2.2.2. Кінематика твердого тіла. Поступальний рух твердого тіла. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Передача рухів в системах тіл

Приклад 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо в механічній системі (рис. 16) ступінчастий диск обертається відповідно до закону

φ = 0,1t² + 0,4t (рад),

а його радіуси мають значення м,0,2 м, то в заданий момент часу t₁ = 2 c швидкості точки М диска і тіла C становлять:

1) V_М = 0,4 м/с ; V_C = 0,16 м/с;

2) V_М = 0,3 м/с; V_C = 0,16 м/с;

3) V_М = 0,4 м/с; V_C = 0,24 м/с;

4) V_М = 0,3 м/с; V_C = 0,24 м/с.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух системи, що складається з трьох тіл А, С і D.ТілаАіС виконують поступальний рух, тому далі під час розрахунків їх можна розглядати як точки. ТілоDвиконує обертальний рух навколо нерухомої осі, спрямованої перпендикулярно до площини малюнка (рис. 16) і проходить через точкуО. ТілоDє ступінчастим диском, для якого в умові прикладу задаються значення радіусів,більшого і меншого ободів. Тіла А і Сзв’язані з дискомDтросами, що не розтягуються. Тому в цій системі рух від одного тіла передається іншому за допомогою троса без зміни величин лінійної швидкості і тангенціального прискорення.

У прикладі за заданим законом обертального руху тіла Dтреба визначити лінійні швидкості точкиМобода диска і тілаС(рис. 16).

Закон обертального руху тіла це закон зміни за часом кута повороту тіла φ = φ(t). Маючи таку інформацію, визначимо кутову швидкість диска як похідну за часом від закону руху диска:

Оскільки кутова швидкість залежить від часу, знайдемо її значення в заданий момент часу с: рад/с.

Далі через знайдену кутову швидкість визначимо лінійну швидкість точки Мяк точки, що належить тілу, яке обертається. Вона дорівнює добутку кутової швидкості дискаDна відстань від точкиМ до осі обертання диска:

м/с.

Щоб визначити швидкість тіла С (як точки) треба врахувати, що воно зв’язане з точками обода дискаD меншого радіуса за допомогою троса, що не розтягується; тому швидкість тілаСбуде дорівнювати лінійній швидкості будь-якої точки цього обода, розташованої на відстанівід осі обертання диска:

0,8·0,2=0,16м/с.

Примітка. Відомо, що швидкості точок тіла, яке обертається, пропорційні їх відстаням до осі обертання. Так як швидкості точок обода диска з радіусомR дорівнюють швидкості тілаА, а швидкості точок обода диска з радіусомr дорівнюють швидкості тілаС, то швидкістьV_C можна знайти ще із такого співвідношення:

м/с.

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 1).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо кутова швидкість диска B (рис. 17) змінюється за законом ω = – 0,3t² + 0,9t (рад/c), а відстань ОМ =м, то в заданий момент часус швидкість та прискорення точки M диска будуть мати такі значення:

1) V_М = 0,7 м/с; a_М = 0,234 м/с²;

2) V_М = 0,3 м/с; a_М = 0,372 м/с²;

3) V_М = 0,3 м/с; a_М = 0,234 м/с²;

4) V_М = 0,7 м/с; a_М = 0,372 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом зміни кутової швидкості дискаВ ω= ω(t) треба визначити швидкість та прискорення точкиМдиска в заданий момент часуt₁ = 2с.

Оскільки точка М– це точка тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, то лінійні кінематичні характеристики руху точки (V_М,a_М) без затруднень визначаються через кутові кінематичні характеристики обертального руху тіла (ω, ε).

Так, лінійна швидкість визначається за формулою V_M = OM = R, де кутова швидкість ω в заданий момент часу має значення:

рад/с.

Тоді м/с.

Оскільки в процесі обертання диска рух точки Мвідбувається по круговій кривій радіусаОМ=R(рух точки криволінійний), то її повне прискорення буде складатися із двох взаємно перпендикулярних складових векторів – тангенціального і нормального прискорень:.

