Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П р и м е р. Найти интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.9. 6 2x ln 2 3 4x ln 4 .															2.10. 2sin x (2x 3) cos x .														2.11. (x2 4x 5)ex .
2.12.	3ln x						3x 2					.			2.13.						ex ( c oxs s i nx) .								2.14.				a r c sxi n					x				.
2.12.	3ln x							x				.			2.13.						ex ( c oxs s i nx) .								2.14.				a r c sxi n									.
								x																													1 x2
2.15.		2x arctg x 1.											2.16.					3 2x 2x				2	. 2.17.					cos x(x2 1) 2x sin x								.
2.15.		2x arctg x 1.											2.16.					(x		2 x 1)		2	. 2.17.							(x2		1)2				.
																		(x		2 x 1)		2								(x2		1)2
2.18.				2x 1 ln 2					.	2.19.						x2 1 ln x x2 ln x									.		2.20. 3cos3x .
2.18.			(2x 1)2						.	2.19.										(x2 1)2					.		2.20. 3cos3x .
			(2x 1)2																	(x2 1)2
	4			(2x 3)					1								6										3						3
																					.														.
2.21.									3	.			2.22.									2.23.								. 2.24.
2.21.									3	.			2.22.									2.23.								. 2.24.
	3																6x			5							6x 9x2						sin2 3x
			3ln 2 x
2.25.			3ln 2 x			.				2.26. 10sinx ln10 cos x .													2.27.			e x2 (1 2x2 ) .						2.28.		3arcsin2 (					x	)	.
2.25.						.				2.26. 10sinx ln10 cos x .													2.27.			e x2 (1 2x2 ) .						2.28.									.
				x																														2 x			1 x
2.29.	2				.					2.30. e2x (2 cos3x 3sin 3x) .

	1 x2
	1 x2
2.31.		(10 x 10 x ) ln10 sin(10 x 10 x ) .																						2.32. sin 4x .
2.33.				2 sin 2x							.			2.34.					x sin x cos x					.		2.35.			4		.
		cos2 (cos 2x)																	sin2 (x cos x)									4	e2 x

2.36. 3(x2 1)3x l

2.38.2(tg2x)

	2x		2
nx(2 1)	2x				.
nx(2 1)		2			.
	x	2		1
	x			1

2x	4x
ln tg2x		.

	sin 4x

2.37. (sin x)cos x 1(cos2 x sin2 x ln sin x) .

2.39. (x)x4 3 (4 ln x 1) .

2.40.

			1																				3
	x													x																	x
												3									2
												3									2
(x)			2 (ln x 2) 2.41. x										e			sin 3x				x		4		1 3ctg3x											.
(x)			2 (ln x 2) 2.41. x										e			sin 3x				x		4		1 3ctg3x						x2					.
																							x							x2	4
2.42.			4x			.	2.43.		1 y 2						.				2.44.			2x sin y				. 2.45.					2xy y 2 3x2									.
2.42.		y			2	.	2.43.			y 2					.				2.44.			x cos y		sin y		. 2.45.					2xy 3y 2						x2			.
		y			2					y 2												x cos y		sin y							2xy 3y 2						x2
2.46.				x			. 2.47.						1				.		2.48. 1; 1					. 2.49.			4	.
2.46.		1		ln y			. 2.47.		1 sin y								.		2.48. 1; 1					. 2.49.		3		.
		1		ln y					1 sin y																	3
2.50. y 7x 3; y										1	x					71		. 2.51. y x 1;							y x 1.								2.52.				arctg					4		.
2.50. y 7x 3; y											x							. 2.51. y x 1;							y x 1.								2.52.				arctg							.
									7						7																											3
2.53. 2. 2.54. 2
2.53. 2. 2.54. 2								2 .				2.55. –0,5. 2.56. –2. 2.57. 1.																	2.58. 3.
2.59. y 3x2 4x 4;												y 6x 4; y 6; y(n)													0	при n 4 .							2.60.				y(4n 1)						cosx,
y(4n 2)				sin x, y(4n 3)								cos x, y(4n) sin x,													n 0 .				2.61.			4		dx		. 2.62.			dx		.
y(4n 2)				sin x, y(4n 3)								cos x, y(4n) sin x,													n 0 .				2.61.							. 2.62.					.
																																			x				x
																														3						4
2.63. cos x dx . 2.64. 2x ln 2 dx .																			2.65. x sin x dx . 2.66.																			dx .
2.63. cos x dx . 2.64. 2x ln 2 dx .																			2.65. x sin x dx . 2.66.																			dx .
																														1 x			2			1 x	2
																														1 x						1 x
2.67. 19,56.							2.68. 0,4557. 2.69. 8,0625.																		2.70. 5,0267.								2.71.1.					2.72. –0,02.
2.73. 33,30 .							2.74.	47,90 .							2.75.					75,6.

