2. Анализ динамики ударно-вибрационных систем

2.1 Обоснование расчетной схемы ударно-вибрационной системы с двумя степенями свободы на примере резонансной виброплощадки с центробежным и эксцентриково-шатунным приводами

Для аналитического исследования и математического моделирования ударно–вибрационных машин с двумя степенями свободы необходима разработка их расчетных схем. Расчетные схемы строят на основе общепринятых упрощений и допущений. Это является обычным для большинства прикладных задач теории колебаний. Инерционные тела, считают абсолютно твердыми телами. Одно из них является рабочим органом машины и взаимодействует с обрабатываемой средой. Влияние этой среды на динамику вибрационной машины будем учитывать присоединением к рабочему органу массы обрабатываемого материала и введением сопротивления. Сопротивление имитирует диссипацию энергии в обрабатываемой среде.

Такое допущение является приемлемым для изучения интересующих нас фазовых соотношений [18]. Массой упругих элементов, из-за их малости по сравнению с сосредоточенными массами тел будем пренебрегать [15]. Движение абсолютно твердых тел массами m₁ и m₂ будем считать прямолинейным возвратно поступательным.

Для негармонических колебаний рабочего органа в резонансных вибрационных машинах необходимы нелинейные упругие связи. Это нужно для обеспечения технологической устойчивости. В частности, для стабильности динамических характеристик, при изменении массы технологической нагрузки в сравнительно широких пределах. Комбинация постоянных упругих связей с упругими ограничителями хода (демпферами) позволяют получать разнообразные характеристики. Связи таких типов получим наиболее широкое распространение в конструкциях резонансных вибрационных машин. Характеристики таких упругих связей можно с достаточной точностью считать кусочно-линейными.

При исследовании колебаний упругой системы в области резонанса очень важен учет рассеяния энергии в упругих элементах. Внутреннее трение определяется рядом факторов. Влияние этих факторов весьма сложно. Наиболее распространение получила гипотеза Кельвина – Фойгта, которую часто называют гипотезой вязкого трения. Согласно гипотезе вязкого трения, диссипативная сила прямо пропорциональна деформации упругих связей. Следовательно, гипотеза вязкого трения при сравнительной простоте обеспечивает необходимое соответствие с экспериментальными данными [15], [16].

Всякий реальный источник энергии имеет ограниченную мощность [24]. Однако в нашем исследовании приводные электродвигатели имеют заметный запас мощности. Кроме того рассматриваться будут лишь стационарные колебания систем. Поэтому с достаточной для целей нашего исследования достоверностью можно считать, что рассматриваемые системы обладают источником энергии, неограниченным по мощности. Иными словами, можно считать угловую частоту вынуждающей силы постоянной.

На основании исследований весь класс двухмассных ударно – вибрационных машин с упругими ограничителями будем схематизировать в виде кусочно-линейных систем. При такой схематизации часть движения (когда нет удара) на рабочий орган и раму, либо вообще не действуют упругие силы, либо эти силы малы. Это объясняется деформацией упругих элементов малой жесткости, которые постоянно связывают два тела совершающих колебания. В момент удара, когда происходит соприкосновение двух тел, начинают действовать значительные упругие силы. Эти силы определяются деформацией упругих ограничителей с большими коэффициентами жесткости. Таким образом, при работе таких машин в течении одного периода движения суммарный коэффициент жесткости упругих связей меняется. Такой схемой может быть представлена большая группа распространенных ударно-вибрационных площадок для уплотнения бетонных смесей, виброгрохотов и некоторых других вибрационных машин.

Расчетные схемы ударно-вибрационных систем с центробежным и с эксцентриково-шатунным приводами, описывающие данный характер движения представлены на (рис. 5 и 6).

Рис. 5 Модели ударно-вибрационной системы с центробежным приводом

Рис. 6 Модели ударно-вибрационной системы

с эксцентриково-шатунным приводом.

Будем считать, что характеристики постоянных упругих элементов, резиновых ограничителей и опорных упругих элементов линейны. Диссипативное сопротивление, обусловленное наличием обрабатываемой среды, также примем пропорциональным скорости перемещения рабочего органа. Введем следующие обозначения:

m₁ – масса уравновешивающей рамы;

m₂ - масса рабочего органа, с присоединенной массой обрабатываемой среды;

С₀, С₁, С₂, С₃ - соответственно коэффициенты жесткости опорных пружин, упругих элементов постоянной подвески массы m₁ и m₂, упругого ограничителя и упругого элемента шатуна;

b, b₀, b₂ - соответственно коэффициенты сопротивления обрабатываемой среды, опорных элементов и упругого ограничителя;

e - радиус кривошипа с упругим шатуном;

- угловая частота вынуждающей силы;

- ускорение свободного падения.

Введем систему отсчета, ось x направим вертикально вверх. Перемещение массы m₁ обозначим через x₁ и будем отсчитывать его от положения статического равновесия, при котором опорные пружины деформированы на величину . Перемещениеx₂ массы m₂ будем отсчитывать от этого же положения с добавлением недеформированной высоты пружин с коэффициентом жесткости С₁. Следовательно, деформация пружин с коэффициентом жесткости С₁ выражается, как x₂ -x₁. Деформация упругого ограничителя равна .