Бабич Диференціальні рівняння

Рiвняння (3.2.2) називають характеристичним рiвнянням. Воно ¹ алгебра¨чним рiвнянням n-го степеня i над множиною комплексних чисел

ì๠n коренiв з урахуванням ¨хньо¨ кратностi. Рiвняння (3.2.2) ¹ рiвнянням iз дiйсними коефiцi¹нтами, i якщо воно ма¹ комплексний корiнь

λ1 = α + iβ, то число λ2 = λ1 = α − iβ також ¹ його коренем, причому цi коренi мають однакову кратнiсть.

Частиннi розв'язки рiвняння (3.2.1) залежно вiд виду коренiв характеристичного рiвняння мають такий вигляд:

1) кожному п р о с т о м у д i й с н о м у кореню λ характеристичного рiвняння вiдповiда¹ о д и н частинний розв'язок

eλx;

2) кожному к р а т н о м у д i й с н о м у кореню λ кратностi k (k 6 n) âiäïîâiä๠k лiнiйно незалежних частинних розв'язкiв

eλx, xeλx, x2eλx, . . . , xk−1eλx;

3) кожнiй п а р i п р о с т и х к о м п л е к с н о с п р я ж е н и х коренiв λ = α ± iβ вiдповiда¹ д в а лiнiйно незалежних частинних розв'язки

eαx cos βx, eαx sin βx;

Частиннi розв'язки рiвняння (3.2.1), що вiдповiдають р i з н и м кореням характеристичного рiвняння (3.2.2), ¹ лiнiйно незалежними. Фундаментальну систему розв'язкiв рiвняння (3.2.1) будують вiдповiдно до того, якими ¹ коренi характеристичного рiвняння (3.2.2). Наприклад,

якщо характеристичне рiвняння ма¹ n простих дiйсних коренiв

λ1, λ2, . . . , λn,

то фундаментальна система розв'язкiв рiвняння (3.2.1) ма¹ вигляд

eλ1x, eλ2x, . . . , eλnx.

31

Якщо, скажiмо, характеристичне рiвняння ма¹ m рiзних дiйсних коренiв

λ1, λ2, . . . , λm кратностi k1, k2, . . . , km (k1 + k2 + . . . + km = n) вiдповiдно, то фундаментальна система розв'язкiв рiвняння (3.2.1) ма¹ вигляд

eλ1x, xeλ1x, . . . , xk1−1eλ1x, eλ2x, xeλ2x, . . . , xk2−1eλ2x,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

eλmx, xeλmx, . . . , xkm−1eλmx.

I так розгляд можливих випадкiв можна продовжити далi.

П р и к л а д 1. Знайти загальний розв'язок рiвняння

y00 − 8y0 + 15y = 0.

Р о з в ' я з а н н я. Склада¹мо характеристичне рiвняння:

λ2 − 8λ + 15 = 0.

Воно ма¹ два простi коренi: λ1 = 3, λ2 = 5. Частиннi розв'язки

y1 = e3x, y2 = e5x

утворюють фундаментальну систему розв'язкiв. Загальний розв'язок ма¹ вигляд

y= C1y1 + C2y2 = C1e3x + C2e5x.

Ïр и к л а д 2. Знайти загальний розв'язок рiвняння

yIV − 4y00 = 0.

Р о з в ' я з а н н я. Характеристичне рiвняння ма¹ вигляд

λ4 − 4λ2 = 0, àáî λ2(λ2 − 4) = 0.

Воно ма¹ такi коренi: λ1 = λ2 = 0, λ3 = −2, λ4 = 2. Двократному кореню

λ = 0 вiдповiдають два лiнiйно незалежнi частиннi розв'язки y1 = 1 òà y2 = x, простому кореню λ = −2 вiдповiда¹ частинний розв'язок y3 = e−2x, простому

кореню λ = 2 частинний розв'язок y4 = e2x. Цi чотири частиннi розв'язки ¹ лiнiйно незалежними i утворюють фундаментальну систему розв'язкiв заданого диференцiального рiвняння четвертого порядку. Загальний розв'язок заданого рiвняння ма¹ вигляд

y= C1 + C2x + C3e−2x + C4e2x.

Ïр и к л а д 3. Знайти загальний розв'язок рiвняння y00 + 6y0 − 13y = 0.

Р о з в ' я з а н н я. Характеристичне рiвняння λ2 + λ + 13 = 0; його коренi

λ1,2 = −3 ± 2i. Цiй парi простих комплексно-спряжених коренiв вiдповiдають два лiнiйно незалежнi частиннi розв'язки e−3x cos 2x òà e−3x sin 2x. Загальний розв'язок ма¹ вигляд

y = C1e−3x cos 2x + C2e−3x sin 2x.

32

3.3.Неоднорiднi рiвняння зi сталими коефiцi¹нтами

Загальний розв'язок лiнiйного неоднорiдного рiвняння

äå Qm(x) многочлен степеня m iз невiдомими коефiцi¹нтами,

Qm(x) = A0xm + A1xm−1 + . . . + Am−1x + Am.