Тема 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.3. Неопределенный интеграл

2.1.1. Понятие неопределенного интеграла.

Функция F x называется первообразной для функции f x на множестве , если в любой точке x функция дифференцируема и F x f x .

Совокупность F(x) c всех первообразных функций для данной функ-
ции f x	на множестве называется неопределенным интегралом от функ-
ции f x	и обозначается символом f x dx . Таким образом f x dx F x c .
		Основные свойства неопределенного интеграла:
а)		f x или d f x dx f x dx;
	f x dx

б) dF x F x c;

в)

Af x dx A f x dx , где А R , А 0 ;

г) f x (x) dx f x dx x dx .

Таблица основных неопределенных интегралов:

xn dx

xn 1

c , n 1.

n 1

1dx x c ; xdx

x 2

0dx c ;

c ;

x c ,где x 0 .

c , x 0 .

a x

a x dx

c , a 0 , a 1; e x dx e x c .

ln a

4.sin xdx cos x c ;

5.cos xdx sin x c ;

tgx c ;

n ,

n .

cos

ctgx c ;

x n ,

n .

sin

arctgx c arcctgx c.

arctg

arccrg

c, a 0.

10.

arcsin x c arccos x c,

1 x

11.

arcsin

c arccos

, a 0.

12.

x2 a

c, (a 0,

случае знака «минус» должно быть

13.

x a

x a, a 0.

x a

2.2. Основные методы интегрирования

2.2.1. Непосредственное интегрирование.

Этот метод состоит в приведении данного интеграла к алгебраической сумме более простых интегралов, используя свойства в) и г) неопределенного интеграла, тождественные преобразования и таблицу основных интегралов.

П р и м е р. Найти интеграл x2 e 3 dx .

Ре ш е н и е.

x2 e 3 dx x6 3x4e 3x2e2 e3 dx x6dx 3e x4dx 3e2 x2dx e3 dx

=	x7	3	ex5	e2 x3 e3 x c.

7		5

П р и м е р. Найти интеграл (x2 1)(x5 5x 1)dx . Р е ш е н и е.

(x2		1)(x5		5x 1)dx (x7						x5 5x3 x2 5x 1)dx
	x8		x6	5	x4	1	x3	5	x2	x c.

8		6		4		3		2

П р и м е р. Найти интеграл

2 dx

x 2

Р е ш е н и е.

x2 dx

1 1

x arctgx c.;

П р и м е р.

Найти интеграл

sin 2

x cos2

Р е ш е н и е.

sin 2

x cos 2 x

tgx ctgx c.;

sin

x cos

sin

x cos

cos

sin

П р и м е р.

Найти интеграл

dx .

x 2 1

Р е ш е н и е.

	x8	dx (x6 x4 x2 1		1	)dx	x7		x5		x3	x arctgx c .
x	2		x	2		7
	1			1			5		3

2.2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Если нахождение интеграла f (x)dx затруднительно, то пользуются

методом подстановки или методом замены переменной. При применении этого метода используют подстановки двух видов:

1) x (t) , где x (t) - монотонная непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t.

В этом случае f (x)dx f ( (t)) (t)dt;

2) u (x), где u - новая переменная. замены переменной при такой подстановке

f ( (x)) (x)dx f ( (x))d( (x)) f (u)du.

Эта процедура называется подведением функции

u (x)

под знак

дифференциала и,

фактически, эквивалентна замене переменной x

на новую

переменную

u (x).

П р и м е р.

Найти интеграл

arctgx

dx .

1 x

Р е ш е н и е.

arctgx

dx arctgx

arctgxd arctgx arctgx u udu

u 2

arctg 2 x c.

1 x

П р и м е р.

Найти интеграл

cos xdx

2 sin x

Р е ш е н и е.

d sin x 2

cos xdx

d sin x

sin x 2 u

2 u c 2

2 sin x c.

2 sin x

П р и м е р.

Найти интеграл

ln 2 x

dx .

Р е ш е н и е.

ln 2 x	dx ln 2	x	dx	ln 2 xd ln x ln x u u 2 du	u3	c	ln 3 x	c.

x			x	3		3

П р и м е р.

Ре ш е н и е.

Найти интеграл

f (x)

dx .

f (x)

f x

df x

f x u

c ln

f x

c .

f x

Пр и м е р. Найти интеграл x 2 dx .

x3 3

Р е ш е н и е.					d x3 3
	x2 dx 1		dx3	1		x	3	3 u	1	du 1			1	ln x	3	3 c .
												ln u c
	x3 3	3	x3 3	3	x3 3				3	u	3		3

П р и м е р. Найти интеграл (2x 3)8 dx . Р е ш е н и е.

2x 3 8 dx

2x 3 8 d 2x 3 2x 3 u

u8 du

2x 3 9

П р и м е р.