Тангенціальне прискорення визначається через кутове прискорення ε за формулою , а нормальне прискорення – через кутову швидкістьω:. Величина ж повного прискорення обчислюється за формулою:.

Визначимо кутове прискорення диска як похідну за часом від закону зміни кутової швидкості:

Чисельне значення кутового прискорення в заданий момент часу t₁ = 2 c становить: рад/с².

Тоді складові вектори повного прискорення і повне прискорення точкиМ у заданий момент часуt₁ = 2 с набувають таких значень:

м/с²;

м/с²;

м/с².

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Примітка.Треба зауважити, що в прикладі 2 кутова швидкість диска в заданий момент часуt₁=2cприймає додатне значення, а кутове прискорення –від’ємне значення, тобто ω і ε мають різні знаки. Це означає, що обертальний рух тіла буде уповільненим. Але цей рух не можна назвати рівноуповільненим, оскільки кутове прискорення тіла залежить від часу, тобто не є сталою величиною (  const).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо в механічній системі (рис. 18) тілоA рухається відповідно до закону

S_A = 0,2t² + 0,3t (м),

а радіуси ступінчастого диска B становлять м,м, то в заданий момент часу с кутове прискорення диска B та лінійне прискорення тіла С набувають таких значень:

1) ε = 2,0 рад/с²; a_С = 1,40 м/с²;

2) ε = 1,8 рад/с²; a_С = 0,72 м/с²;

3) ε = 2,0 рад/с²; a_С = 0,80 м/с² ;

4) ε = 1,8 рад/с²; a_С = 1,40 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху тілаАтреба визначити кутове прискорення диска та лінійне прискорення тілаС в заданий момент часус.

Оскільки тіло Ав процесі переміщення системи виконує поступальний рух, то далі його будемо розглядати як точку. Закон руху тілаА дозволяє визначити його тангенціальне прискорення. Воно дорівнює другій похідній за часом від закону руху, або першій похідній від закону зміни швидкості:

;;

м/с².

Слід зауважити, що точки обода диска меншого радіуса зв’язані з тілом Атросом, який не розтягується, тому вони мають за значенням такі ж самі швидкості і, відповідно, тангенціальні прискорення, як і тілоА. Тоді, враховуючи співвідношення, можна знайти кутове прискоренняεза формулою:

рад/с².

Повне прискорення тіла C(як точки) буде складатися з двох складових векторів – тангенціального і нормального прискорення:, а величина повного прискорення буде обчислюватися за формулою:

.

Слід зауважити, що тіло Сзв’язано тросом, який не розтягується, з точками обода диска більшого радіуса. Тому тілоС має за значенням таке ж тангенціальне прискорення, як і точки обода диска. Тоді величинуможна підрахувати за формулою:м/с².

Величина нормального прискорення відповідає формулі: , деρ_C

радіус кривизни траєкторії тіла C(як точки), який дорівнює нескінченності, бо рух точки відбувається по прямій. Тому нормальне прискорення в цьому випадку відсутнє:. Тоді повне прискорення тілаCдорівнює тангенціальній складовійі його значення становить:м/с².

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо в механічній системі (рис. 19) ступінчастий дискD обертається відповідно до закону φ = 0,6t² − 0,2t (рад),

а його радіуси мають значення м,м, то в заданий момент часу1 с повне прискорення точки М диска і прискорення тіла C мають значення:

1) a_М = 0,595 м/с²; a_С = 0,24 м/с²;

2

)a_М = 0,624 м/с²; a_С = 0,32 м/с²;

3) a_М = 0,595 м/с²; a_М = 0,32 м/с²;

4) a_М = 0,624 м/с²; a_С = 0,24 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух системи, що складається з двох тіл Сі D. ТілоС виконує поступальний рух, тому далі під час розрахунків будемо розглядати його як точку. ТілоD виконує обертальний рух навколо нерухомої осі, що спрямована перпендикулярно до площини малюнка і проходить через точкуО (рис.19). Це тіло є ступінчастим диском, для якого в умові прикладу задаються значення радіусівR, r.