Для того щоб знайти невiдомi числа A0, A1, . . . , Am−1, Am, функцiю y (3.3.3) пiдставляють у рiвняння (3.3.1) i прирiвнюють коефiцi¹нти при

однакових степенях змiнно¨ x у лiвiй та правiй частинах отримано¨ у результатi пiдстановки рiвностi. У такий спосiб отримують систему m+1

α корiнь характеристичного рiвняння кратностi k (k > 1), то частинний розв'язок шукають у виглядi

Невiдомi коефiцi¹нти многочлена Qm(x) визначають, як i в попередньому випадку шляхом пiдстановки функцi¨ (3.3.4) у рiвняння (3.3.1).

Якщо права частина f(x) рiвняння (3.3.1) ма¹ вигляд

33

äå Pm(x) i Gl(x) многочлени степеня m i l вiдповiдно, то частинний розв'язок шукають у виглядi

äå r = 0, ÿêùî λ = α ± iβ не ¹ коренями характеристичного рiвняння, i r = k, ÿêùî λ = α ± iβ коренi характеристичного рiвняння кратностi k, Q1ν (x) i Q2ν (x) многочлени степеня ν з невiдомими коефiцi¹нтами,

Характеристичне рiвняння ма¹ вигляд λ2 + 4 = 0; його коренi λ1,2 = ±2i; фундаментальну систему розв'язкiв однорiдного рiвняння утворюють функцi¨

cos 2x, sin 2x. Загальний розв'язок однорiдного рiвняння ма¹ вигляд

y = C1 cos 2x + C2 sin 2x.

Шука¹мо тепер частинний розв'язок неоднорiдного рiвняння. Права частина f(x) = xe2x це добуток експоненти iз показником αx = 2x i многочлена

першого степеня P1(x) = x. Оскiльки число α = 2 не ¹ коренем характеристи- чного рiвняння, то частинний розв'язок y неоднорiдного рiвняння шука¹мо у

виглядi

y = e2x(Ax + B),

äå A i B невiдомi числа.

Пiдставля¹мо y у рiвняння. Для цього запишемо в окремих рядках y ,

y 0 i y 00. Потiм кожний iз цих рядкiв помножимо на вiдповiднi коефiцi¹нти

рiвняння (перший на 4, другий на 0, третiй на 1) i складемо рядки мiж собою. Сума да¹ нам лiву частину рiвняння при y = y . Ïðèðiâíÿ¹ìî ¨¨

до право¨ частини рiвняння:

34

Отже, для визначення невiдомих коефiцi¹нтiв A i B ми отримали таку

ðiâíiñòü:

8e2x(Ax + B) + 4e2xA = xe2x.

Пiсля скорочення на e2x i зведення подiбних отрима¹мо рiвнiсть

8Ax + (4A + 8B) = x.

Прирiвнюючи коефiцi¹нти при однакових степенях x у правiй i лiвiй частинах, отрима¹мо систему

Запишемо загальний розв'язок неоднорiдного рiвняння:

y= y + y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 161 e2x (2x − 1) .

Ïр и к л а д 2. Знайти загальний розв'язок рiвняння

y00 − 2y0 + y = x + 3 + 4ex + sin x.

Р о з в ' я з а н н я. Характеристичне рiвняння λ2 −2λ+1 = 0, воно ма¹ один двократний корiнь λ = 1. Фундаментальну систему розв'язкiв вiдповiдного

однорiдного рiвняння утворюють функцi¨ ex, xex; запишемо його загальний

ðîçâ'ÿçîê:

y = C1ex + C2xex.

Перейдемо до побудови частинного розв'язку неоднорiдного рiвняння. Його права частина явля¹ собою суму трьох рiзнотипних функцiй: f1(x) = x + 3, f2(x) = 4ex i f3(x) = sin x. Частинний розв'язок y шукатимемо у виглядi суми

y = y1 + y2 + y3,

äå yk частинний розв'язок рiвняння y00 − 2y0 + y = fk(x), k = 1, 2, 3. Знаходимо y1. Запису¹мо рiвняння для визначення y1:

y00 − 2y0 + y = x + 3.

Îñêiëüêè x = xe0x i α = 0 не ¹ коренем характеристичного рiвняння, то y1 шука¹мо у виглядi y1 = Ax + B. Знаходимо коефiцi¹нти A i B:

35

Звiдси отриму¹мо таку рiвнiсть:

Ax − 2A + B = x + 3.

Прирiвню¹мо коефiцi¹нти при однакових степенях змiнно¨ x:

Розв'язком отримано¨ системи ¹ A = 1, B = 5. Îòæå, y1 = x + 5. Знаходимо y2 як частинний розв'язок рiвняння

y00 − 2y0 + y = 4ex.

