Бабич Диференціальні рівняння

МIНIСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ та ЗВ'ЯЗКУ УКРА НИ Днiпропетровський нацiональний унiверситет залiзничного транспорту

iменi академiка В. Лазаряна

Кафедра "Прикладна математика"

Вища математика. Модуль IV

Диференцiальнi рiвняння

Методичнi вказiвки та завдання до четвертого модульного контролю з вищо¨ математики

Для студентiв I курсу спецiальностi ¾Економiчна кiбернетика¿ Укладач Ю. П. Бабич.

Днiпропетровськ 2008

ÓÄÊ 517.0

Укладач

канд. фiз.-мат. наук, доц. Юрiй Панасович Бабич.

Рецензенти:

д-р фiз.-мат. наук, проф. П. I. Когут (Днiпропетровський нацiональний унiверситет), канд. фiз.-мат. наук, доц. З. М. Гасанов(ДIIТ)

Вища математика. Модуль IV. Диференцiальнi рiвняння: Методичнi вказiвки та завдання до четвертого модульного контролю з вищо¨ математики/ Днiпропетр. нац. ун-т залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна; Уклад. Ю. П. Бабич. Д., 2008. 52 с.

Методичнi вказiвки складенi вiдповiдно до типово¨ програми курсу ¾Вища математика¿ для економiчних спецiальностей.

У вказiвках викладено необхiдний теоретичний матерiал та наведено розв'язання типових задач за темою ¾Диференцiальнi рiвняння¿. Поданi завдання для самостiйно¨ роботи. До запропонованих задач наводяться вiдповiдi.

Ië. 3. Áiáëiîãð.: 5 íàçâ.

c Бабич Ю. П., укладання, 2008

c Вид-во Днiпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна, 2008

Передмова

Четвертий модульний контроль передбача¹ вивчення таких тем:

1.Iнтегровнi диференцiальнi рiвняння першого порядку.

2.Диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв, що допускають зниження порядку.

3.Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння зi сталими коефiцi¹нтами.

4.Системи диференцiальних рiвнянь.

Данi вказiвки мiстять стислi теоретичнi вiдомостi з вказаних тем та приклади розв'язання типових задач.

З метою закрiплення матерiалу й самоперевiрки знань пропону¹ться розв'язати задачi, наведенi наприкiнцi кожно¨ теми. Для кожно¨ iз запропонованих задач наведенi вiдповiдi. Нумерацiя задач наскрiзна. Вiдповiдi до задач зiбранi в окремому роздiлi.

Твердження, означення та новi термiни видiленi в текстi курсивом. Приклади набранi дрiбнiшим шрифтом. Нумерацiя прикладiв проводиться в межах параграфа.

3

Òåìà 1

Диференцiальнi рiвняння першого порядку

Диференцiальнi рiвняння це рiвняння, до яких невiдома функцiя входить пiд знаком похiдно¨. Основною задачею теорi¨ диференцiальних рiвнянь ¹ вивчення функцiй, що ¹ розв'язками таких рiвнянь.

Диференцiальнi рiвняння пiдроздiляються на звичайнi диференцiальнi рiвняння, у яких невiдома функцiя залежить лише вiд однi¹¨ змiнно¨, i диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними , у яких невiдома функцiя залежить вiд двох чи бiльшо¨ кiлькостi змiнних.

Ми розглядатимемо лише звичайнi диференцiальнi рiвняння i далi часто називатимемо ¨х просто рiвняннями.

Рiвняння (1.1.2) називають рiвнянням, розв'язаним вiдносно похiдно¨ .

4

ìi: Будь-яке рiвняння (1.1.2) можна переписати у диференцiальнiй фор-

dy − f(x, y) dx = 0.

Якщо помножимо це рiвняння на деяку функцiю Q(x, y), то отрима¹мо рiвняння виду

Запис рiвняння першого порядку у виглядi (1.1.3), що мiстить диференцiали змiнних x i y, дозволя¹ розглядати цi змiннi як рiвноправнi.

Означення 2. Будь-яка функцiя y = ϕ(x), що перетворю¹ рiвняння (1.1.1) на тотожнiсть, назива¹ться його р о з в ' я з к о м .

П р и к л а д 1. Розглянемо рiвняння

y0 = f(x),

äå f(x) неперервна функцiя. Його розв'язком ¹ будь-яка первiсна функцi¨ f(x), тобто

Z

y = f(x) dx + C,

äå C довiльна стала.

П р и к л а д 2. Функцiя y = x ¹ розв'язком рiвняння

y0 = xy .

Неважко безпосередньо перевiрити, що розв'язками цього рiвняння ¹ i такi функцi¨: y = 2x, y = 3x. I взагалi, якою б не була стала C, функцi¨ y = Cx ¹

його розв'язками.

Особливiстю диференцiальних рiвнянь, як i в наведених прикладах, ¹ такий факт: якщо диференцiальне рiвняння ма¹ розв'язки, то воно ма¹ б е з л i ч розв'язкiв.

Проiнтегрувати диференцiальне рiвняння означа¹ знайти всi його розв'язки.

Методи побудови розв'язкiв основних типiв диференцiальних рiвнянь розглядаються нижче.

Означення 3. Графiк розв'язку диференцiального рiвняння називають i н т е г р а л ь н о ю к р и в о ю.

П р и к л а д 3. Сукупностi iнтегральних кривих рiвняння y0 = 2x (покладiть

у прикладi 1 f(x) = 2x) i рiвняння y0 = xy (приклад 2) зображенi вiдповiдно íà ðèñ. 1 i ðèñ. 2.

5

Наведемо достатнi умови iснування розв'язку диференцiальних рiвнянь першого порядку, розв'язаних вiдносно похiдно¨, тобто рiвнянь виду (1.1.2).