Найти интеграл

cos x

Р е ш е н и е.

cos xdx

d (sin x)

sin x u

1 u

1 sin x

cos x

cos

1 sin

1 sin x

e2 x

П р и м е р.

Найти интеграл

dx .

e x 1

Р е ш е н и е.

e x 1; e x u 2 1; e2 x u 2 1 2 ;

2 x

u e x 1;u 2

2e2 x dx 2(u 2

1)2udu; e2 x dx 2u(u 2

e x 1

1)du.

2u u 2 1 du

2 u 2 1 du 2 u 2 du 2 du

u3 2u c

e x 1

2 e x 1

c .

П р и м е р. Найти интеграл

x 2 dx

a 2 x 2

Р е ш е н и е.

x2 dx

x a sin t,

t ;t arcsin

, dx a cos tdt;

a 2 x2

a 2

a 2 a 2 sin 2

t a

1 sin 2 t a

cos 2 t

a cos t

a2 sin 2 t a cos tdt

1 cos 2t

1 cos 2t dt

sin

tdt

sin 2t

a cos t

a 2

sin 2t c

a 2

arcsin

sin

2 arcsin

a 2

x 1

arcsin

2sin arcin

cos arcsin

2 arcsin

a 2

a2 x2

arcsin

a 2 x2

c .

Р е ш е н и е.


											6 x t;									t 3 t 5 dt															t 8
					x							6			2																									6			4		2			1
					x							6			2																									6			4		2			1
								dx			x t		; x	t		;	6										dt				6							dt 6 t			t			t		1				dt
			3																				2											2		1												t	2
			3	x																	t		2		1								t	2															2
				x			1				dx 6t 5 dt										t				1								t														1
											dx 6t 5 dt
6				6														6								6
		7				5			3										6					7				6		5
	t	7			t	5	2t		3	6t 6arctgt c									6			x		7				6	x	5		2					x 6	6	x 6arctg			6	x c .
7	t			5	t		2t			6t 6arctgt c								7				x				5			x			2					x 6		x 6arctg				x c .
7				5														7								5

Для того чтобы проверить правильность нахождения неопределенного интеграла, необходимо найти производную полученной первообразной, которая должна быть равна подынтегральной функции.

2.2.3. Интегрирование по частям.

Пусть функции u x и (x) непрерывны вместе со своими производными на множестве и на этом множестве существует интеграл vdu. Тогда на этом множестве существует интеграл udv и справедлива формула интегри-

рования по частям

ud u du.

Для интегралов вида

Q(x)eaxdx, Q(x) sin axdx, Q(x) cos axdx,

где Q(x) - многочлен, в качестве u следует брать Q(x) , а в качестве dv - выражения eaxdx, sibaxdx, cos axdx соответственно.

В случае интегралов вида

Q(x) ln xdx, Q(x) arcsin xdx, Q(x) arccos xdx, Q(x)arctgxdx, Q(x)arcctgxdx

в квчестве u берут функции ln x, arcsin x, arccos x, arctgx, arcctgx, а в качестве dv - выражение Q(x)dx .

П р и м е р. Найти интеграл x ln xdx . Р е ш е н и е.

dx; dv xdx;v xdx

x ln xdx

u ln x; du

ln x

xdx

ln x

c .

П р и м е р.

Найти интеграл

xe x dx .

Р е ш е н и е .

xe x dx	u x;			du dx		xe x e x dx xe x e x c .

	d e	x	dx;	e	x

Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из получающегося относительно исходного интеграла уравнения.

П р и м е р.

Найти интеграл e x sin xdx .

Р е ш е н и е.

e x u;

du e x dx

e x sin xdx

e x

cos x e x cos xdx

d sin xdx;

cos x

ex cos x 1 , где

u e x ;

du e x dx

1 e x cos xdx

e x sin x e x sin xdx.

d cos xdx;

sin x

Итак,

ex sin xdx ex cos x ex sin x ex sin xdx ;

2 ex sin xdx ex cos x ex sin x c;

sin xdx

sin x cos x c,

где c

c1 .

П р и м е р.

Найти интеграл sin(ln x)dx .

Р е ш е н и е.

du cos ln x

sin ln x dx

u sin ln x ;

d dx;

du sin ln x

x sin ln x x cos ln x

dx x sin ln x cos ln x dx

u cos ln x ;

du dx;

x sin ln x (x cos ln x x sin ln x

dx x sin ln x x cos ln x sin ln x dx .

Итак,

sin ln x dx x sin ln x cos ln x sin ln x dx ;

2 sin ln x dx x sin ln x cos ln x c1 ; sin ln x dx

sin ln x cos ln x c .

Часто при нахождении

интеграла приходится применять различные

методы.

