Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Бабич Диференціальні рівняння

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
524.94 Кб
Скачать

Òåìà 4

Системи диференцiальних рiвнянь

4.1.Основнi поняття

Означення 17. Система диференцiальних рiвнянь виду

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

= f1

(t, x1

, x2

, . . . , xn),

 

dt

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

= f

(t, x

, x

, . . . , x

),

 

 

 

 

 

2

1

2

n

 

(4.1.1)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= fn(t, x1

, x2

, . . . , xn),

 

ddtn

 

äå x1, x2, . . . , xn невiдомi функцi¨ незалежно¨ змiнно¨ t, назива¹ться н о р м а л ь н о ю с и с т е м о ю.

Розв'язком системи (4.1.1) називають сукупнiсть n функцiй

xi

= ϕ (t), (i = 1, 2, . . . , n), якi перетворюють кожне iз рiвнянь систе-

ìè íà тотожнiсть.

 

 

Загальний розв'язок системи (4.1.1), яка мiстить n рiвнянь, залежить

âiä n довiльних сталих, тобто

 

 

xi = ϕi(t, C1, C2, . . . , Cn), i = 1, 2, . . . , n.

 

 

Початковi умови для системи (4.1.1) мають вигляд

 

 

x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, . . . , xn(t0) = xn0 .

(4.1.2)

Задачу вiдшукання розв'язку системи (4.1.1) за умов (4.1.2) називають задачею Кошi.

41

4.2.Метод виключення невiдомих

Розглянемо один1 iз способiв побудови розв'язку системи (4.1.1). Диференцiю¹мо за t перше рiвняння системи (4.1.1):

d2x1

=

∂f1

+

∂f1 dx1

+ . . . +

∂f1

 

dxn

.

2

 

∂t

 

 

dt

∂xn

 

dt

dt

 

 

∂x1

 

 

 

 

Çàìiíèìî ïîõiäíi dx1

dxn

f1, . . . , fn iз системи

 

 

 

 

 

 

 

dt , . . . ,

dt ¨хнiми виразами

(4.1.1). У результатi отрима¹мо рiвняння

 

 

 

 

d2x1

= F2(t, x1, . . . , xn).

 

2

 

 

 

 

dt

 

 

 

Отримане рiвняння знову диференцiю¹мо по t i, беручи до уваги рiвняння (4.1.1), матимемо:

 

 

 

d3x1

= F3(t, x1, . . . , xn).

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Продовжуючи цей процес, отрима¹мо:

 

 

 

 

dnx1

= Fn(t, x1, . . . , xn).

 

 

 

 

 

dtn

 

Таким чином, ма¹мо систему

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

= f1(t, x1, . . . , xn),

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

d2x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= F2(t, x1, . . . , xn),

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4.2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

x1

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dtn1

= Fn−1(t, x1, . . . , xn),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dnx

= Fn(t, x1, . . . , xn),

 

 

 

dtn1

 

1Ознайомитися докладнiше iз методами розв'язування систем диференцiальних рiвнянь можна, наприклад, у [4; 5].

42

Iз перших n −1 рiвнянь системи (4.2.1) виразимо1 íåâiäîìi x2, . . . , xn:

x2

= ϕ2(t, x1

, x0

, . . . , x(n−1)),

 

 

1

1

 

1

1

(4.2.2)

x3 =

ϕ3(t, x1, x0

, . . . , x(n−1)),

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

xn =

ϕn(t, x1, x0

, . . . , x(n−1)).

 

 

1

1

 

Пiдставивши цi вирази в останн¹ рiвняння системи (4.2.1), отрима¹мо рiвняння n-го порядку вiдносно невiдомо¨ x1:

dnx1

= Φ(t, x1, x10 , . . . , x1(n−1)).

(4.2.3)

dtn

 

 

Знаходимо його розв'язок

x1(t) = ψ1(t, C1, . . . , Cn),

пiдставля¹мо його у спiввiдношення (4.2.2) i отриму¹мо невiдомi

xi(t) = ψi(t, C1, . . . , Cn), i = 2, . . . , n.

П р и к л а д 1. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь

dt

= x + 4y + 9t,

 

dx

dy

 

 

 

 

 

dt

= x + y.

