4. Методы определения основной тенденции бытовых услуг на душу населения (10 лет)

4.1 Метод скользящей средней

Показатели ряда динамики отражают закономерности развития изучаемых явлений. Существуют ряды динамики, в которых основная тенденция развития четко выражена, т.е. наблюдается установленный рост или снижение ряда. Но чаще на практике сталкиваются с рядами, в которых уровни то растут, то снижаются, т.е. общая тенденция не ясна. При формировании каждого значения ряда (уi) участвуют множества рядов, среди которых можно выделить основные, те которые определяют основную тенденцию в рядах динамики, т.е. оказывают постоянное влияние на значение показателя. Случайные факторы оказывают краткосрочные и долгосрочные влияния на значение показателя, а поэтому не определяют основную тенденцию. Основная тенденция - главное, устойчивое изменение уровней ряда с течением времени, свободное от случайных колебаний. Основную тенденцию в рядах динамики называют трендом. Основная задача статистического анализа рядов динамики заключается в проявлении и количественном выражении закономерных изменений признаков, отражающих основную тенденцию развития. Выявление основной тенденции развития в рядах динамики достигается путём абстрагирования от индивидуальных, случайных изменений признаков. Для этого используют различные статистические методы, в том числе метод скользящей средней и метод аналитического выравнивания. Рассмотрим их.

Метод скользящей средней применяют для изучения тенденции изменения явлений внутри отдельных периодов. Суть метода заключается в том, что исчисляются средние уровни из определённого числа (обычно нечётного) уровней ряда, следующим друг за другом, спускаясь, каждый ряд на 1 уровень и так до конца ряда динамики. Т.е. вычисленный ряд средних уровней, представляет собой как бы перемещение или "скольжение" среднего уровня по ряду динамики.

Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни y1, y2, .... ym ; второй - уровни y2, y3, .... ym+1 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяется сумма значений уровней, на основании которых рассчитываются скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. В случае наличия четного числа уровней необходима дополнительная процедура центрирования. Скользящие средние можно рассчитывать по укрупненным интервалам разной продолжительности. Размер интервала необходимо выбирать таким образом, чтобы получить наглядную тенденцию развития процесса.

Когда скользящая средняя рассчитывается по четному числу уровней, необходимо провести дополнительное центрирование средней. Первая скользящая средняя относится не к конкретному уровню, а попадает в промежуток между двумя средними уровнями выравнивания (если выравнивание проводится по 6 месячным интервалам, то первая скользящая попадет в промежуток между 3 и 4 уровнем). Для отнесения скользящей средней к определенному уровню находится средняя из двух смежных скользящих средних, т.е. производится центрирование средних.

Таблица 6 - Определение основной тенденции бытовых услуг на душу населения методом скользящей средней

Годы	Объём бытовых услуг на душу населения, руб.	Укрупнение интервалов			Скользящая средняя
		Объём бытовых услуг на душу населения по трёхлетиям, руб.	Средний объём бытовых услуг на душу населения, руб.	годы	Объём бытовых услуг на душу населения, руб.	Средний объём бытовых услуг на душу населения, руб.
1998	915,6	-	-	-	-	-
1999	912,9	3215,3	1071,8	1998-2000	2866,0	955,33
2000	1037,5			1999-2001	3215,3	1071,77
2001	1264,9			2000-2002	3581,0	1193,67
2002	1278,6	4169,1	1389,7	2001-2003	3904,8	1301,60
2003	1361,3			2002-2004	4169,1	1389,70
2004	1529,2			2003-2005	4610,7	1536,90
2005	1720,2	5450,0	1816,7	2004-2006	5089,2	1696,40
2006	1839,8			2005-2007	5450,0	1816,67
2007	1890,0			-	-	-
Итого	13750,0	13750,0	-	-	-	-

Рис. 5 Распределение среднего объема бытовых услуг на душу населения по интервалам

4.2 Метод аналитического выравнивания с осуществлением прогноза показателя

Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой.

Суть метода состоит в получении уравнения, выражающего основную тенденцию и представляющего собой функцию времени, где уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретического уровня ряда осуществляется на основе математической модели тенденции, в качестве которой могут быть выбраны следующие уравнения:

- прямолинейная функция:

где - уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;

a - начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t;

b - среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени); константа тренда.

- степенная функция (парабола):

где с - квадратический параметр, равный половине ускорения; константа параболического тренда. Остальные обозначения прежние.

Выбор типа модели осуществляется на основе цели исследования, на анализе уровней ряда динамики и на графическом изображении ряда динамики [5; 84].

Суть метода сводится к расчету параметров выбранного уравнения (a, b, c), вычисления которых опирается на метод наименьших квадратов:

Применение данного метода вычисления параметров уравнений сводится к решению систем следующих уравнений:

Для прямой:

Для параболы:

Проведем аналитическое выравнивание по прямой и по параболе ряда динамики объёма бытовых услуг на душу населения в Воронежской области. Расчет параметров представлен в таблице 3.