П р и м е р. Найти интеграл e x dx . Р е ш е н и е .

x t

t u;

du dt

2 tet et dt 2tet 2et c

2 et tdt

x dx

x t 2

dt;

dx 2tdt

d e

2e x ( x 1) c.

2.2.4. Интегрирование рациональных функций.

Функция вида	R x	Pn	x	, где	Pn x	и Qm x - многочлены соответст-
		Qm	x

венно степени n и m , называется рациональной функцией.

Интегрирование рациональных функций с помощью метода разложения на простейшие дроби сводится к интегрированию многочленов и простейших рациональных функций следующих 4-х видов:

1.	A	; 2.	B	k 1 ; 3.	Cx D	; 4.
	x a		(x a)k		x 2 px q

		Mx N		p 2
			,
			,
x	2	n		4
x		px q		4

q 0; n 1 .

Алгоритм интегрирования рациональных функций.

1. Если рациональная дробь неправильная (m > n), то путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выде-

лить целую часть и представить дробь в виде

Pe x

e m

(2.1)

Qm x

2. Разложить знаменатель Qm x на множители вида

p 2

px q ,

x a

x b

q 0, , , , N

3. Разложить правильную дробь

на сумму простейших дробей:

Pl x

Qm x

x a

x b

(x b)

x a

x b

M1 x N1

M 2 x N2

M x N

(2.2)

(x2 px q)2

(x2 px q)

x2 px q

4.Найти коэффициенты в разложении (2.2).

5.Почленно проинтегрировать каждую простейшую дробь. Рассмотрим, как интегрируются простейшие дроби.

x a

II.

x a n dx

a 1 n c, n 1 .

x a n

1 n

Cx D

p 2

III.

t; q

; x t

; dx dt

px q

p 2

C(t

) D

tdt

dt C

arctg

t 2 a 2

t 2 a

2 t 2

a 2

px q

arctg

c ; если

4q p

0 .

П р и м е р.

Найти интеграл

3x 2

dx .

x2 4x 6

Р е ш е н и е.

3x 2

x 2 t,

3 t 2 2

x t 2,

dx dt

x 2

dt 8

t 2

arctg

x2 4x 6

arctg

t 2

t 2 2

Замечание: Этот же прием можно использовать и в случае, когда корни квадратного трехчлена действительные.

IV.

M (t

Mx N

p 2

)

t, q

, dx dt

)

((x

tdt

2 n

d t

t 2

t 2 a 2

t 2

a 2

1 n

2 1 n

t 2 a 2

Интеграл I n

можно вычислить с помощью тригонометриче-

t 2

a 2 n

ской

подстановки t ktgz

или путём повторного интегрирования по частям

свести его к интегралу вида III.

П р и м е р.

Найти интеграл

Р е ш е н и е.

I 2

; здесь n 1,

a 1.

t 2

1 2

Применим интегрирование по частям

4tdt

; dv dt; v dt t

t 2

; du

		t		4	(t 2	1) 1		dt			t		4 dt 4			1	dt			t		4t 4arctgt c.

(t	2	1)	2		t	2	1		(t	2	1)	2		t	2	1		(t	2	1)	2
(t		1)			t		1		(t		1)			t		1		(t		1)

Пр и м е р. Найти интеграл x5 2dx .

x3 x

Р е ш е н и е.

x5 2

x3 x dx

1)Выделим целую часть: x5 2 x2 1 x 2 .

x3 x x3 x

2)	Разложим	знаменатель	дроби	на		множители:
x3 x x x2	1 x x 1 x 1 . Следовательно,		x 2	x 2
					.
			x3 x	x x 1 x 1

3) Разложим коэффициентами:

	x 2		A
	x(x 1)(x 1)		x

полученную правильную дробь с неопределенными

B	C	.
x 1
	x 1

4) Найдем коэффициенты A, B, С. Есть несколько способов отыскания коэффициентов:

а) метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода разъясним на нашем примере.


Приводим правую часть к общему знаменателю:
	x 2		A x2	1 B x 1 x Cx x 1		.
	x(x 1)(x 1)			x x 1 x 1
Следовательно,			x 2		( A B C)x2 (B C)x ( A)		.
		x(x 1)(x 1)			x x 1 x 1

Освободившись от знаменателей, получим равенство

x 2 (A B C)x2 (B C)x A

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А,В,С

0 A B C

1 B C

2 A

, из которой получим

A 2 ; B

;

б) способ частных значений.

Так как

x 2

x(x 1)(x 1)

x 1 ,

то умножив обе части равенства на знаменатель исходной дроби, полу-

чим

x 2 A x 1 x 1 B x 1 x C x 1 x.

(2.3)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.2016876.25 Кб2468Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб51Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб71Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб27УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб205Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб139Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc
#
20.02.2016319.49 Кб52Учебное пособие по Межд. Экон.doc
#
20.02.2016624.64 Кб117Учебное пособие.doc