 

 

 

 

 

Р о з в ' я з а н н я. Диференцiю¹мо п е р ш е рiвняння:

x00 = x0 + 4y0 + 9.

Пiдставля¹мо сюди вираз для y0 iз д р у г о г о рiвняння задано¨ системи

y0 = x + y:

x00 = x0 + 4x + 4y + 9.

Iз п е р ш о г о рiвняння задано¨ системи знаходимо y:

y = 14 (x0 − x − 9t).

Пiдставляючи цей вираз у отримане рiвняння другого порядку, ма¹мо:

x00 = x0 + 4x + (x0 − x − 9t) + 9.

1Тут ми припуска¹мо, що це можна

зробити.

Умовою iснування

ðîçâ'ÿçêó

x2, . . . , xn перших n − 1 рiвнянь системи

(4.2.1) ¹

âiäìiííiñòü âiä íóëÿ

ÿêîáiàíà

 

D(f1, F2, . . . , Fn−1)

 

 

 

 

D(x2, . . . , xn)

.

 

 

 

43

Ми отримали рiвняння другого порядку вiдносно однi¹¨ невiдомо¨ x:

x00 − 2x0 − 3x = −9t + 9.

Знаходимо його розв'язок. Буду¹мо характеристичне рiвняння:

λ2 − 2λ − 3 = 0.

Воно ма¹ коренi λ1 = −1, λ2 = 3. Розв'язком отриманого диференцiального рiвняння другого порядку ¹ функцiя

x = C1e−t + C2e3t + 3t − 5.

Знаходимо y, скориставшись ранiше отриманим для нього виразом:

y= 14 (x0 − x − 9t) = 14 −C1e−t + 3C2e3t + 3 − C1e−t − C2e3t − 3t + 5 − 9t =

=12 C1e−t + 12 C2e3t − 3t + 2.

Ïр и к л а д 2. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь

dx

dt

dy

dt

dz

dt

=x + z,

=x − 3y − z,

=2x + y.

Р о з в ' я з а н н я. Диференцiю¹мо п е р ш е рiвняння:

x00 = x0 + z0.

З урахуванням виразiв для x0 i y0 ìà¹ìî

x00 = (x + z) + (2x + y) = 3x + y + z.

Диференцiю¹мо отримане рiвняння i врахову¹мо вирази для x0, y0 i z0:

x000 = 3x0 + y0 + z0 = 3(x + z) + (x − 3y − z) + (2x + y) = 6x − 2y + 2z.

Таким чином, ми отримали систему рiвнянь

x000

= 3x + y + z,

x

=

x + z,

x000

=

6x

2y + 2z.

 

 

 

 

44

Iз перших двох рiвнянь цi¹¨ системи знаходимо y i z:

z

=

x0 − x,

y

=

x00 − x0 − 2x.

Пiдставля¹мо значення y i z у рiвняння третього порядку:

x000 = 6x − 2y + 2z = 6x − 2(x00 − x0 − 2x) + 2(x0 − x) = −2x00 + 4x0 + 8x.

Отже, для визначення невiдомо¨ x ми отримали рiвняння

x000 + 2x00 − 4x0 − 8x = 0.

Розв'язу¹мо характеристичне рiвняння:

λ3 + 2λ2 − 4λ − 8 = 0 λ2(λ + 2) − 4(λ + 2) = 0 (λ + 2)(λ2 − 4) = 0

(λ + 2)(λ + 2)(λ − 2) = 0.

Характеристичне рiвняння ма¹ двократний корiнь λ = −2 i простий корiнь λ = 2. Загальний розв'язок отриманого рiвняння третього порядку ма¹ вигляд

x(t) = C1e2t + (C2 + C3t)e−2t.

Пiдставля¹мо функцiю x(t) у вирази для y i z:

y(t) = x00(t) − x0(t) − 2x(t) = e−2t(4C2 + 4C3t − 5C3),

z(t) = x0(t) − x(t) = C1e2t + e−2t(−3C2 − 3C3t + C3).

Ç à ó â à æ å í í ÿ. Ми встановили, що за певних умов (див. виноску 1 на с. 43) нормальна система n диференцiальних рiвнянь зводиться

до одного диференцiального рiвняння

n-го порядку вiдносно однi¹¨ не-

вiдомо¨. Але може статися так, що невiдомi

x2

, . . . , xn виключаються не

 

n − 1 перших рiвнянь системи (4.2.1), а з меншого ¨х числа. У цьому разi система (4.1.1) зводиться до кiлькох рiвнянь iз однi¹ю невiдомою функцi¹ю в кожнiм.