Таблица 7 – Выявление тенденции методом аналитического выравнивания по уравнению прямой

Годы	Объём бытовых услуг на душу населения в сопоставимых ценах, руб.
1998	915,6	-5	25	-4578,0	864,0	2662,56	261121,00	211048,40
1999	912,9	-4	16	-3651,6	966,2	2840,89	167117,40	213536,40
2000	1037,5	-3	9	-3112,5	1068,4	954,81	94003,56	113906,30
2001	1264,9	-2	4	-2529,8	1170,6	8892,49	41779,36	12122,01
2002	1278,6	-1	1	-1278,6	1272,8	33,64	10444,84	9292,96
2003	1361,3	1	1	1361,3	1477,2	13432,81	10444,84	187,69
2004	1529,2	2	4	3058,4	1579,4	2520,04	41779,36	23777,64
2005	1720,2	3	9	5160,6	1681,6	1489,96	94003,56	119163,00
2006	1839,8	4	16	7359,2	1783,8	3136,00	167117,40	216039,00
2007	1890,0	5	25	9450,0	1886,0	16,00	261121,00	265225,00
Итого	13750,0	0	110	11239,0	13750,0	35979,20	1148932,0	1184298,0

Таблица 8 – Выявление тенденции методом аналитического выравнивания по уравнению параболы

Годы	Объём бытовых услуг на душу населения в сопоставимых ценах, руб.
1998	915,6	-5	625	22890	893,325	496,1756
1999	912,9	-4	256	14606,4	976,652	4064,318
2000	1037,5	-3	81	9337,5	1064,173	711,4489
2001	1264,9	-2	16	5059,6	1155,888	11883,62
2002	1278,6	-1	1	1278,6	1251,797	718,4008
2003	1361,3	1	1	1361,3	1456,197	9005,441
2004	1529,2	2	16	6116,8	1564,688	1259,398
2005	1720,2	3	81	15481,8	1677,373	1834,152
2006	1839,8	4	256	29436,8	1794,252	2074,62
2007	1890,0	5	625	47250	1915,325	641,3556
Итого	13750,0	0	1958	152818,8	13750,0	32688,93

руб.

(100%)

= (97%)

(3%)

114893,2 + 3597,92 = 118429,8

Изменение объёма бытовых услуг на душу населения за исследуемый период на 97% было вызвано влиянием направленных факторов и на 3% влиянием случайных факторов.

Определим параметры уравнения прямой:

руб. – среднегодовой объём бытовых услуг на душу населения;

руб. – ежегодный прирост объёма бытовых услуг на душу населения;

По рассчитанным параметрам запишем уравнение прямой ряда динамики, характеризующего основную тенденцию объёма бытовых услуг на душу населения:

=1375,0 + 102,2

Используя данное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения.

13750,0 - расчет уровней выравниваемого ряда динамики выполнен верно.

Рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение уровней ряда от тренда.

руб.

где n – число уровней ряда;

m – количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m=2).

Теперь рассчитаем параметры уравнения параболы:

руб.

=

==

Уравнение параболы примет вид:

Используя данное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения: 13750,0 - расчет уровней выравниваемого ряда динамики выполнен верно.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение фактических уровней динамического ряда от выровненных для уравнения параболы:

Сравнив полученные значения для уравнений параболы и прямой, можно сделать вывод о том, что прямая более точно описывает основную тенденцию ряда динамики, характеризующего объём бытовых услуг на душу населения с 1998 г. по 2007г.

Интервальный прогноз уровней ряда может быть осуществлен как в краткосрочном, так и в долгосрочном периоде. Краткосрочный прогноз осуществляется, если колеблемость уровней ряда высокая, долгосрочный – низкая.

Показателем колеблемости является коэффициент колеблемости уровней ряда:

=

Так как коэффициент не превышает 10%, то возможен долгосрочный прогноз.

=100% - 4,94% = 95,06%

Коэффициент устойчивости очень высокий.

Прогноз на 2008 г. по уравнению прямой будет составлен следующим образом:

Точечный прогноз производят по тому уравнению, по которому производилось выравнивание.

1375 + 102,2=1988,2 руб. – точечный прогноз.

Интервальный прогноз связан с вероятностью: к точечному прогнозу добавляется предельная ошибка прогноза .

Если дать гарантию прогноза на 90% и число степеней свободы равное 8, t=0,13

0,13 67,06=8,72 руб.

1988,2+8,72=1996,92 руб.

1988,2-8,72=1979,48 руб.

Таким образом, в 2008 году с вероятностью, равной 90% можно утверждать, что объём бытовых услуг на душу населения будет находиться в пределах от 1979,48 руб. до 1996,92 руб.

Представим в виде графика динамику фактических, теоретических и среднего значений (для прямой) объёма бытовых услуг на душу населения.

Рис.6 Динамика объёма бытовых услуг на душу населения