау.

Демек,

Енді ең кіші ортақ еселіктің қасиеттерін қарастырайық.

1. Егер a және сандарының әрқайсысынсанына көбейтсек,

онда олардың ең кіші ортақ еселігі де k-ға көбейтіледі.

Шынында да,

2. Егер жәнеболса, онда

Дәлелдеуі І қасиеттің дәлелдеуімен типтес.

Мысалы, есептейік. Берілген екі санды да онға бөлсек,

онда

мұнда жазу керек

Демек, Біздер екі санның ең кіші ортақ еселігін

табуды қарастырдық. Айталық бірнеше санның ең кіші ортақ

еселігін табу керек болсын.

13-теорема. Егер жәнеболса, онда

Дәлелдеуі. саныжәнесандарына бөлінеді.

Ал санысандарының әрқайсысына бөлінетіндіктен, m саны

-дің әрқайсысына бөлінеді. М саны сандарының кез

келген еселігі болады.Онда М саны -дің әрқайсысына

бөлінетіндіктен, -ге де бөлінеді. Ал М санысанына да

бөлінетіндіктен, ол санына да бөлінеді. Осымен m санының ең

кіші ортақ еселік екені дәелденді. 13-теорема негізінде, келесі тұжырым

жасауға болады.Егер

болса, ондаМысалы,есептейік.

Яғни,

13-теорема.Егер сандары, қос- қостан өз ара жай болса,

онда олардың ең кіші ортақ еселігі осы сандардың көбейтіндісіне тең.

Дәлелдеуі.болсын. Онда

Осы процесті әрі қарай жалғастыра отырып екендігін

табамыз.

Мысалы, есептейік.

Демек,