П р и к л а д 3. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь:

 

dx

= 8x − 6z,

dt

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

= 15x + 2y + 15z,

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

= 9x

7z.

 

dt

 

 

Р о з в ' я з а н н я. Очевидно, що з першого та третього рiвнянь дано¨ системи, якi мiстять лише невiдомi x i z, можна виключити одну невiдому i отримати

45

y0 = 2y + 152 C1e−t.
i пiдставимо цей вираз у

рiвняння другого порядку вiдносно однi¹¨ невiдомо¨. Виключимо, наприклад, невiдому z. Вiзьмемо похiдну вiд першого рiвняння i враху¹мо вирази для x0 i

z0:

x00 = 8x0 − 6z0 = 10x − 6z.

Виразимо z iз першого рiвняння z = −16 (x0 − 8x) отримане рiвняння другого порядку. У результатi матимемо:

x00 = 10x − x0 − 8x àáî x00 − x0 − 2x = 0.

Загальний розв'язок цього рiвняння ма¹ вигляд

x(t) = C1e−t + C2e2t.

Знаходимо функцiю z(t):

z(t) = 32 C1e−t + C2e2t.

Рiвняння для визначення невiдомо¨ y з урахуванням виразiв для x(t) i z(t) набува¹ вигляду

Знаходимо невiдому y:

y(t) = −52 C1e−t + C3e2t.

Пропону¹мо самостiйно переконатися, що в даному прикладi змiннi x i z виключаються iз двох рiвнянь, а саме: iз рiвняння для y0 та рiвняння для y00.

 ï ð à â è

Розв'язати системи диференцiальних рiвнянь:

dx

51. dt

dy

dt

dx

53. dt

dy

dt

=−2y,

=x + 3y.

=−8x − 10y + t,

=5x + 7y.

dx

52. dt

dy

dt

dx

54. dt

dy

dt

=4x + 6y + 2,

=−3x − 5y + 3.

=−6x − 8y,

=4x + 6y + sin t.

46

55.

57.

59.

61.

dt

= −3x − 4y,

 

dx

 

 

t

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2x + 3y + e .

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

= x − y − z,

 

dx

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

=

x + y z,

 

 

 

 

 

dt

 

dz

= −x − y + z.

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

−x − 3z,

 

dx

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3x + 2y 3z,

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

 

2z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

= 2x + y + 3z,

 

dx

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

= x + 4y + 5z,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

x

y.

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56.

58.

60.

62.

dx

dt = −7x − 10y + t,

dy

= 5x + 8y + cos t.

 

dt

 

 

dt

=

y + z,

 

dx

 

 

dy

 

 

 

 

=

x + z,

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dz

= x + y.

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

=

x + 2z,

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2x

 

y + 2z,

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

5x − 2y,

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

=

8x

 

 

5y

4z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dz

= −2x + 2y + 3z.

dt

47

Âiäïîâiäi

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 − x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin(arcsin x + C)

 

 

 

 

 

 

y = tg(.

 

 

+ C)

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

3. ln Cx = 2 arctg

 

 

− ln

1 +

 

 

 

4. ln Cx = arctg

 

− 3 ln 1 +

 

 

 

 

x

x2

x

x2

 

5. y = (ex + C) (x + 1), 6. y = Cx2e5/x + x2. 7. x3 + 4xy2 + ey = C.

 

 

 

 

8. y = ex−1.

9. y = 2(ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

π

 

 

x

 

 

 

.

+ 1).

 

 

10. arctg

 

 

 

= ln x +

 

. 11. y =

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

r ln

xe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

12.

y =

 

 

 

− 2x.

13. y =

 

 

 

+ x2 + 2x + 4.

14. y = ex. 15. y =

 

 

2

 

2

 

2 − 2x.

16.

xy3 + 2xy + 3x + y3 = 14.

17. y = xex − 2ex + 2x + 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

x2

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

y = −

 

 

cos 2x +

 

 

 

 

 

+

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

24

8

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. y = 2+3 ln x.