Оскiльки права частина цього рiвняння явля¹ собою добуток многочлена нульового степеня P0(x) = 4 на експоненту eαx = ex i число α = 1 ¹ двократним

коренем характеристичного рiвняння, то y2 шука¹мо у виглядi y2 = x2exA. Пiдставля¹мо y2 у рiвняння:

I нарештi, знаходимо y3. Функцiя y3 ¹ частинним розв'язком рiвняння

y00 − 2y0 + y = sin x.

Права частина цього рiвняння f3(x) = sin x вiдповiда¹ випадку (3.3.5) при

α = 0, β = 1, Pm(x) = 0, l = 0, Gl(x) = 1. Оскiльки число λ = α ± iβ = 0 ± i · 1

не ¹ коренем характеристичного рiвняння, то y3 шука¹мо у виглядi:

Звiдси отриму¹мо таку рiвнiсть:

−2B cos x + 2A sin x = 6 sin x.

36

Прирiвню¹мо коефiцi¹нти при лiнiйно незалежних функцiях cos x i sin x у лiвiй та правiй частинах останньо¨ рiвностi:

Îòæå, A = 3, B = 0, а частинний розв'язок y3 ма¹ вигляд

y3 = 3 cos x.

Запишемо загальний розв'язок заданого неоднорiдного рiвняння:

y = C1ex + C2xex + x + 5 + 2x2ex + 3 cos x.

П р и к л а д 3. Знайти частинний розв'язок рiвняння y00 + y = 8 sin x, який задовольня¹ умови y(0) = 0, y0(0) = 1.

Р о з в ' я з а н н я. Характеристичне рiвняння ма¹ вигляд λ2 + 1 = 0; éîãî

коренi λ1,2 = ±i. Фундаментальну систему розв'язкiв вiдповiдного однорiдного рiвняння утворюють функцi¨

y1 = cos x, y2 = sin x.

Загальний розв'язок y вiдповiдного однорiдного рiвняння дорiвню¹:

y = C1 cos x + C2 sin x.

Частинний розв'язок y неоднорiдного рiвняння шука¹мо у виглядi

y = x(A cos x + B sin x),

оскiльки права частина рiвняння ма¹ вигляд f(x) = eαx sin βxP0(x) = 8 sin x,

α = 0, β = 1, P0(x) = 8, i числа α ± iβ = 0 ± i · 1 ¹ простими коренями характеристичного рiвняння.

Пiдставля¹мо y у рiвняння:

Iз отримано¨ рiвностi 2B cos x−2A sin x = 8 sin x знаходимо, що A = −4, B = 0. Отже, загальний розв'язок заданого рiвняння ма¹ вигляд:

y = C1 cos x + C2 sin x − 4x cos x.

37

Виберемо тепер значення сталих C1 i C2 так, щоб виконувалися заданi початковi умови:

y(0) = C1 = 0, y0(0) = C2 − 4 = 1.

Пiдставимо знайденi з початкових умов значення сталих C1 = 0, C2 = 5 у загальний розв'язок i отрима¹мо розв'язок задано¨ задачi Кошi:

y = 5 sin x − 4x cos x.

Розглянутий метод ¹ досить простим, вiн дозволя¹ без обчислення квадратур пiдiбрати частинний розв'язок неоднорiдного рiвняння (3.3.1) за видом право¨ частини рiвняння. Але цей метод ма¹ один значний недо-

лiк вiн застосовний лише у випадку, коли права частина f(x) рiвняння ¹ функцi¹ю виду (3.3.2) або (3.3.5) або ¹ сумою таких функцiй. Розглянемо метод, позбавлений такого недолiку.

Метод варiацi¨ довiльних сталих. Цей метод дозволя¹ вiдшука-

ти частинний розв'язок лiнiйного неоднорiдного рiвняння, якщо вiдомий загальний розв'язок вiдповiдного однорiдного рiвняння.

Нехай вiдома фундаментальна система розв'язкiв y , y , . . . , y повiдного однорiдного рiвняння. Тодi загальний розв'язок1 неоднорiдного2 n âiä-

рiвняння шукають у виглядi

y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + . . . + Cn(x)yn.

Функцi¨ C1(x), C2(x), . . . , Cn(x) знаходять iз системи рiвнянь

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

П р и к л а д 4. Знайти загальний розв'язок рiвняння y00 + y = tg x.

Р о з в ' я з а н н я. Фундаментальну систему розв'язкiв вiдповiдного однорiдного рiвняння y00 + y = 0 утворюють функцi¨

y1 = cos x, y2 = sin x,

а його загальний розв'язок ма¹ вигляд

y = C1 cos x + C2 sin x

(див. приклад 3 на с. 37).

38

Загальний розв'язок заданого неоднорiдного рiвняння шука¹мо у виглядi

y = C1(x) cos x + C2(x) sin x.

Функцi¨ C1(x) i C2(x) визнача¹мо iз системи

39

Знайти частиннi розв'язки рiвнянь за вказаних додаткових умов:

40