Тут за заданим законом обертального руху тіла D треба визначити лінійні прискорення точкиМобода диска і тілаС.

Знаючи закон обертального руху диска D, можна визначити його кутову швидкість і кутове прискорення:

;

рад/с².

Так як кутова швидкість залежить від часу, знайдемо її значення в заданий момент часу с:рад/с.

Далі через знайдену кутову швидкість і кутове прискорення диска визначимо нормальне, тангенціальне і повне прискорення точки М, що знаходиться на ободі диска.

Оскільки у процесі обертання диска рух точки Мвідбувається по круговій кривій радіусаОМ = R(рух точкикриволінійний), то її повне прискорення буде складатися із двох взаємно перпендикулярних складових векторів – тангенціального і нормального прискорень:.

Тангенціальне прискорення точкиМвизначається через кутове прискорення дискаε за формулою м/с², а нормальне прискорення – через кутову швидкість диска ω:

м/с² .

Величина ж повного прискорення точки становить:

м/с².

Тіло Сзв’язано з диском тросом, який намотано на обід меншого радіуса.

Рух тіла С, як точки,прямолінійний(відбувається по вертикалі). Тому слід зауважити, що нормальне прискорення тілаС,як точки, буде дорівнювати нулю:, де ρ_C радіус кривизни прямої.

Тоді повне прискорення тіла С буде дорівнювати тангенціальній складовій; а вона набуває такого ж значення, як і тангенціальне прискорення будь-якої точки обода диска меншого радіуса. Тобто

м/с².

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 4).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо тілоA механічної системи (рис. 20) рухається відповідно до закону

S_A= − 0,1t² + 0,8t (м),

то напрямки кутової швидкості і кутового прискорення диска, прискорення тіла А і точки M диска в момент часу t₁ = 2 c будуть такими:

1) 2) 3)

Розв’язання. В даному прикладі за заданим законом руху тілаАтреба визначити напрямок кутового прискорення диска і напрямки лінійних прискорень тілаА та точкиМдиска в заданий момент часуt₁ = 2 с.

Оскільки тіло Ав процесі переміщення системи виконує поступальний рух, то далі його будемо розглядати як точку. Закон руху тілаАдозволяє визначити його швидкість і тангенціальне прискорення та, найголовніше, встановитиїх знаки. Треба зауважити, що згідно з рис. 20 додатний напрямок відліку відповідає додатним значенням координатиS_A , які відкладаються донизу.

Швидкість тіла А, як точки, дорівнює похідній за часом від його закону руху, а тангенціальне прискорення цього тіла дорівнює похідній за часом від закону зміни швидкості:

;

м/с² < 0.

Значення швидкості тіла А в заданий момент часуt₁ = 2 с становить:

м/с > 0.

Наведені результати свідчать про те, що швидкість тіла А приймаєдодатне значення, а його тангенціальне прискорення− від’ємне. Це означає, що вектор швидкостіспрямованийу додатномунапрямку відліку координатS_A – униз, а вектор тангенціального прискоренняспрямований увід’ємному напрямку відліку – уверх. Тоді кутова швидкість диска відповідно до формули(деr – радіус диска), має знак швидкостіі спрямована у бік, тобто в даному випадкупроти годинникової стрілки; а кутове прискорення відповідно до формулімає знак тангенціального прискоренняі спрямоване у бік цього вектора, в даному випадку -за годинниковою стрілкою.

Нормальне прискорення тіла А, як точки, дорівнює нулю, так як рух його прямолінійний, а повне прискорення цього тіла дорівнює тангенціальній складовій і спрямоване уверх(як і тангенціальне прискорення).

Напрямок тангенціального прискорення точки Мвідповідає напрямку, а її нормальне прискорення завжди спрямоване до центра кривизни траєкторії, тобто до осі обертання.

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).