20. y = x+1, x > −1. 21. y = x−2. 22. y = − ln | x − 1|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

x2 + y2 = 2x.

 

24. y = x. 25. y =

 

 

+ C1e−x + C2x2 + C3x + C4.

 

24

6

 

 

 

x3

x2

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

y =

 

+

 

+

 

 

 

 

(x + 1) ln(x + 1).

 

 

27. y = C1 sin x + C2x + C3.

 

12

4

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. y = −

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

y = arctg 2x.

 

+ C1 sin x + C2x + C3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

x5/2 + C1x(ln x − 1) + C2x + C3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31.

y = C1e−3x + C2e2x.

 

32. y = C1e−7x + C2e4x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

y = C1e3x + C2xe3x.

 

34. y = C1e−2x + C2xe−2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.

y = C1 cos 5x + C2 sin 5x.

36. y = C1e2x cos x + C2e2x sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

37.

y = C1ex + C2e−x + C3 sin x + C4 cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38.

y = C1 + C2e−3x + C3ex + C4e3x + C5e−x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

y = C1e3x + C2xe3x + C3 + C4x + C5x2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

y(x) = C1 sin x + C2 cos x + C3x sin x + C4x cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41.

y = C1e−3x + C2e5x − x +

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

3x

 

 

1

 

2

 

3x.

 

 

 

42.

y = C1e

+ C2xe

 

+ (2 + x)e

.

 

43. y = C1e

 

+ C2xe

 

 

 

+

 

x

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

44.

y = C1e−4x + C2e2x − 6 cos 3x − 17 sin 3x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.

y = C1 cos 3x + C2 sin 3x + x sin 3x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

y = C1e4x + C2e−2x

1

 

(3x2 + 7x)e−2x.

 

47. y = 3x + 1 − e3x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

48.

y = − sin 2x.

49. y = ex + e3x.

50. y = sin x + x2 + 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51.

x(t) = C1et + C2e2t,

y(t) =

−1

C1et − C2e2t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = C1et + C2e−2t − 14,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

C1et − C2e−2t + 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52.

 

 

 

y(t) = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

53. x(t) = C1e−3t + C2e2t +

 

 

+

 

 

 

t,

 

y(t) = −

 

 

C1e−3t − C2e2t

 

 

 

 

t.

36

6

 

2

36

6

 

 

 

 

 

 

 

 

8 sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

cos t

 

 

 

6 sin t

54. x(t) = C2e2t +C1e−2t +

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

y(t) = −C2e2t −C1

 

e−2t

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

5 .

 

x(t) = C1e−t + C2et − 2tet,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

C1e−t − C2et +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55.

 

 

 

 

y(t) = −

 

 

 

et + 2tet.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

4t

 

 

7 cos t

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56.

x(t) = e−2tC1 + e3tC2

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

3

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e−2tC1 − e3tC2 +

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t) = −

 

 

 

− cos t −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

36

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57. x(t) = C1e−t + C2e2t, y(t) = C1e−t −C2e2t −C3e2t, z(t) = C1e−t + C3e2t.

58. x(t) = C2e−t+C3e2t, y(t) = −C1e−t−C2e−t+C3e2t, z(t) = C1e−t+C3e2t.

59. x(t) = C2e−t − C3e2t, y(t) = C1e2t + C2e−t, z(t) = C3e2t.

49

60. x(t) = −C3e−t + C2et, y(t) = C1e−t + C2et, z(t) = C3e−t.

61. x(t) = C1e3t − C2e2t − C3et, y(t) = C1e3t − 3C2e2t − 2C3et, z(t) = C2e2t + C3et.

62. x(t) = C1e−t + C2et + C3e3t, y(t) = 3C1e−t + 2C2et + C3e3t, z(t) = −C1e−t − C2et.

Бiблiографiчний список

1. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2. ч./ П. Е. Данко, А. Г. Попов. M.: Высш. шк., 1974. Ч. 2. 464 с.

2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: МГУ, 1984. 280 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т. M.: Наука, 1970. Т. 2. 576 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. M.: Наука, 1974. Т. 2. 656 с.

5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. M.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 467 с.

6. Шипач¼в В. С. Высшая математика. M.: Высш. шк., 1990. 479 с.

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.