Твердження 1.1. 1. Нехай функцiя f(x, y) визначена i неперервна

в деякiй областi D площини xOy, тодi через кожну точку (x0, y0) D проходить iнтегральна крива рiвняння (1.1.2).

Так, для рiвняння y0 = 2x умови твердження 1.1.1 виконуються на всiй

(x0, y0), x0 6= 0, проходить одна iнтегральна крива. Через точки (0, y0), y0 6= 0,

6

äå C довiльна стала. Сiм'ю iнтегральних кривих рiвняння (1.1.4) зображено на рис. 3.

Ðèñ. 3

Через кожну точку осi Ox проходить безлiч iнтегральних кривих рiвняння

(1.1.4), а через кожну точку (x0, y0), y0 6= 0, проходить тiльки одна iнтегральна крива.

D площини xOy, тодi через кожну точку (x0, y0) D проходить лише одна iнтегральна крива рiвняння (1.1.2).

Так, у прикладi 4 функцiя f(x, y) = |y|1/2 неперервна в D = R2, à ¨¨ ïîõiäíà

¹ неперервною на кожнiй iз множин {(x, y) y > 0} i {(x, y) y < 0}.

областi D1 = {(x, y) y > 0}. Через кожну точку (x0, y0) цi¹¨ областi проходить

¹дина iнтегральна крива (див. рис. 3)

p

y = (x − C)2, x (C, ∞), äå C = C0 = x0 − y0.

1Докладнiше ознайомитися з умовами iснування розв'язкiв диференцiальних рiвнянь можна, наприклад, у [2; 5].

7

З а г а л ь н и м р о з в ' я з к о м рiвняння (1.1.1) у деякiй областi D площини xOy називають функцiю

Функцiю, отриману iз загального розв'язку при де-

якому певному значеннi стало¨ C = C0, тобто функцiю y = ϕ(x, C0), називають ч а с т и н н и м р о з в ' я з к о м.

Ðiâíiñòü Φ(x, y, C0) = 0 зада¹ частинний розв'язок у неявному вигля- äi. Для того щоб видiлити iнтегральну криву рiвняння (1.1.1), яка про-

Забезпечують виконання умови (1.1.7) вибором вiдповiдного значення стало¨ C: у (1.1.5) чи (1.1.6) пiдставляють координати точки (x0, y0) i

розв'язують вiдносно C отримане при цьому рiвняння

ϕ(x0, C) = y0 ÷è Φ(x0, y0, C) = 0.

Означення 6. Задачу вiдшукання частинного розв'язку рiвняння (1.1.1), що задовольня¹ умову (1.1.7), називають з а д а ч е ю К о ш i. Умову (1.1.7) називають п о ч а т к о в о ю у м о в о ю.

П р и к л а д 5. Розв'язком задачi Кошi

(y0 = xy , y(1) = 3

8

¹ функцiя y = 3x: загальний розв'язок рiвняння ма¹ вигляд y = Cx (приклад 2); пiдставля¹мо в загальний розв'язок значення x = 1, y = 3 i знаходимо

значення довiльно¨ стало¨ C = 3.

Перейдемо до розгляду деяких окремих типiв диференцiальних рiвнянь, iнтегрування яких зводиться до знаходження невизначених iнтегралiв або, як кажуть, рiвнянь, iнтегровних у квадратурах .

1.2.Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними

(тут ми припуска¹мо, що f2(y) 6= 0)). У результатi отрима¹мо рiвняння

у якому змiннi в i д о к р е м и л и с я, тобто кожна частина рiвняння (1.2.3) залежить лише вiд однi¹¨ змiнно¨: лiва вiд y, а права вiд x.

Нехай функцiя y = y(x) розв'язок рiвняння (1.2.1). Пiсля пiдстановки цi¹¨ функцi¨ у рiвнiсть (1.2.3) отрима¹мо тотожнiсть. Iнтегруючи цю тотожнiсть, отриму¹мо рiвнiсть

ùî f2(y) 6= 0. Очевидно, що функцi¨ y = y0, äå y0 коренi рiвняння f2(y) = 0, також ¹ розв'язками рiвняння (1.2.1).

9

П р и к л а д 1. Розв'язати рiвняння y0 = xy .

Р о з в ' я з а н н я. Задане рiвняння ¹ рiвнянням iз вiдокремлюваними змiн-

1

íèìè. Òóò f1(x) = x, f2(y) = y. Запису¹мо рiвняння у виглядi

dy = y dx x

i вiдокремлю¹мо змiннi множимо його на dx i äiëèìî íà f2(y) = y, припускаючи, що f2(y) = y 6= 0. У результатi отрима¹мо рiвняння

dyy = dxx.

Iнтегру¹мо його обидвi частини:

Òóò C1 довiльна стала, C1 (−∞, +∞).

Для зручностi подамо сталу C1 у виглядi C1 = ln | C|, де C довiльна стала, C 6= 0. Запишемо загальний iнтеграл:

ln | y| = ln | x| + ln | C| .

Пiсля потенцiювання остання рiвнiсть набува¹ вигляду

| y| = | Cx| àáî y = ±Cx.

Оскiльки C довiльна вiдмiнна вiд нуля стала, можемо записати розв'язок заданого рiвняння у виглядi

y = Cx, C 6= 0.

Враху¹мо тепер, що коренем рiвняння f2(y) = 0 ¹ значення y = 0 i ôóí-

кцiя y = 0 ¹ розв'язком заданого диференцiального рiвняння. Тобто загальний розв'язок ма¹ вигляд

y = Cx,

äå C довiльна стала.

Iз геометрично¨ точки зору загальний розв'язок заданого рiвняння явля¹ собою сiм'ю прямих, що проходять через початок координат (див. рис. 2).

10